25.2 用列举法求概率&25.3 用频率估计概率-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 1.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出 一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到 绿球的概率是 1 A.4 c 2.为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入 口处的测温工作，则甲被抽中的概率是 n是 3.在x2☐2xy☐y2中，分别填上“+”或“一”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的 概率是 ( A.1 D.i 4.从一1，一2,3,6这四个数中任取两个数，分别记为m,n,那么点(，n)在函数y=-6x 图象上的概率为 A. D立 5.我市博览馆有A,B,C三个入口和D,E两个出口，小明入馆游览，他从A口进、E口出 的概率是 6.现有A,B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中，A袋装 有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球.将A,B两袋摇匀后，各随机摸出 一个小球，则摸出的这两个小球颜色相同的概率为 7.不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1,2,3.三张卡片质地均匀，大小、形状完全相 同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出 一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ·41 第2课时用树状图法求概率 1.从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c,则关于x的一元二次方程 ax2十4x十c=0有实数解的概率为 ( ) A是 B方 n号 2.三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1,2,3，将它们背面朝上，洗匀 后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字 a,b,c,则以a,b,c为边长正好构成等边三角形的概率是 A号 B动 c D号 3.小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好 为“上册、中册、下册”的概率是 4.一个口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1,2,3，小杨从中随机摸出一个 小球 (1)小杨摸到标号为2的小球的概率为 (2)若小杨摸到的小球不放回，把小杨摸出的球的标号记为α，然后由小东再随机摸出 一个小球的标号记为b,小杨和小东在此基础上共同协商一个游戏规则：当α>b 时，小杨获胜，否则小东获胜，请问他们制定的游戏规则公平吗？（请用列表法或树 状图法说明理由) ·42· 25.3用频率估计概率 1.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凹面向上”的频率约为0.53， 则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为 ( ) A.0.53 B.0.51 C.0.50 D.0.47 2.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近 A.200 B.300 C.500 D.800 3.在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有其他任何区 别.摇匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球40次， 其中10次摸到黑球，则估计盒子中有白球 个. 4.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域 某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察 发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地有 只A种候鸟. 5.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有8个黄球。 (1)若先从盒子里拿走个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随 机事件”，则m的最大值为个； (2)若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记 下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 40%,问n的值大约是多少？ ·43·5.解：根据题意，得y-x(90-x)×20,即y--20(x-90x)--20(x-45)2十40500， 23.3课题学习图案设计 24.3正多边形和圆 :一20<0，∴.当=45时，y有最大值y大输=40500.答，当底面的宽x为4行m时， 1.C2.D3.D4.D 1.B2.D3,54”4.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接ON,NF 抽展的体积最大，最大值为40500cm. 第二十四章圆 由题意可得：FN=ON=OF,·△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，∴.∠NMA 第2课时二次西数与商品利润问题 1.C2.205万元3.1214.解，(1)由图象知，图象过点(8,36)，(16,20).设y与x之 24.1圆的有关性质 60°，同理可得：∠ANM=60,·∠MAV=60,△AMN是正三角形：(3)连接OD, 间的函数解析式为y=虹+6（≠0>，把(8,36）.1620)代人：得8中-6： OC.:正五边形ABCDE内接于⊙O.∠COD=360=72.易得AF⊥CD.∠DOF 16+6-20,解得 24.1.1圆 1.B2.B3.10°4.555.22 =36.∠DON-∠F0N-∠D0F-60-36=24,360°÷24°-15..n的值是 、发二2·y与于之间的函散解析式为y一2红+528≤≤16：2设公司获得利洞 24.1.2垂直于弦的直径 15. 为元.根据题意，得=(x-8)y=(x一8)（一2x十52）=一2x+68.x-416=-2(x 1.B2.A3,过圆心的直线侧心4.65，解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD 24.4弧长和扇形面积 一17)3十162.一2<0，，当8≤x≤16时，w随r的增大而增大，∴，当r=16时，有 于点F,连接OD,OB,则AE-BE-分AB=×4-2,DF-CF-CD-×4-2. 第1课时孤长和扇形面积 最大值.最大值为一2×(16一17)2十162=160（元）.答：当售价为16元时，公司能获得 1.B2.B3.4r4.m5.解：(1)∠C0A+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90, 最大利润，最大利润是160元 在R△OBE巾，OB=5.BE=2,OE=√OB-BEF=√《5)一22=1，同理可得 OA=OB. 第3课时抛物线形实际问题 (OF=1,:AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴.∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°..四边形 ∴∠COA=∠BOD.在△OCA和△ODB中，∠COA=∠DB,.△A≌△ODB 1,C2.y=-了红十6)十43，解：1)由题总，得点B的坐标为(0,4)，点C的坐标 OEPF为矩形，∴(OE-PF-1.∴OP=OF+Pp-下+1下-E OC=OD. 24.1.3弧、弦、圆心角 (SAS),∴，AC=BD:(2)由(1)知△CA2△ODB,.SaeA=SAopn·.Sm■=S=Wau 4=c 为(3，号)将其代入y=一石士+缸十c,得 1.B2.A3.67.54.①②③①5.证明：DE∥AB,COLAB,∴DE⊥C0.:D是 sm=9-9箭=吾R-r. 2 c=4, C)的中点，DE垂直平分CO,.CE=(OE.又(OE=OC,.OE==CE,.△COE 抛物线的函数解析式为y=一合女+2+4.“y=-名+2十4=一合（红一6）+ 是等边三角形，∠COE=60,C0⊥AB..∠C0B=90°.∠E0B=90-∠DOE 第2课时圆锥的侧西积和全面积 90-60°=30，.∠C0E=2∠E0B,∴.=2E. L.C2.A3.A4.D5.216°6.102 10,.拱顶D到地面OA的距离为10m:(2)由题意，得货运汽车最外筒与地面OA的 24.1.+圆周角 第二十五章概率初步 交点为(20)或10,0).当x一2或x-10时y-兰>6∴这辆货车能安全通过 第1课时圈周角定理及其推论 25.1随机事件与概率 第二十三章旋转 1B2.A3.B4.D5.356.4 25.1.1防机事件 23.1图形的旋转 第2深时圆内接四边形 第1课时旋转的概念及性质 1.C2.B3C4.C5.号6.蓝 1.C2.B3.B4.D5.160° 1.A2.D3.30°4.705.2/5 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 25.1.2概率 第2课时被转作图 24.2.1点和圆的位置关系 1.C2.A3.D4.(5,2)5,解1)如图， 1.C2.B3C4D5.B6B7,8.7 △ABC即为所求： 1,B2.D3,在△ABC中，最多有一个锐角4.点P在⊙O内或⊙O上5.解：易得 25.2用列举法求概率 O4=/OD+AD=√6+8=6√2.0B=√OD+BD=/6+8=10.0C= 第1课时用列表法求概率 OD+CD=/6+(53)=√▣，又OA<r,0B-r.OC>r,∴.点A在⊙0内， 点B在⊙O上，点C在⊙O外 1A2.A3C4.Ds66.g7.g 24.2.2直线和圆的位置关系 第2深时用树状图法求概率 (2)易待四边形ABAB是菱形.Sa,6一号×6×4-12. 第1课时直线和圆的位置关系 1,C2.A3. 4.解0) (2)他们制定的游戏规则是公平的.理由如下：画树 23.2中心对称 k.A2.D32cm或8m4.3<<或7=号5，解过点0作0D上AB于点D. 状图，如图所示 23.2.1中心对称 由树状图可知，共有6种机会均等的情况，其中满足 1.D2.B3.64.(41w5)5.解：如图所示. ∠A-90,∠C-60,∠B-30.B0-x,.0D-71今71=2，得x=4当0< x<4时，AB所在的直线与⊙O相交：当x一4时，AB所在的直线与⊙O相切：当x>4 时，AB所在的直线与⊙O相离， a>6的有8种，：P(小杨获胜)==立P(小东获胜)=]-=立心P(小杨获胜) 第2课时。切线的判定与性质 =P(小东获胜)，故他们制定的游戏规则是公平的. 23.2.2中心对称图形 1.A2.A3.494.44°5.解：(1)连接OA.OC-BC,2AC=OB,.0C=BC- 1.B2.C3.C4.轴对称一，口，王，田5.解：∠B与∠F相等.理由如下：将 AC=()A,.△AC0是等边三角形，.∠O=∠(OCA=60.AC=BC,,∠CAB= 25.3用频率估计概率 △ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180，得到△DEC,∴·∠B=∠DEC,:AF∥ ∠B,又∠OCA为△ACB的外角，·∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B,.∠B=∠CAB= 1D2C324805解：172>由圈意，料号×10%-40%，解得m BE,.∠F=∠DEC.∴.∠B-∠F 30.又∠OAC=60°，.∠O4B=∠CAB+∠OAC=90,,O4是周的半径，.AB是 23.2.3关于原点对称的点的坐标 23. ⊙O的切线：(2)过点A作AE⊥CD于点E.”∠O=60,∠D=30.∠ACD=45, 1.C2.C3.(1,一5)4，解：(1)如图，△ABC即为所求，其中点C的坐标为 第二十六章反比例函数 4C=(O=2,.在R△ACE中，CE=AE=E.,在RI△ADE中，∠D=30,.AD (-2,一1)：(2)如图，△AB:C即为所求 26.1反比例函数 2AE=22,.DE=AD-AE=√《22)-(2)=√6..CD=DE十E=√后十√2 26.1.1反比例函数 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 1.D2.D3.A4.219°5.解：(1)PA,PB切⊙O于A,B,CD切⊙0于E,.PA 1C2C364反y-05解：设到=k,(十D%=生.”y=2-y =PB=6,ED=BD,CE=AC.△PCD的周长为PD+DE+PC十CE=2PA=12: (2)连接OE,OA,OB.PA,PB切⊙O于A,B,CD切⊙O千E,∴.∠OAC=∠OEC= =2%,+1)-乡“当x=1时y=4:当1=2时y=3. ∠OED=∠OBD=90,.∠AOB+∠P=180°，∴.∠A0B=180°-∠P=180°-50°= 3=6的一多，解得 130,由切线长定理，得∠AOC=∠EC,∠0D=∠BOD,.∠COD-∠EC+ ∠B0D=7(∠A0E+∠E0B)=z∠AOB=7X130'=的 k:=-3. 第67页（共72页） 第68页（共72页） 第69页（共72页）