第26课 寻找最短的路径（教学设计）2025-2026学年五年级全一册信息科技人教版

该小学信息科技教学设计聚焦动态规划思想解决网格最短路径问题，通过导航情境导入引发枚举局限的认知冲突。衔接前期递推算法（兔子问题）和问题分解（过河问题）基础，以递推表、填表练习为支架，引导学生从具体计算到抽象算法，为后续Dijkstra算法学习铺垫。 该设计以“填表计算→规律发现→递推公式→程序验证”为主线，通过3×3网格手动填表与Python程序补全实践，深化计算思维（动态规划四步法）和信息意识（枚举与动态规划效率对比）。特色“表格驱动探究”帮助学生内化最优子结构，评价工具多元且反思具体，既提升学生算法理解，又为教师提供可操作的教学路径。

《寻找最短的路径》教学设计 教材版本：义务教育信息科技课程资源（五年级） 课时安排：1课时（40分钟） 授课对象：五年级学生 一、教材分析 本课是五年级第七单元第三课，基于2022年版课标"身边的算法"模块，学习路径规划算法中的动态规划思想。教材以"9地点街道网格"为情境，通过"枚举局限→问题分解→局部计算→组合全局"的探究路径，引导学生理解"将全局最短路径转化为局部最短路径递推"的算法本质。本课是规划算法的"深化课"，既是对过河问题"分而治之"思想的数值化应用，又是对递推算法"前项依赖"的二维扩展，为后续学习Dijkstra算法、Flyd算法埋下伏笔，体现"科"（最优子结构思想）与"技"（递推计算）并重的课程理念。 二、学情分析 1．认知基础：学生已掌握递推算法（兔子问题）和问题分解（过河问题），能用fr循环实现一维数列的递推计算，但对"二维网格"中"多点来源的最小值选择"（min(上+上路径, 左+左路径)）的动态规划思想缺乏认知；对"状态空间"、"最优子结构"等概念感知模糊。 2．能力特点：对"找最短路径" 有生活经验（如导航），具备初步的网格定位与坐标意识，适合在"填表计算→规律发现→递推公式→程序验证"的表格驱动探究中建构最优路径思维。 3．学习障碍预测：难以自主建立"到某点的最短路径 = min(上方点最短路径+上边走时, 左方点最短路径+左边用时)"的递推关系；对"只能右、下行走这一单调性约束的算法价值（保证无后效性）理解不深；在手动填表时易因计算顺序错误（未先算左上再算右下）导致结果错误；对"局部最优→全局最优"的正确性证明无直观感知。 三、教学目标（对应核心素养） 1.计算思维：通过计算网格最短路径，能描述"状态定义→状态转移方程→初始化→递推求解"的动态规划四步法，理解最优子结构（全局最优包含局部最优）是问题可分解的关键。 2.信息意识：感知枚举法与动态规划法在时间复杂度上的指数级 vs 多项式级差异，体会算法设计对问题求解效率的决定性作用，理解针对问题特征选择算法的重要性。 3.数字化学习与创新：能手绘递推计算表，通过自顶向下（从起点开始）或自底向上（从终点倒推）两种顺序计算各点最短路径，尝试用Pythn二维列表dp[i][j]存储状态，体验数据结构对算法实现的支撑。 4.信息社会责任：认识到最短路径算法是导航、物流、电力等社会基础设施的核心支撑，理解算法研究服务国计民生，养成"算法优化=资源节约"的社会责任感。 四、教学重难点 重点：理解最短路径问题的动态规划解法，掌握递推公式：dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + time_up, dp[i][j-1] + time_left)，并能按行/按列顺序手动计算。 难点：理解"只能右、下行走"的约束如何保证无后效性（后续决策不影响前面已确定的最优解）；掌握计算顺序（拓扑序），确保计算dp[i][j]时dp[i-1][j]和dp[i][j-1]已算出。 五、教学准备 教师准备：教学课件、3×3网格地图大图（每个边标注时间）、递推计算表磁贴（9个格子）、Pythn程序（最短路径动态规划.py、暴力枚举对比.py）、学习单（含填表练习、状态转移方程填空、程序补全）。 学生准备：记录本、复习递推算法，思考"如何记录到每个地点的最短用时"。 六、教学过程 环节一：情境导入，导航激趣（3分钟） 活动1：导航的秘密 生活联想：教师提问："从家到学校，导航为什么能瞬间找出最快路线？是试遍所有路吗？"（不是，有算法） 认知冲突："如果城市有100个路口，枚举所有路径要试2^100次，比宇宙原子数还多！导航怎么办？" 目标揭示："今天学习聪明算法——动态规划，像搭积木一样，从起点一块块算出最优路线！" 设计意图：从生活场景切入，制造枚举不可行的认知冲突，激活学生经验中的"最优路径"需求，引出高效算法主题。 环节二：任务分析，枚举局限（8分钟） 活动2：暴力枚举为何不行 1.问题建模（3分钟） 课件展示：3×3网格地图，标注A(家)→I(学校)，边上有时间（如A→B=3分钟，A→D=2分钟）。 学习单任务一：学生数从A到I的所有可能路径条数（在3×3网格中，从左上到右下需走4步，2右+2下，共C(4,2)=6条）。 追问："如果是5×5网格（6右+6下），多少条？"（C(12,6)=924条）"10×10呢？"（C(20,10)=184756条，指数增长）。 2.枚举局限分析（3分钟） 小组讨论： "枚举法有什么问题？"（路径多、易遗漏、算得慢） 教师提炼： "枚举是暴力破解，适合小规模；大规模问题需智能算法。"板书"枚举：穷举所有，指数爆炸"。 3.问题分解引路（2分钟） 提问： "我们不直接求A→I，先求A→B的最短时间？"（3分钟）"A→D？"（2分钟）"A→E？"（min(A→B→E, A→D→E)） 渗透思想： "答案藏在局部里！ 设计意图：通过路径计数让学生直观感受组合爆炸，理解枚举法的不可扩展性，通过局部提问引导分治思路，为动态规划埋下伏笔。 环节三：递推计算，局部求解（12分钟） 活动3：填表算出最优路 1.状态定义（3分钟） 教师示范： 在网格旁画出递推表（3行3列格子），定义"dp[i][j]表示从A到第i行第j列点的最短用时"。 学习单任务二：学生画表，标注坐标（A是dp[0][0]，B是dp[0][1]...I是dp[2][2]）。 2.初始化与边界（3分钟） 计算起点："dp[0][0] = 0"（A到A用时0）。 计算第一行："dp[0][1] = dp[0][0] + 3 = 3"，"dp[0][2] = dp[0][1] + 2 = 5"（只能从左来）。 计算第一列："dp[1][0] = dp[0][0] + 2 = 2"，"dp[2][0] = dp[1][0] + 3 = 5"（只能从上带来）。 学习单任务三：学生填写完成第一行、第一列。 3.递推核心计算（6分钟） 教师演示E点： 在表中圈出E点，写计算式： dp[1][1] = min(dp[0][1] + 1, dp[1][0] + 3) = min(3+1, 2+3) = min(4,5) = 4 "上方来" vs " 左方来"，选小的。 学生实践：按行优先顺序（B→C→E→F→D→G→H→I）计算剩余格子，填写递推公式和结果。 关键强调：计算E时，B和D已算出；计算F时，C和E已算出——计算顺序=拓扑序。 设计意图：通过手绘递推表将二维动态规划过程可视化、步骤化，重点突破状态定义、递推公式、计算顺序三大核心，在手动计算中内化最优子结构思想。 环节四：规律提炼，算法形式化（7分钟） 活动4：把聪明办法说给计算机听 1.递推方程抽象（3分钟） 师生共建：板书通用递推方程：dp[i][j] = min( dp[i-1][j] + time[i-1][j]→[i][j], # 从上方来 dp[i][j-1] + time[i][j-1]→[i][j] # 从左边来 ) 学习单任务四：学生用文字描述方程含义："到当前点的最短时间 = 上方点最短时间 + 上边走时 与 左方点最短时间 + 左边用时 的较小值"。 2.无后效性讲解（2分钟） 提问："为什么计算E时，不用关心A→B的具体路径是什么？"（只关心B的最优值，路径细节不影响后续） 概念引入：这就是"无后效性"——未来决策不依赖历史细节，只依赖当前状态的最优值。 3.与枚举对比（2分钟） 板书对比： 枚举法：时间复杂度(2^(m+n))，指数级 动态规划：时间复杂度(m×n)，多项式级 结论："动态规划 = 聪明的记忆 + 有序的递推"，避免重复计算。 设计意图： 通过符号化方程将具体计算升华为通用算法，通过无后效性讲解突破动态规划的理论基础，通过复杂度对比深化算法效率意识，实现从术到道的认知飞跃。 环节五：程序验证，算法实现（8分钟） 活动5：让最优路径"跑"出来 1.代码结构分析（3分钟） 课件展示： Pythn代码框架（二维列表dp和time）。 学习单任务五： 学生补全关键代码：# 初始化dp表，全为0 dp = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] # 计算第一行 fr j in range(1, 3): dp[0][j] = dp[0][j-1] + time[0][j-1] # 计算第一列 fr i in range(1, 3): dp[i][0] = dp[i-1][0] + time[i-1][0] # 递推计算内部 fr i in range(1, 3): fr j in range(1, 3): dp[i][j] = min(____ + time[i-1][j], # 填空：dp[i-1][j] ____ + time[i][j-1]) # 填空：dp[i][j-1] 2.运行观察（3分钟） 学生实践： 运行程序，打印dp表，验证是否与自己手算结果一致。 调试技巧：在min语句后加print(f'dp[{i}][{j}]={dp[i][j]}, 来自上方={dp[i-1][j]+time[i-1][j]}, 来自左方={dp[i][j-1]+time[i][j-1]}')，观察决策过程。 3.参数修改验证（2分钟） 学生挑战：修改time矩阵（如A→B=5，A→D=1），重新计算，观察最优路径是否变化（路径可能变，算法不变）。 设计意图：通过代码补全→运行验证→参数修改，实现算法到程序的精准映射，重点突破双重循环与min函数的实现，培养调试观察能力，体会算法的健壮性。 环节六：应用拓展，算法价值（2分钟） 活动6：算法改变世界 应用列举：教师快速展示导航系统、物流配送、电网布局、通信网络等最短路径应用场景图片。 价值升华："动态规划不仅是算法，更是资源配置的智慧——每一步选择最优，全局必然最优，这就是最优化原理。" 作业布置： 必做：完成学习单"5×5网格最短路径计算"（提供time矩阵）。 选做（二选一）： A.研究类： "若允许右、下、右下（对角线）行走，递推公式如何修改？"（提示：来源增加dp[i-1][j-1]） B.实践类： "用百度地图规划从家到学校的路线，思考地图软件用什么算法"（A*算法，动态规划的变种）。 设计意图： 通过应用拓展将算法与社会基础设施链接，渗透社会价值；通过拓展问题（对角线）深化算法灵活性理解；通过生活实践将课堂延伸到现实世界。 七、板书设计 第26课 寻找最短的路径 动态规划 = 分治 + 记忆 递推表 dp[i][j] 0 3 5 2 4 6 5 5 7 ←最优值 状态转移方程： dp[i][j]=min( dp[i-1][j]+time_up, dp[i][j-1]+time_left) 无后效性：只关心最优值 八、作业设计 必做作业： 完成学习单"4×4网格最短路径计算"（16个格点），要求写出递推表和最优路径。 选做作业（二选一）： A.研究类： "若网格中某条边不可通行（时间为∞），递推公式如何处理？"（提示：min时忽略∞来源）。 B.实践类： 用Pythn编写函数def min_path(grid)，输入time矩阵，返回最短时间，测试5×5网格。 九、教学评价设计 评价维度 评价指标 评价工具 评价主体 算法理解 能写出dp[i][j]的递推公式并说明含义 学习单任务四 教师观察+自评 计算能力 能正确填写3×3递推表 学习单任务三 教师批改+互评 程序实现 能补全双重循环中的min语句 学习单任务五 教师评价 拓展思维 能说出对角线行走的公式修改思路 课堂问答 教师评价 十、教学反思要点 1.手动填表的认知负荷：3×3网格的9个格子计算量适中，但学生可能因顺序错误（先算I再算E）导致依赖值未算出。需准备"计算顺序指引卡"，规定"按行从左到右，按列从上到下"，并投影动画逐个高亮当前计算格子。 2.递推公式的符号化障碍：学生从具体数值（如3+1）到dp[i-1][j]+time[i-1][j]的符号跳跃困难。需准备"公式翻译卡"，左侧写"从B到E"，右侧写"dp[0][1] + time[0][1]"，建立概念到符号的映射。 3.无后效性的深度理解：学生可能机械套用公式而不理解为何要取min。需设计 "路径对比图" ：画出A→B→E和A→D→E两条路径，高亮到E点时只保留短的路径，剪掉长的分支，可视化"最优剪枝"思想。 4.生成性资源的应用：收集学生5×5网格的计算表，作为下节课"回溯法找路径"的输入数据，实现单元内"先算值、再找路的无缝衔接。 5.时间分配的弹性控制：环节三"递推计算"易超时。需准备 “递推表半成品”（只填第一行第一列），让学生只需计算内部4个格子，将时间留给公式理解与程序验证，而非机械计算。 学科网（北京）股份有限公司 $