微专题 与角有关的计算问题（解答题）（专项训练）数学人教版2024七年级上册

微专题 与角有关的计算问题 题型一 角的和差倍分的计算问题 1.明确角度关系 识别题目中的和差关系（如∠A + ∠B = 180°）、倍分关系（如∠A = 2∠B）或组合关系（如∠A是∠B的3倍少20°）. 提取关键信息：直角（90°）、平角（180°）、周角（360°）、角平分线（平分角为两等份）等隐含条件. 2.建立方程模型 ①设未知数：通常设较小角为 xx（或“1份角”），再表示其他角 . ②列方程：根据角度关系（和、差、倍、分）列出等式. ③解方程：求解后验证是否满足几何约束（如角度非负、总和符合图形性质）. 1．（2024秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数． 【答案】∠1＝40°，∠3＝80°，∠4＝160° 【分析】设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根据∠2＝80°，列出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，即可求解． 【详解】解：设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x， 根据∠2＝80°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°， 代入即得：x+80°+2x+4x＝360°，解得：x＝40°， 故∠1＝40°，∠3＝80°，∠4＝160° 【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是根据题意正确列出方程进而求解． 2．（2024春•栖霞市期末）如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOD：∠BOD＝5：7，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数． 【答案】∠AOB＝90°． 【分析】观察图形，分清比例关系，把相应的角用戈表示，列出方程求解． 【详解】解：设∠AOB＝x°， ∵∠AOC：∠BOC＝1：3， ∴∠AOCx°． ∵∠AOD：∠BOD＝5：7， ∴∠AODx°． 又∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∠COD＝15°， ∴15xx， ∴x＝90，即∠AOB＝90°． 【点睛】本题考查了角度的计算，利用了方程的思想． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 【详解】解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 5．（2024秋•丰都县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC，∠BOC的度数； （2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数． 【答案】（1）80°；（2）40°． 【分析】（1）根据角度的比例值，求角的度数； （2）根据角平分线的定义，角度的比例值，分别求出∠MOC和∠CON的度数，再利用角的和计算∠MON的度数． 【详解】解：（1）设∠AOC＝α，∠BOC＝2α， ∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∴α+2α＝120°， ∴α＝40°， ∴∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝2×40°＝80°； （2）∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠COA40°＝20°， ∵∠CON：∠BON＝1：3， ∴∠NOC∠COB80°＝20°， ∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°． 【点睛】本题考查了角的计算和角平分线，解题的关键是掌握角的和差计算，角平分线的定义． 6．（2024秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD． （1）求∠AOD的度数； （2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数． 【答案】（1）80°；（2）50°或140°． 【分析】（1）根据∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD∠AOB，代入∠AOB＝120°即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【详解】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD， ∴∠AOD∠AOB， ∴∠AOD∠AOB120°＝80°； （2）当OC在∠AOB内时， ∵∠AOC：∠COB＝1：3， ∴∠AOC∠AOB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝30°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°； 当OC在∠AOB外时， ∵∠AOC：∠COB＝1：3， ∴∠AOC：∠AOB＝1：2， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝60°， ∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°， 综上所述，∠COD的度数为50°或140°． 【点睛】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． 7．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求 ∠BOC的度数． 【答案】（1）41°24′； （2）∠AOC，∠BOD； （3）30°． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可； （3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得． 【详解】解：（1）∵∠M＝10°21′， ∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD； ∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD； （3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， 设∠AOB＝α， 则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴6α＝90°， ∴α＝15°， ∴∠BOC＝2α＝30°． 【点睛】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键． 9．（2024秋•硚口区期末）已知∠AOB＝120°，过O作射线OC，设∠AOC＝α，将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射线OD． （1）如图1，∠COD＝60°，0°＜α＜60°，直接写出∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，∠COD＝60°，60°＜α＜120°． ①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系； ②若OE平分∠BOC，求∠DOE与∠AOC的数量关系． 【答案】（1）180°； （2）①60°．； ②． 【分析】（1）先根据已知角度求出∠AOD＝α+60°，∠BOC＝120°﹣α，然后求出∠AOD+∠BOC＝180°即可； （2）①先求出∠BOC＝120°﹣α，再求出∠BOD＝α﹣60°，即可得出∠BOD＝∠AOC﹣60°； ②根据角平分线的定义得出，根据∠BOD＝α﹣60°求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝α，∠COD＝60°， ∴∠AOD＝α+60°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣α， ∴∠AOD+∠BOC＝α+60°+120°﹣α＝180°． （2）①∵∠AOC＝α，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣α， ∵∠COD＝60°， ∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣（120°﹣α）＝60°﹣120°+α＝α﹣60°， 即∠BOD＝∠AOC﹣60°， ∴∠AOC﹣∠BOD＝60°． ②∵OE平分∠BOC，∠BOC＝120°﹣α， ∴， ∵∠BOD＝α﹣60°， ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE， 即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 题型二 角中单条角平分线的计算问题 角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。单条角平分线的计算问题通常涉及已知角的度数，求被平分后的两个小角的度数，或者反过来，已知平分后的小角度数，求原角的大小． 10．已知：如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义，角的和差计算，首先求出，，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差倍分，关键是找到角之间的关系； 由：＝，平分，可得，答案可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ． 12．如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由角平分线的定义得，即可得，求出进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24七年级上·辽宁·期末）如图，是直线上一点，是的平分线，在内部，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了有关角度的计算，角平分线定义，一元一次方程的应用，由，则设，则，，故有，然后通过角平分线定义可得，再由角度和差可得，求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，则设， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差与角平分线的性质，运用比例分析与角的分解思想，关键是根据角的比例和角平分线定义计算各角，易错点是角的和差关系或比例分配时计算错误； （1）根据与的比例及的度数，按比例分配求； （2）先由角平分线求，再结合求． 【详解】（1）解： ∵， ， ∴， 即． （2）解：∵若射线平分，， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 17．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 18．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，在内部作射线OC，OD平分，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作射线OM，使，在外部作射线OE，使得，作OF平分，当时，求、的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质以及角之间的和差关系进行分析计算． （1）利用角平分线的性质，将角进行转化，结合已知条件求出的度数； （2）先根据已知条件求出的度数，再利用角之间的和差关系以及角平分线的性质求出和的度数． 【详解】（1）解：OD平分， ， ， ， 即； （2）解： ， ． OD平分， ， ， ， ． ， 则， ，OF平分， ． 19．（2024七年级上·江苏南通·竞赛）如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】本题考查了角平分线和角的计算，能熟练地运用角的和差列式计算是解此题的关键． （1）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可； （2）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为或． （2）当在上方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 当在下方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即的度数为或． 题型三 角中双条角平分线的计算问题 双条角平分线的计算问题通常涉及到共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角的问题.以下是解决这类问题的方法： 1.直接计算法：明确已知角与所求角的和差关系，结合角平分线、余角补角等定义，直接代入数值计算. 2.方程法：当角的关系复杂，未知量较多时，设关键角为未知数（如x），根据和差关系列方程求解. 3.数形结合：先根据题意画出准确图形，标注已知角和未知角，直观梳理角的位置与数量关系，避免漏算或错算. 4.逆向推导：从所求角出发，反向分析其可由哪些已知角通过和差得到，逐步拆解问题，简化计算过程． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数． 解：，平分 ___________=___________． 又 _________________________________． 平分 ___________． 【答案】；45；；45；15；30 【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题关键．首先根据角平分线的定义计算出的度数，进而根据角的和差关系算出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数． 【详解】解：，平分， ， 又， ， 平分， ． 故答案为：；45；；45；15；30． 21．（23-24 七年级上·陕西渭南·期末）如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角的定义以及角平分线的定义，根据题意设，，，则，再根据角平分线的定义以及，即可求出的度数和的度数． 【详解】解：设，，，则， 因为平分，平分， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以，． 22．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 24．（2024秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】（1）45°．（2）α． （3）∠MONα． 【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可． 【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝90°+60°＝150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°． （2）如图2，∠MONα， 理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝α+60°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα． （3）如图3，∠MONα，与β的大小无关． 理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β． ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∠NOC∠BOCβ， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ． ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC （α+β）βα， 即∠MONα． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC． 25．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中 （为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差运算，解题关键是根据角平分线的性质，将所求角转化为与已知角、相关的角的和差，再进行计算． （1）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （2）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （3）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （4）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； 【详解】（1）解： 是的平分线，是的平分线， ，， （2）解： ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （3）解： ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （4），理由如下： ， 是的平分线，是的平分线， ，， ． 26．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 27．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）或（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． 平分， ． ． （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在D的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在D的右侧时， （3），理由如下 平分，平分， ，． ． ， ． ，即 题型四 三角板中的角度计算问题 三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算. （1） 双三角板组合求角度方法: ①重叠求差法：重叠部分角度=两角之和-重叠区域 . ②互补求和法：利用直角或平角（180°）构造等式. （2） 三角板旋转问题方法：旋转角=起始位置与终止位置的角度差. 28．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 29．（23-24七年级上·山西临汾·期末）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，熟知三角板中的角度是解题的关键． （1）由三角板的信息可知，再由角的和差关系即可得出． （2）设，则，由题意可知，即可得出，解出x即可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴． （2）解： 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴ 30．（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 31．（2024秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起． （1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝　 　，∠BOC 　 　∠AOD（填＞、＜、＝）； （2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝　 　；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝　 　； ②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）35°；＝． ①130°，60°． ②∠BOD+∠AOC＝180°. 【分析】（1）根据三角尺直角的度数计算出结果． （2）①根据直角的度数求出∠AOD，再根据角之间的数量关系求出结果； ②先表示出∠BOD和∠AOC与∠AOD的数量关系，再将式子相加即可得到答案． 【详解】解：（1）∠BOC＝90°﹣55°＝35°； ∵∠AOD＝90°﹣55°＝35°， ∴∠BOC＝∠AOD， 故答案为：35°；＝． （2）①∵∠BOD＝50°， ∴∠AOD＝90°﹣50°＝40°， ∴∠AOC＝90°+40°＝130°； ∵∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝120°﹣90°＝30°， ∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：130°，60°． ②∵∠BOD＝90°﹣∠AOD， ∠AOC＝90°+∠AOD， ∴∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠AOD+90°+∠AOD＝180°． 即∠BOD+∠AOC＝180°. 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是根据角之间的数量关系来解答． 32．（23-242七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】此题主要考查角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是熟知角平分线的定义及角度的运算法则． （1）设，则，根据得到方程，故可求出x，故可求出的度数； （2）根据平分，得到，再根据故可求解； （3）分别表示出，，由此即可得到和的关系． 【详解】（1）解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ； （3）解：， 理由：当始终在的内部时，， ， ∴． 33．（2024秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上． （1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 　 　； （2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； （3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：　 ． 【答案】（1）70°； （2）∠EOF＝45°； （3）∠EOF∠COD． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°， 故答案为：70°； （2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°， ∵OF平分∠BOD， ∴∠BOF＝∠DOF∠BOD＝25°， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF ＝70°﹣25° ＝45°， 答：∠EOF＝45°； （3）∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD． ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF ∠BOC∠BOD （∠COD+∠BOD）∠BOD ∠COD， 故答案为：∠EOF∠COD． 【点睛】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前提． 34．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则 ； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析，；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）结合图形求解即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）根据题意得：， 时，．理由如下： 如图， ∵，， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 35．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况讨论：顺时针旋转与逆时针旋转，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 36．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． 根据可知，根据计算即可； 根据平分可知，根据求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，根据两个角的度数之间的关系即可判断平分； 根据的度数求出的度数，再根据求解即可； 根据的度数即可求出的度数，再根据即可求出的度数； 根据，，可知． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 题型五 角度计算的动态问题 角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想． 37．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． （1）求出，求出根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴．即：． （3）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 38．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【详解】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 39．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 40．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 41．（2024七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，理由见解析 (3)射线不能平分，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，以及角平分线定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差，以及角平分线定义，结合图形计算求解即可； （2）利用角平分线定义得到，再结合角的和差与等角的代换推出，即可解题； （3）根据题意得到，再结合角平分线定义推出大于平角，此时就不在的上方，即可说明射线不能平分． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：射线不能平分，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴，即为钝角， 若平分，则大于平角，此时就不在的上方， 所以在图2中，射线不能平分． 42．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 43．（23-24七年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)60或80 (4)或 【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）； （2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可； （3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数； （4）分两种情况分别讨论． 【详解】（1）当时，，，①符合题意； 当时，，，②不符合题意； 当是的角平分线，，③符合题意； 故答案为①③． （2）∵，， ∴， 如下图： （3）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ∴应逆时针旋转， ∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°， ∴可取，，，， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 故答案为：60或80． （4）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ①：如图， ； ②：如图， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键． 44．（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 45．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 与角有关的计算问题 题型一 角的和差倍分的计算问题 1.明确角度关系 识别题目中的和差关系（如∠A + ∠B = 180°）、倍分关系（如∠A = 2∠B）或组合关系（如∠A是∠B的3倍少20°）. 提取关键信息：直角（90°）、平角（180°）、周角（360°）、角平分线（平分角为两等份）等隐含条件. 2.建立方程模型 ①设未知数：通常设较小角为 xx（或“1份角”），再表示其他角 . ②列方程：根据角度关系（和、差、倍、分）列出等式. ③解方程：求解后验证是否满足几何约束（如角度非负、总和符合图形性质）. 1．（2024秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数． 2．（2024春•栖霞市期末）如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOD：∠BOD＝5：7，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 5．（2024秋•丰都县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC，∠BOC的度数； （2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数． 6．（2024秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD． （1）求∠AOD的度数； （2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数． 7．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 8．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求 ∠BOC的度数． 9．（2024秋•硚口区期末）已知∠AOB＝120°，过O作射线OC，设∠AOC＝α，将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射线OD． （1）如图1，∠COD＝60°，0°＜α＜60°，直接写出∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，∠COD＝60°，60°＜α＜120°． ①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系； ②若OE平分∠BOC，求∠DOE与∠AOC的数量关系． 题型二 角中单条角平分线的计算问题 角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。单条角平分线的计算问题通常涉及已知角的度数，求被平分后的两个小角的度数，或者反过来，已知平分后的小角度数，求原角的大小． 10．已知：如图，平分，，，求的度数． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 12．如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 13．（23-24七年级上·辽宁·期末）如图，是直线上一点，是的平分线，在内部，，，求的度数． 14．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 17．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 18．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，在内部作射线OC，OD平分，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作射线OM，使，在外部作射线OE，使得，作OF平分，当时，求、的度数． 19．（2024七年级上·江苏南通·竞赛）如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 题型三 角中双条角平分线的计算问题 双条角平分线的计算问题通常涉及到共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角的问题.以下是解决这类问题的方法： 1.直接计算法：明确已知角与所求角的和差关系，结合角平分线、余角补角等定义，直接代入数值计算. 2.方程法：当角的关系复杂，未知量较多时，设关键角为未知数（如x），根据和差关系列方程求解. 3.数形结合：先根据题意画出准确图形，标注已知角和未知角，直观梳理角的位置与数量关系，避免漏算或错算. 4.逆向推导：从所求角出发，反向分析其可由哪些已知角通过和差得到，逐步拆解问题，简化计算过程． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数． 解：，平分 ___________=___________． 又 _________________________________． 平分 ___________． 21．（23-24 七年级上·陕西渭南·期末）如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数． 22．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 24．（2024秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 25．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中 （为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 26．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 27．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 题型四 三角板中的角度计算问题 三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算. （1） 双三角板组合求角度方法: ①重叠求差法：重叠部分角度=两角之和-重叠区域 . ②互补求和法：利用直角或平角（180°）构造等式. （2） 三角板旋转问题方法：旋转角=起始位置与终止位置的角度差. 28．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 29．（23-24七年级上·山西临汾·期末）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 30．（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 31．（2024秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起． （1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝　 　，∠BOC 　 　∠AOD（填＞、＜、＝）； （2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝　 　；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝　 　； ②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由． 32．（23-242七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 33．（2024秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上． （1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 　 　； （2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； （3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：　 ． 34．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则 ； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 35．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 36．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 题型五 角度计算的动态问题 角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想． 37．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 38．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 39．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 40．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 41．（2024七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 42．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 43．（23-24七年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 44．（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 45．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $