2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第6讲二次函数的动态型问题

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦二次函数动态型问题，涵盖直线运动、点运动、平行四边形背景等归类探究，通过例题解析、练习题及数学格言引入，辅以自主招生拓展题，构建完整学习支架。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，通过动态问题分类培养几何直观与抽象能力，例题分类讨论（如等腰直角三角形存在性）发展推理思维，函数表达式描述运动强化模型意识。数学格言激发兴趣，自主招生题拓展深度，助力九年级学生期末复习突破升学重点，为教师教学提供系统资源。

第6讲二次函数的动态型问题 YOUR LOGO 用数学书写的人生格言 1．王菊珍的百分数 我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50%成功的希望，不干便是100%的失败．” 2．托尔斯泰的分数 俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比作一个分数．他说：“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母．分母越大，则分数的值就越小．” 3．雷巴柯夫的常数与变数 俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’．用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍．” 4．华罗庚的减号 我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决．” 5．爱迪生的加号 大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：“天才＝1%的灵感＋99%的汗水．” 6．季米特洛夫的正负号 著名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时说：“要利用时间思考一下一天之中做了些什么，是‘正号’还是‘负号’，倘若是‘＋’，则进步；倘若是‘－’，就得吸取教训，采取措施．” 7．爱因斯坦的公式 近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A＝x＋y＋z，并解释道：“A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话．” 8．芝诺的圆 古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的：“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面．圆越大其圆周接触的无知面就越多．” 直线的运动型问题 例1　如图1－6－1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数 图1－6－1 D 关系的图象是 (　 　) 【思路生成】根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象． 【解析】 如答图所示．①当0≤t≤4时， 例1答图 动态问题通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题． 1．如图1－6－2，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分 别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿 BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，则△OEF的面积S(cm2)与t(s)的函 数关系可用图象表示为 (　 　) B 图1－6－2 【解析】 根据题意，得BE＝CF＝t，CE＝8－t， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°. ∵在△OBE和△OCF中， 点的运动型问题 例2　如图1－6－3，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，点C，D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点，直线AD与抛物线交于另一点M. 图1－6－3 (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A，P，E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路生成】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论： ①以点E为直角顶点，此时点P只能与点B重合； ②以点P为直角顶点，此时点P只能与点B重合； ③以点A为直角顶点，过点A作直线垂直于AD，与抛物线的交点即为所求点P.首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标； ①当AE＝PE时，∠EPA＝∠EAP＝45°， ∵OA＝OD＝1，∴∠DAB＝45°， 此时P与B重合，∴P(－3，0)． ②当AP＝PE时， 则∠PEA＝∠EAP＝45°， ∴∠EPA＝90°， 此时P与B重合，∴P(－3，0)． ③当AP＝AE时， 则∠EAP＝90°，设AP与y轴交于点F. 例2答图① ∵∠DAB＝45°，∴∠OAP＝90°－45°＝45°，∴∠OAP＝∠OFA＝45°， ∴OA＝OF＝1， ∴F(0，－1)， 设直线AP的解析式为y＝kx＋b， ∴x2＋2x－3＝x－1， 解得x1＝1(不合题意舍)，x2＝－2， ∴P(－2，－3)． 综上所述P(－3，0)或(－2，－3)． 例2答图② 即抛物线y＝x2＋2x－3向左平移1个单位，且向上平移1个单位， ∴y＝(x＋1)2＋2(x＋1)－3＋1＝x2＋4x＋1. 点的运动型问题 在解这类问题时，要充分发挥想象力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径． 2．如图1－6－4，过A(1，0)，B(3，0)作x轴的垂线，分别交直线y＝4－x于C，D两点．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，C，D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M为直线OD上的一动点，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样 的点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边 形为平行四边形？若存在，求出此时点M的 横坐标；若不存在，请说明理由． 图1－6－4 解：(1)当x＝1时，y＝4－1＝3，∴点C(1，3)． 当x＝3时，y＝4－3＝1，∴点D(3，1)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，C，D三点， 以平行四边形为背景的运动型问题 例3　已知：如图1－6－5①，在平行四边形ABCD中，AB＝12，BC＝6，AD⊥BD.以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD＝30°，∠AED＝90°. (1)求△AED的周长； (2)若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动．设移动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)如图1－6－5②，在(2)中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α(0°＜α＜180°)，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q，是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． 图1－6－5 【思路生成】(1)在Rt△AED中，解直角三角形即可； (2)在△AED向右平移的过程中： ①当0≤t≤1.5时，重叠部分为一个三角形； ②当1.5＜t≤4.5时，重叠部分为一个四边形； ③当4.5＜t≤6时，重叠部分为一个五边形． (3)根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是存在α，使△BPQ为等腰三角形． (3)存在α，使△BPQ为等腰三角形． ①当QB＝QP时，如答图①所示， 则∠QBP＝∠BPQ＝30°， ∴∠BQP＝180°－2∠QBP＝120°， ∴∠CQP＝60°. 例3答图① 又∵∠B1E1C＝90°，∴∠BCE1＝30°， ∴∠α＝∠BCE－∠BCE1＝60°－30°＝30°. ②当BQ＝BP时， 若点Q在B1E1延长线上时，如答图②所示． ∵∠PBQ＝30°， ∴∠BPQ＝∠BQP＝75°， ∠CQE1＝∠BQP＝75°， 又∵∠CE1P＝90°， ∴∠E1CQ＝90°－75°＝15°， 又∵∠BCE＝60°， ∴∠α＝∠BCE＋∠E1CQ＝75°. 例3答图② 若点Q在E1 B1延长线上时，PQ交AB于点F，交CD于G，如答图③所示，∠CBE＝∠CB1E1＝30°， ∴∠BPQ＝∠BQP＝15°， ∵∠CBE＝30°，∠CBA＝120°， ∴∠PBA＝30°，∴∠BFQ＝45°， 又∵AB∥CD，∴∠QGC＝∠DGP＝ ∠BFQ＝45°， 又∵∠PE1C＝90°，∴∠E1CD＝45°， ∠α＝∠BCE＋∠BCD＋∠E1CD＝60°＋60°＋45°＝165°. 例3答图③ ③当PQ＝BP时，则CQ＝CB1，此时Q与B重合，B，P，Q三点不能构成三角形． 综上所述，α＝30°或α＝75°或α＝165°时，△BPQ为等腰三角形． 探索几何图形上的一个或几个动点在运动变化中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等题目，以点的运动带动图形的变化，常与方程、函数联系在一起． 3．在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB交AD于E，连结CE，CP.已知∠A＝60°. (1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值； 图1－6－6 (2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？ 解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y， ∵如答图所示，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8. 变式跟进3答图 (2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°， ∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°. ∵∠ADC＝120°，∴∠ECD＝180°－120°－30°＝30°， ∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形， 例4　[浙江镇海中学自主招生]如图1－6－7，直线AD对应的函数关系式为y＝－x－1，与抛物线交于点A(在x轴上)，点D，抛物线与x轴另一交点为B(3，0)，抛物线与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)P是线段AD上的一个动点，过P点作 y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长 度的最大值； 图1－6－7 (3)若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形； (4)点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A，D，H，Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，如果不存在，请说明理由． 解：(1)令y＝0，则－x－1＝0，解得x＝－1， ∴点A的坐标为(－1，0)， 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c， ∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)在抛物线上， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点， ∴设点P(x，－x－1)，则点E的坐标为(x，x2－2x－3)， (3)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴点F的坐标为(1，－4)，点G的横坐标为1， ∴点G的坐标为(1，－2)，∴GF＝－2－(－4)＝2， ∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE＝GF， ∴－x2＋x＋2＝2，解得x1＝0，x2＝1(舍去)， 此时，y＝－1，∴点P的坐标为(0，－1)， 故存在点P(0，－1)，使得四边形GFEP为平行四边形． (4)存在．理由如下： ①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，四边形ADHQ为平行四边形， ∴HD∥AQ， ∴点H的纵坐标与点D相同，是－3. 此时x2－2x－3＝－3， 整理得x2－2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2(舍去)， ∴HD＝2－0＝2， ∵点A的坐标为(－1，0)， －1－2＝－3，－1＋2＝1， ∴点Q的坐标为(－3，0)或(1，0)． ②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的性质，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离， ∵点D纵坐标为－3，∴点H的纵坐标为3， ∴x2－2x－3＝3， 二次函数动点问题解题技巧： (1)化静为动，把问题中某秒后的那个时间想成一个点，然后去解； (2)对称性，如果解二次函数的题，一定要注意对称性； (3)关系法，通过画图，把需要的条件列成一些关系，列出一些代数式、方程． S＝×t×t＝t2，即S＝t2. 该函数图象是开口向上的抛物线的一部分． 故B，C错误； ②当4＜t≤8时，S＝16－×[4－(t－4)][4－(t－4)]＝－t2＋8t－16，即S＝－t2＋8t－16. 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分． 故A错误． ∴△OBE≌△OCF， ∴S△OBE＝S△OCF， ∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16(cm2)， ∴S＝S四边形OECF－S△CEF＝16－(8－t)·t＝t2－4t＋16＝(t－4)2＋8(0≤t≤8)， ∴S(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4，8)，自变量为0≤t≤8. (3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式． (3)抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移1个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式． 解：(1)∵OB＝OC＝3，OA＝1， ∴B(－3，0)，C(0，－3)，A(1，0)， 由题意，可知解得 ∴抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3. (2)如答图①所示，分情况讨论． 则　解得 ∴直线AP的解析式为y＝x－1，令 (3)如答图②抛物线沿射线AD方向平移个单位， ∵AD＝＝， ∴ 解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x. (2)存在这样的点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 由题意，易求直线OD的解析式为y＝x， ∴可设点M，则点N. 当点M在OD之间运动时，MN＝－x2＋x－x＝－x2＋4x， 此时只要MN＝AC，则四边形AMNC是平行四边形． ∴－x2＋4x＝3，∴x1＝x2＝. 当点M在OD之外运动时：MN＝x－＝x2－4x， 此时只要NM＝AC，则四边形AMNC是平行四边形． ∴x2－4x＝3，∴x1＝，x2＝， ∴点M的横坐标是或或. 解：(1)周长＝9＋3. (2)S＝t2， S＝－t2＋2t－， S＝－t2＋20t－42. ∵在Rt△APE中，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴可得AE＝2x，PE＝x. 在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°， DE＝AD－AE＝8－2x， ∴DF＝DE＝4－x. ∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD，∴S△CPE＝PE•CF. 即y＝x(10－x)＝－x2＋5x， 配方得y＝－(x－5)2＋，当x＝5时，y有最大值， 即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是. 过D作DM⊥CE于M，则CM＝CE. 在Rt△CMD中，∠ECD＝30°， ∴CM＝CD，∴CE＝CD， ∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝AB. 即BC＝AB时，△CPE≌△CPB. ∴ 解得 PE＝(－x－1)－(x2－2x－3)＝－x2＋x＋2＝－＋， 联立 解得 ∴点D的坐标为(2，－3)， ∵P是线段AD上的一个动点，∴－1＜x＜2， ∴当x＝时，PE有最大值，最大值为. 解得x1＝1－，x2＝1＋， ∵点A的横坐标为－1，点D的横坐标为2，2－(－1)＝2＋1＝3， 根据平行四边形的性质，1－＋3＝4－，1＋＋3＝4＋， ∴点Q的坐标为(4－，0)或(4＋，0)． 综上所述，存在点Q(－3，0)或(1，0)或(4－，0)或(4＋，0)，使A，D，H，Q为顶点的四边形是平行四边形． $