第二十九章直线和圆的位置关系 习题课件 2025-2026学年冀教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“点与圆的位置关系”，课堂导入从基础判断（如半径与距离比较）入手，衔接圆的半径概念，通过填空、选择、解答题等搭建学习支架，帮助学生掌握点在圆内、上、外的判定条件。 亮点在于融合几何直观（网格圆弧判断点位置）、推理能力（分情况讨论半径范围）与应用意识（火车噪音影响问题），如第8题通过逻辑推理确定r的取值范围，第16题用直角三角形解决实际问题。助力学生形成数学思维，教师可分层教学提升效率。

第二十九章　直线与圆的位置关系 29．5 正多边形与圆 1 返回 D 1. 下列说法中不正确的是(　　) A．正多边形一定有一个外接圆 B．各边相等且各角相等的多边形一定是正多边形 C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 D．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 2 返回 2. C 若正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 返回 3. B 返回 4. D [2024济宁中考]如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　) A．1 B．2 返回 5. 10 [2024镇江中考]如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________. 6. (4分)[教材P17例2变式]如图，正三角形ABC外接圆⊙O的半径为2，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积. 返回 7. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲、乙两人的作法分别是： 甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，BC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. A 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 返回 11 返回 8. 解：如图所示： (1)正八边形　　　(2)正三角形　 (4分)[教材P17例1变式]分别按要求作出如图所示⊙O的内接正多边形．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 返回 9. D 两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是(　　) 13 返回 10. D [2025山东中考]在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 14 返回 11. 105 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝________°. 15 12. (12分)如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE等正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； 16 解：连接OB，OC. ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠ABC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°， ∴∠OBM＝30°＝∠OCN. 又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN(SAS)． ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°. 90° (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 72° 18 (3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系. 返回 19 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P是上一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　) A．45° B．36° C．35° D．30° C. D. 解：如图，连接OB，OA，延长AO交BC于点D. ∵正三角形ABC的外接圆是⊙O， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC， 易得∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°，∴正三角形ABC的边心距为OD＝OB＝×2＝1. 由勾股定理得BD＝＝，∴BC＝2BD＝2 ， ∴正三角形ABC的边长为2 ， ∴正三角形ABC的周长为3BC＝3×2 ＝6 . ∵AD＝AO＋OD＝2＋1＝3， ∴正三角形ABC的面积为BC·AD＝×2 ×3＝3 . A．(2 ，2 ) B．(3，4) C．(4，2 ) D．(2 ，4) 解：∠MON＝. $第二十九章　直线与圆的位置关系 29．4 切线长定理* 1 返回 B 1. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B 两点，若PA＝6，则PB＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 2 返回 2. A 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B 两点，若∠APB＝60°，则∠APO的度数为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 返回 3. 如图，已知PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB＝60°，PA＝6，则⊙O的半径是________. 4. 6 (8分)[教材P12例1变式]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，△PCD的周长为12，∠P＝60°. (1)PA＝________； (2)求∠COD的度数. 返回 6 返回 5. B 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形(　　) A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 返回 6. B 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为8，则△ACO的面积为(　　) A．8 B．6 C．7.2 D．4.8 返回 7. 1 [教材P14习题A组T2变式][2025邯郸期中]如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝________. 8. (4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长. 解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x. ∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC. 又∵∠C＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF为正方形．∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2. 又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3. 在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2， 解得x＝10，∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12， ∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30. 返回 返回 9. D [2025自贡中考]PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 12 10. 如图，在等边三角形DEF的边上分别取点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，BC，AC.甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：△ABC一定是等边三角形． 乙：若点O是△ABC的外心，则它一定也是△DEF的外心． 丙：若AB⊥DE，则AB的长是△DEF内切圆半径的长的2倍． 13 D 则下列判断正确的是(　　) A．只有甲的说法不正确 B．只有丙的说法不正确 C．只有乙的说法不正确 D．甲、乙、丙的说法都正确 返回 14 返回 11. 11 如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8， BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为________. 15 12. (8分)如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC. (1)求证：∠AOC＝2∠PAC； 16 证明：如图，过点O作OH⊥AC于点H，∴∠OHA＝90°， ∴∠AOH＋∠OAC＝90°. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°， ∴∠OAC＋∠PAC＝90°， ∴∠AOH＝∠PAC. ∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH， ∴∠AOC＝2∠PAC. (2)连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长. 返回 18 13. [2024滨州中考]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， AB，BC，CA的长分别为c，a，b. 则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　　) 返回 D 2 解：∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°， ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°. ∵CA，CE是⊙O的切线，∴易得∠OCE＝∠ACD. 同理∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝∠ACD＋ ∠CDB＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180°－(∠OCE＋∠ODE)＝180°－120°＝60°. 解：如图，延长AC交PB于点E. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，PA＝PB. ∵AC∥OB，∴AC⊥PB.又∵OH⊥AC， ∴四边形OBEH是矩形，∴OH＝BE，HE＝OB＝5. ∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝3， ∴OH＝＝4，AE＝AH＋HE＝8，∴BE＝OH＝4. ∵AP2＝AE2＋PE2，∴AP2＝82＋(AP－4)2，∴AP＝10. A．d＝a＋b－c B．d＝ C．d＝ D．d＝|(a－b)(c－b)| $第二十九章　直线与圆的位置关系 29．2 直线与圆的位置关系 1 返回 相交 1. 已知圆的半径为5 cm，设圆心到直线的距离为d.若d＝4 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点；若d＝5 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点；若d＝6 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点. 2 相切 1 相离 0 2 返回 2. 相交 [教材P6练习T1变式]⊙O的直径为17 cm，若圆心O与直线l的距离为7.5 cm，则l与⊙O的位置关系是________．(填“相交”“相切”或“相离”) 返回 3. D [2025唐山期末]如图，这是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆，它们的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．平行 D．相离 返回 4. C [2025保定期末]半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆是(　　) A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 返回 5. C 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O有2个交点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是(　　) A．d＝3 B．d＞3 C．0≤d＜3 D．d＜3 返回 6. B [2025邯郸模拟]已知直线l与⊙O相交，点P在直线l上，若点P到点O的距离等于⊙O的半径，则点P的数量为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 返回 7. C [教材P7练习T2变式]如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，1为半径的圆与直线OA的位置关系是(　　) A．相交 B．相切　 C．相离 D．以上三种都有可能 返回 8. C [教材P7习题A组T2变式]在平面直角坐标系中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆(　　) A．与x轴有2个交点，与y轴有1个交点 B．与x轴没有交点，与y轴有2个交点 C．与x轴有1个交点，与y轴有2个交点 D．与x轴有1个交点，与y轴没有交点 返回 9. D 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是(　　) A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 10 10. (12分)[教材P6例题变式]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4.以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？ 11 返回 返回 11. C 已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相交　 B．相切　 C．相离　 D．无法确定 13 返回 12. D 则下列判断正确的是(　　) A．只有乙的答案对 B．甲、乙的答案合在一起才对 C．乙、丙的答案合在一起才对 D．三人的答案合在一起才对 14 返回 13. 1 如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个点到直线l的距离等于1，即m＝4，由此可知： (1)当d＝3时，m＝________； (2)当m＝2时，d的取值范围是________． 1＜d＜3 14. (2)写出⊙M与射线OA的公共点个数的所有可能的情况及对应的r的取值范围. 返回 17 15. (8分)如图，半圆的圆心与坐标原点重合，该半圆的半径为1，直线l的表达式为y＝x＋t. (1)若直线l与半圆只有一个交点，求t的取值范围； 解：若直线l与半圆只有一个交点，则直线l和半圆相切或从直线l过点A开始到直线l过点B结束(不包括直线l过点A)． 易知直线l与x轴所夹的锐角是45°. 当直线l和半圆相切于点C时，连接OC，则OC⊥l，过点C作CD⊥AB于D，则∠COD＝45°. (2)若直线l与半圆有两个交点，求t的取值范围. 返回 21 (1)r＝2；(2)r＝2 ；(3)r＝3. 解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝90°. ∵∠A＝45°，AC＝4，∴CD＝AC＝2 ， 即圆心C到直线AB的距离d＝2 . (1)当r＝2时，d＞r，∴⊙C与直线AB相离． (2)当r＝2 时，d＝r，∴⊙C与直线AB相切． (3)当r＝3时，d＜r，∴⊙C与直线AB相交． 题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r＝4.乙答：3＜r＜4.丙答：r＝. (8分)[教材P7练习T2变式]如图，已知∠AOB＝45°，M是射线OB上一点，OM＝.以点M为圆心，r为半径画⊙M. (1)当⊙M与射线OA相切时，求r的值； 解：过点M作MN⊥OA于点N， 则∠ONM＝90°. ∵∠AOB＝45°，∴MN＝OM＝1， ∴当⊙M与射线OA相切时，r的值为1. 解：当r＝1时，⊙M与射线OA相切，只有一个公共点； 当0<r<1时，⊙M与射线OA相离，没有公共点； 当1<r≤时，⊙M与射线OA相交，有两个公共点； 当r>时，⊙M与射线OA只有一个公共点． 又∵OC＝1，∴CD＝OD＝，即点C. 把点C的坐标代入直线l的表达式，可得t＝. 易知A(－1，0)，B(1，0)， 当直线l过点A时，把点A(－1，0)的坐标代入直线l的表达式，可得t＝1.当直线l过点B时，把点B(1，0)的坐标代入直线l的表达式，可得t＝－1. 综上，t的取值范围为t＝或－1≤t＜1. 解：若直线l与半圆有两个交点，则从直线l过点C开始到直线l过点A结束(不包括直线l过点C)． 由(1)易知，t的取值范围是1≤t＜. $第二十九章　直线与圆的位置关系 29．1 点与圆的位置关系 1 返回 内 1. 已知⊙O的半径是3，当OP＝2时，点P在⊙O______；当OP＝3时，点P在⊙O______；当OP＝5时，点P在⊙O________. 上 外　 2 返回 2. ＜ 已知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则OP________4.(填“＞”“＝”或“＜”) 返回 3. 5 已知⊙O的直径为10 cm，点P不在⊙O外，则OP的最大长度是________cm. 返回 4. D [2025石家庄期末]如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是(　　) A．点P B．点Q C．点M D．点N 返回 5. D 已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA的长可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 返回 6. B 若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是(　　) A．点O在⊙P内 B．点O在⊙P上 C．点O在⊙P外 D．无法确定 返回 7. C 如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点M在这条圆弧所在圆的(　　) A．内部 B．外部 C．圆上 D．不确定 8. 解：若点A，B在⊙C外，则AC＞r. ∵AC＝3，∴0＜r＜3. (8分)[教材P3例题变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r. (1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？ 解：若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC. ∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4. (2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 返回 10 返回 9. A 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA的长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(　　) A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F 11 返回 10. (4分)如图，以点A为圆心，半径为5 m的圆形区域内有猫活动，一只老鼠从点O出发，沿着OB方向水平运动，AB⊥OB，若OA＝8 m，OB＝6 m，则老鼠有没有被捕捉的风险？ 12 返回 11. C 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为(　　) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 13 返回 12. B [教材P4习题B组T1变式][2025邯郸期末]如图，在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，若点P在⊙O上，且P到AB的距离为2，则点P的位置可以有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 14 返回 13. A 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是(　　) A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14 返回 14. 如图，半径为1个单位长度的⊙O的圆心在数轴的原点处，若⊙O以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时原点右边距原点7个单位长度处的点P以每秒2个单位长度的速度向左运动，________秒时，点P在⊙O上. 返回 15. 9 cm或3 cm 已知点M到一个圆的最小距离为3 cm，最大距离为 6 cm，则该圆的直径是____________. 16. (8分) 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会， ∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240 m．如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么当火车在铁路MN上沿MN方向以72 km/h的速度行驶时，A处是否会受到火车噪音的影响？如果不影响，请说明理由；如果受到影响，求受到影响的时间. 解：受影响．如图，过点A作AC⊥ON. ∵∠QON＝30°，OA＝240 m， ∴AC＝120 m. ∵120 m＜200 m， ∴A处会受到火车噪音的影响． 假设火车到点B时开始对A处产生噪音影响， 经过点D后不再对A处产生噪音影响， 返回 17. (12分)如图，一个直角锯齿卡尺(所有角均为直角)，K0，K1，K11都在圆上，且K0K1＝K0K11＝5.卡尺所有锯齿高度和水平宽度都为1，如K1K2＝K2K3＝1. (1)圆心在卡尺内部还是外部？说明理由； 解：圆心在卡尺内部，理由如下：连接K1K11， 易知线段K1K11在卡尺内部．∵K0，K1，K11都在圆上， 且∠K1K0K11＝90°， ∴K1K11为圆的直径， ∴圆心在Rt△K1K0K11的斜边K1K11上，∴圆心在卡尺内部． (2)过K0，K1，K11的圆的半径是多少？ 23 解： K7在⊙K0内，K9在⊙K0上． (3)若以K0为圆心，K0K3为半径画圆，直接写出K7，K9与⊙K0的位置关系. 返回 24 解：在Rt△ABO中，AB⊥OB， OA＝8 m，OB＝6 m，∴AB＝2 m， ∵5 m＜2 m， ∴老鼠没有被捕捉的风险． 2或 连接AB，AD，则AB＝AD＝200 m. ∵AC⊥ON，∴BC＝CD. ∵AC＝120 m， ∴BC＝CD＝＝160(m)，∴BD＝320 m. ∵72 km/h＝20 m/s， ∴受到影响的时间为320÷20＝16(s)． 解：∵K0K1＝K0K11＝5，∠K1K0K11＝90°， ∴K1K11＝＝5 . ∵K1K11是过K0，K1，K11的圆的直径， ∴过K0，K1，K11的圆的半径是K1K11＝. $第二十九章　直线与圆的位置关系 29．3 切线的性质和判定 1 返回 40° 1. [2024浙江中考]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.若∠ACB＝50°，则∠B的度数为________. 2 返回 2. D [2024山西中考]如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° 返回 3. D [教材P9练习T1变式]如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°， OB＝4，则线段OP的长为(　　) 4. (4分)[2025天津中考节选]如图，已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．求∠CED的大小. 返回 返回 5. D 下列直线中，一定为圆的切线的是(　　) A．垂直于半径的直线 B．与圆有公共点的直线 C．过直径端点的直线 D．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线 返回 6. D 如图，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是(　　) A．∠O＋∠P＝90° B．∠O＋∠P＝∠OMP C．OM2＋PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 返回 7. 60° 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________时，AC与⊙O相切. 8. (4分)[2025山东中考节选]如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线．求证：AB为⊙O的切线. 返回 证明：∵AD⊥OB于点D，∴∠ADB＝90°. ∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC＝∠BAC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∴∠BAC＋∠OAC＝∠DAC＋∠OCA＝ 180°－∠ADB＝90°，即∠OAB＝90°，∴AB⊥OA. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AB为⊙O的切线． 返回 9. C [教材P23习题B组T3变式][2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 12 返回 10. B 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(　　) A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1) 13 11. (8分)[2025陕西中考]如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°. (1)求证：AB＝AC； 14 证明：连接OD.∵∠F＝45°， ∴∠DOE＝2∠F＝90°. ∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB， ∴∠ODA＝90°＝∠DOE， ∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B. ∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C， ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. 返回 16 12. 1 (12分)如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm. (1)当t＝________时，半圆O与AC 所在直线第一次相切；点C到 直线AB的距离为________． 6 cm 17 解：如图①，过点C作CF⊥AB于点F，由(1)得OF＝6 cm， 当直线AB与半圆O所在的圆相切时， 圆心O到直线AB的距离为12÷2＝6(cm)， 又∵圆心O在直线BC上， ∴当点O运动到点C处时，直线AB与半圆O所在的圆相切， 此时，点O运动了8 cm，t＝8÷2＝4. (2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？ 18 如图②，当点O运动到点B的右侧时，过点O作OQ⊥AB， 交直线AB于点Q，易得OQ＝6 cm. 在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°， 则OB＝2OQ＝12 cm， 此时点O运动了8＋12＋12＝32(cm)， t＝32÷2＝16. 综上所述，当t＝4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切． (3)当△ABC的一边所在直线与半圆O相切时，若半圆O与△ABC有重叠部分，直接写出重叠部分的面积. 返回 20 A．6 B．4 C．4 D．8 解：连接OC. ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB. ∵OA＝OB，∠AOB＝80°， ∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝40°， ∴∠CED＝∠COB＝20°. (2)若sin A＝，AB＝8，求DG的长. 解：∵sin A＝＝，∴OA＝OD. ∵OC＝OD，OA＋OC＝AC＝AB＝8， ∴OD＋OD＝8，∴OD＝3，∴OA＝×3＝5，OF＝OD＝3，∴在Rt△ODF中，DF＝＝3 ， 在Rt△ODA中，AD＝＝4.∵AD∥OF， ∴△AGD∽△OGF，∴＝＝，∴DG＝DF＝. 解：重叠部分的面积为9π cm2或(6π＋9 )cm2. $