第11讲弧长与扇形的面积 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

这是一份初中数学期末复习课件，主题为“弧长与扇形的面积”，通过历史案例（如厄拉多塞内斯测地球半径）引入，涵盖知识归纳（公式推导）、分类探究（弧长计算、扇形面积等五类题型）、例题解析及变式跟进，构建系统学习支架。 资料特色突出，融合数学核心素养，以历史案例培养数学眼光（从现实现象抽象数学原理），通过分类探究（如矩形滚动路径分析）培养逻辑推理的数学思维，借助公式应用与面积计算训练数学语言表达。分类型例题与变式题结合，助力学生提升解题能力，为教师提供结构化教学资源，适合九年级学生期末复习及升学备考。

第11讲弧长与扇形的面积 YOUR LOGO 怎样测量地球的半径 我们知道，地球的形状近似一个球形，那么怎样测出它的半径呢？据说公元前三世纪时希腊天文学家厄拉多塞内斯(Eratosthenes，公元前276～194)首次测出了地球的半径． 他发现夏至这一天，当太阳直射到赛伊城(今埃及阿斯旺城)的水井S时，在亚历山大城的一点A的天顶与太阳的夹角为7.2°(天顶就是铅垂线向上无限延长与天空“天球”相交的一点).他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角SOA就是7.2°(如下图)．又知商队旅行时测得A，S间的距离约为5 000古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地 球的半径约为40 000古希腊里．一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径约为6 340公里． 其原理为： 设圆周长为C，半径为R，两地间的弧长为l， 对应的圆心角为n°. 厄拉多塞内斯这种测地球的方法常称为弧度测量法．用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了． 4π 图3－11－1 【思路生成】弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3. 弧长的计算 弧长的计算 由弧长公式可知，求弧长的关键是求弧所在圆的半径和弧所对的圆心角． 1．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为 (　 　) C 扇形的面积 例2　一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图3－11－2的方式分别剪得一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是 (　 　) A 图3－11－2 【思路生成】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积． 【解析】 如答图①，连结OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝∠ABO＝90°， AB＝BC＝CD＝1， ∵∠AOB＝45°， ∴OB＝AB＝1， 例2答图 图3－11－3 C 3.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是 (　 　) A．6π cm2　　　 B．8π cm2　　　　 C．12π cm2　　　 D．24π cm2 C 4．如图3－11－4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，OC＝2，求阴影部分图形的面积． 图3－11－4 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°. ∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB， 扇形的面积 由扇形的面积公式可知，求扇形的面积公式的关键是求扇形所在圆的半径和扇形的圆心角． 平面图形的滚动问题 例3　如图3－11－5，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为______． 图3－11－5 6π 【思路生成】根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③以90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长． 【解析】 如答图为滚动路径，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3， ∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC(BD)＝5. ∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3， 例3答图 平面图形的滚动问题 求平面图形中滚动物体的点的运动路径，先要发挥空间想象能力得到所求点的运动路线，然后确定每段弧的半径和圆心角，最后利用弧长公式计算． 5．如图3－11－6，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABC D按如图所示的方式在直线l上进行 两次旋转，则点B在两次旋转过程 中经过的路径的长是 (　 　) 图3－11－6 A 【解析】 连结BD，B′D，如答图． 变式跟进5答图 6．如图3－11－7，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1 cm，将△ABC沿直线l从左向右翻转3次，则点B经过的路程等于 (　 　) A 图3－11－7 【解析】 第一次旋转是以点A为圆心，AB为半径，旋转的角度是180°－30°＝150°； 第二次是以点B为圆心，所以B路程没变； 第三次是以点C为圆心，半径是BC，旋转的角度是90°； 7．如图3－11－8，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图①的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图②位置．若正六边形的边长为2 cm，则正六边形的中心O运动的路程为______cm. 图3－11－8 4π 【解析】 根据题意得，每次滚动，正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°. 求弓形的面积 例4　如图3－11－9，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为 (　 　) D 图3－11－9 【思路生成】根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去△AOB的面积． C 图3－11－10 9．如图3－11－11，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为 ( 　 　) C 图3－11－11 10．如图3－11－12，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1. (1)求∠C的大小； (2)求阴影部分的面积． 图3－11－12 (2)如答图，连结OB.由(1)知∠C＝30°， ∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°. 在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°， 变式跟进10答图 弓形的面积 (1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S△OAB； (2)如图②，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形＝S扇形＋S△OAB； 求不规则图形的面积 例5　如图3－11－13，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为 (　 　) A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4 A 图3－11－13 【思路生成】连结相邻小圆的交点，构造正方形，求出正方形中空白部分的面积，进而得出阴影面积． 【解析】 如答图所示，可得正方形EFMN，边长为2， 正方形中阴影部分的面积为S1＝2(22－π×12)＝8－2π， ∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1， ∴小圆的面积为π×12＝π， ∴S阴影＝2S小圆＋S1＝2π＋(8－2π)＝8. 例5答图 11．如图3－11－14，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 (　 　) B 图3－11－14 12.如图3－11－15，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分 的面积__________________． 图3－11－15 【解析】 如答图，设点O为弧的一个交点． 连结OA，OB，则△OAB为等边三角形，∴∠OBC＝30°. 过点O作EF⊥CD，分别交AB，CD于点E，F，则OE为等边△OAB的高， 变式跟进12答图 求不规则图形的面积 求不规则图形的面积常利用对称、全等及平行线进行等面积的图形转换，转化为容易解决的规则图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果． 例6　[全国联赛初三初赛]如图3－11－16，扇形AOB的圆心角∠AOB＝90°.半径为5，正方 形CDEF内接于该扇形，则正方形CDEF的 边长为______． 【解析】 如答图，过点O作OH⊥EF交 EF于点H，交DC于点K，连结OF. ∵OH过圆心， ∴EH＝FH. 图3－11－16 ∵四边形CDEF是正方形， ∴OH⊥DC，DK＝CK， ∴△OCK是等腰直角三角形，OK＝KC. 例6答图 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C＝2πR，所以1°的圆心角所对弧长是，即.于是半径为的R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为l＝，整理得R＝. 当l＝5 000古希腊里，n＝7.2时，R＝≈40 000(古希腊里)，化为公里数为40 000×＝6 340(公里)． 例1　如图3－11－1，△ABC 是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中，，，… 的圆心按点 A，B，C 循环．如果 AB＝1，那么曲线 CDEF 的长是________． 【解析】 弧CD的长是＝，弧DE的长是＝， 弧EF的长是＝2π， 则曲线CDEF的长是＋＋2π＝4π. 圆中的有关计算有下列公式： 1．圆周长公式：C＝2πR. 2．圆面积公式：S＝πR2. 3．弧长公式：l＝. 4．扇形面积公式： (1)S扇形＝； (2)S扇形＝lR. 这些计算公式有一个共同点，就是知晓其中任何两个量，就可以求出第三个量． A.　　　　B．2π　　　C．3π　　　D．12π A．5∶4 B．5∶2 C.∶2 D.∶ 由勾股定理得OD＝＝， ∴扇形的面积是＝π， 如答图②，连结MB，MC， ∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形， ∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°， ∵BC＝1，∴MC＝MB＝，∴⊙M的面积是π×＝π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷＝. A. B. C. D. 2．如图3－11－3，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按A，B，C循环，如果AC＝1，那么曲线CDEF和线段CF围成图形的面积为 (　 　) 【解析】 曲线CDEF和线段CF围成图形的面积是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC组成，＋×1×1＝. 在△OCE和△BDE中，∵ ∴△OCE≌△BDE， ∴S阴影＝S扇形COB＝＝π. ∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为＝， 同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为＝2π， 点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为＝. ∴当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为＋2π＋＝6π. A.π B．13π C．25π D．25 ∵AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13， ∴＝＝， ∵＝＝6π， ∴点B在两次旋转过程中经过 的路径的长是＋6π＝. A. cm B. cm C．(4＋)cm D．(3＋)cm 所以根据弧长公式可得＝ (cm)． ∵正六边形的边长为2 cm，∴运动的路径为＝. ∵从图①运动到图②共重复进行了六次上述的移动， ∴正六边形的中心O运动的路程6×＝4π(cm)． A．25π－6 B.－6 C.－6 D.－6 【解析】 ∵菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6， ∴AC⊥BD且OA＝AC＝×8＝4， OB＝BD＝×6＝3， 由勾股定理得，AB＝＝＝5， ∴阴影部分的面积＝×π－×4×3＝π－6. 8．如图3－11－10，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为(　 　) A. B. C. D. A.π B．π－ C. D.π＋ 【解析】 在Rt△AOB中，AB＝＝， S半圆＝π×＝， S△AOB＝OB×OA＝， S扇形OBA＝＝， 故S阴影＝S半圆＋S△AOB－S扇形AOB＝.故选C. 解：(1)∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴∠C＝∠AOD. ∵∠AOD＝∠COE， ∴∠C＝∠COE. ∵AO⊥BC，∴∠OEC＝90°，∴∠C＋∠COE＝90°， ∴∠C＝30°. ∴AF＝，OF＝，∴AB＝， ∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝－××＝π－. (3)如图③，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S弓形＝S圆． 【解析】 S阴影＝S扇形ABA′＋S半圆－S半圆＝S扇形ABA′＝＝2π. A．π B．2π C. D．4π 16－4－ ∴OE＝AB＝， ∴OF＝2－. 过点O作PQ⊥BC，分别交AD，BC于点P，Q，则OQ＝1. S弓形OMC＝S扇形OBC－S△OBC＝－×2×1＝－1. ∴S阴影＝4(S△OCD－2S弓形OMC) ＝4＝16－4－. 设CF＝x，则KH＝x，HF＝OK＝CK＝， 在Rt△OHF中，OH2＋HF2＝OF2， 即＋＝52， 解得x＝，即CF的长为. $