2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第4讲二次函数的应用题

这是一份初中数学二次函数应用题的期末复习课件，包含“巴霍姆之死”故事引入、抛物线型问题、销售利润最大问题、图形面积最大问题等内容，通过例题解析、变式跟进及指点迷津，为学生提供系统的学习支架。 资料特色鲜明，以故事激发兴趣，融合数学眼光观察（如将土地购买转化为梯形面积计算）、数学思维思考（建立函数模型求最值）、数学语言表达（规范解题步骤），结合电缆抛物线、销售利润表等实例，帮助学生提升建模能力，也为教师提供丰富教学案例。九年级学生面临升学，二次函数应用题是重点，资料通过分类探究助力巩固考点，提升应试能力。

第4讲二次函数的应用题 YOUR LOGO 巴霍姆之死 19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事： 巴霍姆到草原去购买土地，卖地的酋长出了一个奇怪的地价：谁出1 000卢布，谁就可以得到土地，只要他在日出时从规定的地点出发，在日落前返回原出发地，那么他所走过的线路圈起的土地就全部归属于他．但是，如果他在太阳落山前赶不回原出发地，那么走得再多也得不到半点土地，同时那1 000卢布也就算白花了． 第二天，太阳刚刚从地平线升起，巴霍姆就赶忙在草原上大踏步向前走去．他走啊，走啊，走了足足有10公里，这才朝左拐弯；接着又走了很久，才再向左拐弯；然后他又走了2公里，这时，他看到天色不早，也早已累得不行了，可是离清晨出发的地方还足有15公里，于是不得不马上改变方向，径直朝出发地点拼命跑去．最后，巴霍姆总算在日落之前赶回了原地，但他却丝毫未能捞到便宜．因为他劳累过度，待到出发地点，还未站稳，就两腿一软，口吐鲜血死了．实际上，在这一天中，巴霍姆走过的路线如图所示，是一个梯形，他所走过的路程，是这个梯形的周长．从图中可以看出，梯形ABCD的周长是：AB＋BC＋CD＋DA. 我们可以知道，在平面上周长相等的n边形中，正n边形所围的面积最大．比如，若四边形ABCD不是一个梯形而是一个正方形，那么当边长是9公里时，其面积可达81平方公里，而这时它的周长只有36公里．也就是说，巴霍姆如果走过的线路可以围成一个正方形，那么他起码可以少走3.7公里，但是多围出4.8平方公里的土地． 实际上，在平面上一切等周长的封闭图形中，圆的面积最大．因此，如果巴霍姆走的线路是一个以5公里为半径的圆，那么这个圆所围的面积是78.5平方公里，而这个圆的周长只有31.4公里．也就是说，他少走8.3公里所围出的地却比他原来围的地多出2.3平方公里．如果巴霍姆走的线路是一个以6公里为半径的圆，那么，这个圆的周长是37.7公里，面积是113平方公里，即巴霍姆可以少走2公里的路，但多得到36.8平方公里的土地． 巴霍姆如果多懂些数学知识，少一些贪婪，也许他能幸免一死吧． 二次函数的应用一般包括三个方面： 1．基础知识的应用：将实际生活、工农业生产和国防科技等方面简单的应用问题，转化为“抛物线型”问题，并运用相关知识解决． 2．二次函数最值的应用：解决最大、最小、最省、最合算等问题．如果这些问题与二次函数相关，那么首先就要选择恰当的自变量，构建二次函数模型，再把这些实际问题转化为二次函数的最值问题． 3．函数图象的应用：利用函数图象提供的信息，运用数形结合的思想来解决． “抛物线型”问题 图1－4－1 (1)如图1－4－1①，若水平距离间隔80 m建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？ (2)如图1－4－1②，若在一个坡度为1∶5的斜坡上，按水平距离间隔50 m架设两固定电缆的位置离地面高度为20 m的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？ 【思路生成】(1)以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系．因为水平距离间隔80 m，说明最低点的横坐标为40，纵坐标为6，即可求出此时抛物线的解析式，当横坐标为0时，纵坐标的值即为固定电缆的位置离地面的高度； “抛物线型”问题 (1)对于抛物线型问题，要建立恰当的平面直角坐标系； (2)根据相关线段的长度确定对应抛物线经过哪两点(或三点)； (3)运用顶点式或者一般式确定抛物线的解析式； (4)运用所求的抛物线的解析式解决相应的实际问题. 1．如图1－4－2，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与原点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界点的水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． (3)若球一定能越过球网，又不出界，则h的取值范围是多少？ 2．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：m).现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图1－4－3所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知AB＝8 m，设抛物线的解析式为y＝ax2－4. (1)求a的值； (2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连结CD，BC，BD，求△BCD的面积． 图1－4－3 变式跟进2答图 (2)如答图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F. 解：(1)∵AB＝8 m，由抛物线的对称性可知OB＝4 m， 销售利润最大问题 例2　某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)如表所示： x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26 t(件) 4 8 12 16 20 24 28 假定试销中每天的销售量t(件)与销售价x(元/件)之间满足一次函数． (1)试求t与x之间的函数关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价－每件服装的进货价) 【思路生成】(1)设t与x的函数关系式为t＝kx＋b，将x＝38，t＝4；x＝36，t＝8分别代入求出k，b，即可得到t与x之间的函数关系式． (2)根据利润＝(售价－成本)×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少． 3．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx－75，其图象如图1－4－4所示． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 图1－4－4 解：(1)∵y＝ax2＋bx－75的图象经过点(5，0)，(7，16)， 即y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25， ∴当销售单价为10元时，最大利润为25元． (2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7，16)在抛物线上， ∴(13，16)也在该抛物线上， ∴当7≤x≤13时，销售利润不低于16元． 销售利润最大问题 (1)根据题中的条件(或表格中提供的数据)求出相关的函数解析式； (2)利用函数的性质求最大或最小值； (3)注意把二次函数与一元二次方程结合使用． 4.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，且每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量) 解：(1)y ＝(x－50)[50＋5(100－x)] ＝(x－50)(－5x＋550) ＝－5x2＋800x－27 500， ∴y＝－5x2＋800x－27 500. (2)y＝－5x2＋800x－27 500 ＝－5(x－80)2＋4 500. ∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下． ∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80， ∴当x＝80时，y最大值＝4 500. ∴销售单价为80元时每天的销售利润最大，最大利润为4 500元． (3)当y＝4 000时，－5(x－80)2＋4 500＝4 000， 解这个方程，得x1＝70，x2＝90. ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4 000元． 由每天的总成本不超过7 000元，得50(－5x＋550)≤7 000， 解这个不等式，得x≥82.∴82≤x≤90. ∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间． 图形面积或体积最大(小)问题 图1－4－5 (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ 【思路生成】(1)利用30°角直角三角形的性质，勾股定理求解； (2)S矩形DEFG＝xy； (3)利用勾股定理证明两弯新月面积＝S△ABC. 图形面积或体积最大(小)问题 利用二次函数解决图形面积或体积最大(小)问题要注意把握三点： (1)根据题目条件，结合几何图形的面积或体积公式求二次函数的解析式； (2)注意自变量的取值范围； (3)根据二次函数的性质求最大(小)值． 5．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 整理，得y＝－20x2＋1 800x. ∵y＝－20x2＋1 800x＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝ －20(x－45)2＋40 500， ∵－20＜0，∴当x＝45时，函数有最大值，y最大值＝40 500， 即当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm3. 选择最佳方案问题 例4　为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数据. 采购数量(件) 1 2 … A产品单价(元/件) 1 480 1 460 … B产品单价(元/件) 1 290 1 280 … (1)设A产品的采购数量为x(件)，采购单价为y1(元/件)，求y1与x的关系式； (3)该商家分别以1 760元/件和1 700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在(2)的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大？并求最大利润． 【思路生成】(1)设y1与x的关系式为y1＝kx＋b，由表列出k和b的二元一次方程组，求出k和b的值，函数关系式即可求出； (2)首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案； (3)令总利润为W，根据利润＝售价－成本列出W与x的函数关系式，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可． 解得11≤x≤15， ∵ x为整数，∴ x可取11，12，13，14，15， ∴该商家共有5种进货方案． (3)解法一：根据题意，可得B产品的采购单价为y2＝－10(20－x)＋1 300＝10x＋1 100，设总利润为W，则W＝[1 760－(－20x＋1 500)]·x＋[1 700－(10x＋1 100)]·(20－x)＝30x2－540x＋12 000＝30(x－9)2＋9 570 ∵ a＝30＞0， ∴当x≥9时，W随x的增大而增大． ∵11≤x≤15， ∴ 当x＝15时，W最大＝10 650； 解法二：根据题意，可得B产品的采购单价可表示为： y2＝－10(20－x)＋1 300＝10x＋1 100， 则A，B两种产品的每件利润可表示为： 1 760－y1＝20x＋260， 1 700－y2＝－10x＋600. 则当20x＋260＞－10x＋600时，A产品的利润高于B产品的利润， ∵ 11≤x≤15，∴当x＝15时，总利润最高． 此时总利润为(20×15＋260)×15＋(－10×15＋600)×5＝10 650(元)． 答：采购A产品15件时总利润最大，最大利润为10 650元. 选择最佳方案问题 销售问题是近几年的中考热点，这类问题是先求出两个变量之间的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转化为二次函数的最值． 常用关系式：销售利润＝每件利润×销售量． 二次函数与一次函数综合应用问题 例5　某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表所示： 价格x(元/个) … 30 40 50 60 … 销售量y(万个) … 5 4 3 2 … 同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元． (1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式； (2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ (3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 【思路生成】(1)根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式； (2)根据总利润＝每件利润×销售量－开支得出z与x的函数关系式，求出即可； (3)首先求出z＝40时x的值，进而得出x(元/个)的取值范围. 解：(1)经观察可知，表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，设y＝kx＋b， (2)由题意，得z＝(x－20)y－40＝(x－20)(－0.1x＋8)－40＝－0.1x2＋10x－200，即z＝－0.1x2＋10x－200为这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式． ∵z＝－0.1x2＋10x－200＝－0.1(x－50)2＋50， ∴当x＝50时，z最大值＝50，即销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元． (3)当z＝40时，－0.1(x－50)2＋50＝40，(x－50)2＝100，解得x＝40或60. ∵该公司要求净得利润不能低于40万元， ∴40≤x≤60. 又∵还需考虑销售量尽可能大，即y尽可能大，则x尽可能小， ∴x＝40. ∴销售价格x(元/个)的取值范围是40≤x≤60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个． 二次函数与一次函数综合应用的问题 (1)要注意把表与图象结合起来理解； (2)要根据表与图象提供的信息解答相关的问题； (3)要注意一次函数与二次函数图象及其性质的实际应用. 6．某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数关系如图1－4－6①所示；小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间的函数关系如图1－4－6②所示． (1)如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是______元，小张应得的工资总额是________元；此时，小李种植水果______亩，小李应得的报酬是________元； (2)当10<n≤30时，求z与n之间的函数关系式； 140 2 800 10 1 500 (3)设农庄支付给小张和小李的总费用为W(元)，当10<m ≤30时，求W与m之间的函数关系式． 图1－4－6 解：(2)当10<n≤30时，z关于n的函数图象经过点(10，1 500)，(30，3 900)， (3)当10＜m≤30时，y＝－2m＋180， ∵m＋n＝30，又∵当0≤n＜10时，z＝150n； 当10≤n＜20时，z＝120n＋300， ∴当10<m≤20时，10≤n<20， W＝m(－2m＋180)＋120n＋300＝m(－2m＋180)＋120(30－m)＋300＝－2m2＋60m＋3 900， 当20<m≤30时，0≤n<10，W＝m(－2m＋180)＋150 n＝m(－2m＋180)＋150(30－m)＝－2m2＋30m＋4 500. (1)根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x＝5时，y＝45，求k的值； (2)按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20 mg/100ml时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说明理由． 图1－4－7 解：(1)∵y＝－200x2＋400x ＝－200(x－1)2＋200， ∴当x＝1时，y最大＝200； ②∵x＝5时，y＝45， 图表信息题的解题方法 (1)读懂图表，结合分析找出有用信息； (2)利用信息建立数学模型(如二次函数)； (3)带着实际问题的限制条件解数学模型． 例6　大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表所示： x(天) 1 2 3 … 50 p(件) 118 116 114 … 20 (1)请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系； (2)求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式； (3)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 分段函数中，自变量在不同取值范围内的解析式也不同，在解决实际问题时要注意相应的自变量的取值范围． 已知，AB＝10公里，CD＝2公里，DA＝15公里． 在Rt△ADE中，根据勾股定理，可求得直角边DE的长是≈12.7(公里)． 由于BC＝DE，因此巴霍姆一共走了 10＋12.7＋2＋15＝39.7(公里)， 而梯形ABCD的面积是＝76.2(平方公里)． 例1　[浙江镇海中学自招]某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线y＝x2的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6 m. (2)以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系．首先根据题意，设出抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋c，把P，Q点坐标代入，可求出抛物线的解析式，根据其性质，可得出顶点的坐标，即下垂的电缆与地面的最近距离． 解：(1)以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系．当电缆最低点离水平地面距离为6 m时，抛物线的顶点坐标为(40，6)．此时，抛物线的解析式为y＝(x－40)2＋6.令x＝0，则y＝22. ∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22 m的高度. (2)以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系． 设此时抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋c， 已知P(0，20)，Q(50，30)在该抛物线上， 代入解析式可求得b＝－，c＝20. ∴y＝x2－x＋20. 根据坡度为1∶5求得斜坡所在直线的解析式为y＝x. 设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于N. 则MN＝m2－m＋20－m＝(m－25)2＋13.75. ∴当m＝25时，MN的最小值为13.75， 即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13.75 m． 解：(1)当h＝2.6时，则y＝a(x－6)2＋2.6. ∵A(0，2)在抛物线上，则2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－， 则解析式为y＝－(x－6)2＋2.6. (2)当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43， ∴球能越过球网； 当x＝18时，y＝－(18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2>0， ∴球出界了． (3)抛物线恒过(0，2)，故a(0－6)2＋h＝2，解得a＝， ∴抛物线的解析式为y＝(x－6)2＋h. ∵球要过网，∴x＝9时，y≥2.43， 即(9－6)2＋h≥2.43，解得h≥； ∵球不出界，∴x＝18时，y≤0， 即(18－6)2＋h≤0，解得h≥. 综上可知，h的取值范围是h≥. ∴B(4，0)，0＝16a－4，∴a＝. ∵a＝，∴y＝x2－4. 令x＝－1，∴m＝×(－1)2—4＝－，∴C. ∵点C关于原点的对称点为D，∴D，∴CE＝DF＝， S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝＝OB·DF＋OB·CE ＝×4×＋×4×＝15(m2)， ∴△BCD的面积为15 m2. 解：(1)设t与x之间的函数关系式为t＝kx＋b，∵其经过(38，4)和(36，8)两点，∴解得故 t＝－2x＋80. (2)设每天的毛利润为w元，每件服装销售的毛利润为 (x－20)元，每天售出(80－2x)件，则w＝＝ －2＋200，当x＝30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元． ∴　解得 例3　为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图1－4－5所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草，其余空地铺设地砖．其中AB＝24 m，∠BAC＝60°.设EF＝x m，DE＝y m. (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？ 解：(1)在直角△ABC中，由题意，可得AC＝12 m，BC＝36 m，∠ABC＝30°，AD＝x，BE＝x. 又∵AD＋DE＋BE＝AB， ∴y＝24－x－x＝24－x(0＜x＜18)． (2)S矩形DEFG＝xy＝x＝－(x－9)2＋108， ∴当x＝9 m时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108 m2. (3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3，两弯新月面积为S，则S1＝πAC 2，S2＝πBC 2，S3＝πAB 2. 由AC 2＋BC 2＝AB 2，可知S1＋S2＝S3，S1＋S2－S＝S3－ S△ABC，∴S＝S△ABC， ∴S＝×12×36＝216(m2)． 由－(x－9)2＋108＝×216，解得x＝9±3，符合题意． ∴当x＝9±3 m时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的. 解：根据题意，得y＝20x， (2)经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1 200元，求该商家共有几种进货方案？ 解：(1)设y1与x的关系式为y1＝kx＋b， ∴解得k＝－20，b＝1 500， ∴y1与x的关系式为y1＝－20x＋1 500(0＜x≤20，x为整数)． (2)根据题意，得 即x＞＝11时，A产品越多，总利润越高． 由题意，得解得故y(万个)与x(元/个)的函数解析式为y＝－0.1x＋8. 设z＝kn＋b，则解得∴z＝120n＋300(10＜n≤30)． ∴W与m之间的函数关系式为W＝ 7．实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5 h内其血液中酒精含量y(mg/100ml)与时间x(h)的关系可以近似的用二次函数y＝－200x2＋400x刻画，1.5 h后(包括1.5 h)y与x可近似的用反比例函数y＝(k>0)刻画(如图1－4－7所示)． ∴y＝＝＝45. ∴k＝225. (2)由题，可知x＝11>1.5， ∴y＝＝＝20>20， ∴不能驾车去上班． 销售单价q(元/件)与x满足：当1≤x＜25时，q＝x＋60；当25≤x≤50时，q＝40＋. 解：(1)p＝120－2x. (2)y＝p·(q－40)＝ ＝ (3)当1≤x＜25时，y＝－2(x－20)2＋3 200， ∴x＝20时，y的最大值为3 200， 当25≤x≤50时，y＝－2 250. ∴x＝25时，y的最大值为3 150. ∴该超市第20天获得最大利润，最大利润为3 200元． $