专题10 最值问题专题（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题10 最值问题专题 9大高频考点概览 考点01 乘法公式与最值 考点02 求线段之和最小值 考点03 求线段之差最大值 考点04 角度与最值 考点05 三角形周长最值 考点06 三角形面积最值 地 城 考点01 乘法公式与最值 一、填空题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值． 材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上材料解决下列问题： (1)已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由． (2)已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长． (3)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)是等腰三角形，见解析 (2)的周长为 (3)①；②时，的值最大，最大值是 【分析】（1）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从而得到，，由三角形三边的不等关系得，由为整数得，即可求得的周长； （3）①由题意得，，，，由三角形面积公式即可求解； ②把①中函数解析式配成顶点式，由二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长，，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵，，为整数， ∴ ∴的周长为； （3）解：①∵，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴的面积为；． ②由①知， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是． 【点睛】本题考查了因式分解，二次函数性质等，熟练掌握因式分解的方法及二次函数性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值．解：， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ （4）如图2，在中，，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接．若，求面积的最大值． 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； （4）过点作于，证明，设，则，根据三角形的面积公式得出面积，仿照例题的方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， （4）解：如图所示，过点作于， 将线段绕点逆时针旋转， ， ， 在和中 ， ， 设，则 当时，面积有最大值． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则______，______； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，直接写出的值． 【答案】(1)2；2 (2)①见解析；②11 (3) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）将配方成即可得出答案； （2）①由，结合可得答案； ②，据此可得答案； （3）将已知式配方后可得，结合a，b，c是正整数可得；分类讨论当时，当时，当时三种情况即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 故答案为：2、2； （2）①证明：， ∵， ∴， 即无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数； ②解： ， 所以多项式的最小值为11； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a，b，c为正整数， 所以，即，或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5且a，b，c为正整数， ∴，，， ∴； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，，…含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①；②；③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)①6；②17 【分析】本题主要考查完全平方公式，新定义，分式化简求值，解题的关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解． （1）根据对称式的定义进行判断即可； （2）①先得到， ，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算； ②根据，，将变形为，根据，得出，说明当时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】（1）解：式子①∵， ∴属于对称式； ②∵， ∴不是对称式； ③∵， ∴不是对称式； 综上分析可知，属于对称式的是 ①③． （2）解：∵， ∴， ∴，． ①∵，， ∴，， ； ②∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，最小，且最小值为： ． ∴的最小值为． 地 城 考点02 求线段之和最小值 一、填空题 1.（24-25八年级上·福三明·期末）如图，已知的周长是24，且，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 地 城 考点03 求线段之差最大值 一、填空题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 在中，， 当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键． 地 城 考点04 角度与最值 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (2)如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)点的坐标为或； (2)①见解析；②的大小不变，为定值，理由见解析 【分析】（1）先根据非负性求出，，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明 ，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ，， ，． 分两种情况： ①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， ∵轴， ∴， ∴， 同理， ∵， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得：， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）①证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不变，为定值 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）延长，相交于点F，先证明得到，再证明得到，进而可证得结论； （2）过点C作于点M，于点N，证明得到，根据角平分线的判定定理证得是的角平分线，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴, 即的大小不变，为定值． 地 城 考点05 三角形周长最值 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可求得答案． 【详解】解：作A关于直线对称点C， ∴， ∵， ∴C的坐标为； 连接并延长，交直线于P点， 此时，取得最大值， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，满足，当点在边上从至的运动过程中，的周长变化情况是（   ） A．有最小值没有最大值 B．有最大值没有最小值 C．是个定值 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明是本题关键．由“”可证，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ，且，， ， ，， 周长， 当时，取最小值，即的周长有最小值， 当与或重合时，不存在，即的周长没有最大值， 故选：． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）【用数学的眼光观察】在数学《综合与实践-最短路径问题》课上，我们遇到了这样一个问题，如图1，牧民每天从生活区的边缘处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处，如何确定、、的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短？ 【用数学的语言表达】如图2，我们可以把该问题抽象成数学问题，把生活区、草地和河围成的区域看成，则问题可以转化成在的三边上分别确定三个点、、，使的周长最小． 【用数学的思维思考】如图2，为锐角三角形，测得，m，的面积为，则可求得的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，垂线最短，解题关键是证明是等边三角形．分别作点A关于、的对称点、，连接，分别交、于点B、C．先证的周长最小长为，再证是等边三角形．由垂线段最短，及三角形的面积得出的长，即为的周长． 【详解】解：分别作点A关于、的对称点、，连接，分别交、于点B、C． ，． 的周长． 两点之间线段最短， 此时的周长最小，长为． 点A关于、的对称点、， ，，． ， ． 是等边三角形． ． 当时为垂线最短． ，， ． 即的周长最小值为． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，内有一定点P，且，在上有一动点上有一动点R．请你思考的周长最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线得到与周长相等的线段为解题关键．作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接与分别相交于点Q、R，由两点之间线段最短得，此时周长最小，依据为等边三角形，即可得到最小周长． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接与分别相交于点Q、R， ， 的周长， 由两点之间线段最短得，此时周长最小， 连接，则， ， 为等边三角形， ， 即最小周长是5． 故答案为：5． 地 城 考点06 三角形面积最值 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最小值，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作如图所示的辅助线，根据轴对称的性质证得是等腰三角形，求得，再利用证明，，根据全等三角形的性质可得，，再由即可求解． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值． ，，； ， ， 在中，，， ； 在和中， ， ≌， ， 同理， ． 故选：B． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和是等腰直角三角形，，连接，.若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，先证明，得到，即得，可知当面积最大时，四边形面积最大，又知当时，的面积取得最大值，据此解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，则， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积是定值， ∴当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∴四边形的面积的最大值 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 4．（（24-25八年级上·福建福州·期末）如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°． (1)判断CD与BE有怎样关系；并说明理由； (2)如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点． (3)如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是______，此时△ADE的面积是______． 【答案】(1)相等且垂直；理由见解析 (2)见解析 (3)24.5；6 【分析】（1）根据题目已知条件，可证△BAE≌△DAC，利用全等三角形的性质，即可得出结论； （2）延长PQ，作DM⊥PQ于点M，作EN⊥PQ于点N，可证△ABP≌△DAM，△ACP≌△EAN，利用全等三角形的性质，即可得出结论； （3）令CD与BE的交点为点F，由，可知当CD最大时，面积最大，由三边关系可知，，即当CD=AD+AC时，四边形DBCE面积最大，此时，点A与点F重合，故DF=4，EF=3，即可求解． 【详解】（1）解：CD与BE的关系是相等且垂直，理由如下： ∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE=CD，∠ABE＝∠ADC， ∵∠BAD＝∠ADC+∠BDC+∠ABD＝90°， ∴∠ABE +∠BDC+∠ABD＝90°， ∴BE⊥CD， ∴CD与BE的关系是相等且垂直． （2）解：延长PQ，作DM⊥PQ于点M，作EN⊥PQ于点N，如图， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠DAM+∠BAP＝90°，∠NAE+∠PAC＝90°， ∵DM⊥PQ，EN⊥PQ， ∴∠DMA＝∠ANE＝90°， ∵AP⊥BC， ∴∠APB＝∠APC＝90°， ∴∠DMA＝∠APB，∠ANE＝∠APC， ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴△ABP≌△DAM，△ACP≌△EAN， ∴AP＝DM，AP＝EN， ∴DM＝EN， ∵∠DMA＝∠ANE＝90°，∠DQM＝∠EQN， ∴△DQM≌△EQN， ∴DQ＝QE， ∴点Q为DE中点． （3）解：令CD与BE的交点为点F，如图， ∵BE=CD，BE⊥CD， ∴， ∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大， 由三边关系可知，，即当CD=AD+AC=4+3=7时，四边形DBCE面积最大，四边形DBCE面积最大值， 此时，点A与点F重合，故DA=4，AE=3，DA⊥AE， ∴． 故答案为：24.5；6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四边形面积的最值问题，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意，充分利用“转化”的思想方法 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题． 如图，在中，为外一点， (1)如图1，若平分，于点，，求证：； (2)如图2，若平分，，，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，角平分线定义，三角形中线性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形． （1）延长，过点作于点，先证明，得到，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）延长相交于点，证明，结合全等三角形性质和三角形中线性质可得，，当时，取最大值，进而即可求出面积的最大值． 【详解】（1）证明：延长，过点作于点， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：延长相交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 当时，取最大值，此时， 则面积的最大值为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 最值问题专题 9大高频考点概览 考点01 乘法公式与最值 考点02 求线段之和最小值 考点03 求线段之差最大值 考点04 角度与最值 考点05 三角形周长最值 考点06 三角形面积最值 地 城 考点01 乘法公式与最值 一、填空题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值． 材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上材料解决下列问题： (1)已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由． (2)已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长． (3)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值．解：， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ （4）如图2，在中，，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接．若，求面积的最大值． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则______，______； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，直接写出的值． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，，…含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①；②；③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 地 城 考点02 求线段之和最小值 一、填空题 1.（24-25八年级上·福三明·期末）如图，已知的周长是24，且，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 地 城 考点03 求线段之差最大值 一、填空题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 地 城 考点04 角度与最值 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (2)如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 地 城 考点05 三角形周长最值 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，满足，当点在边上从至的运动过程中，的周长变化情况是（   ） A．有最小值没有最大值 B．有最大值没有最小值 C．是个定值 D．无法确定 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是 ． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）【用数学的眼光观察】在数学《综合与实践-最短路径问题》课上，我们遇到了这样一个问题，如图1，牧民每天从生活区的边缘处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处，如何确定、、的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短？ 【用数学的语言表达】如图2，我们可以把该问题抽象成数学问题，把生活区、草地和河围成的区域看成，则问题可以转化成在的三边上分别确定三个点、、，使的周长最小． 【用数学的思维思考】如图2，为锐角三角形，测得，m，的面积为，则可求得的周长最小值为 ． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，内有一定点P，且，在上有一动点上有一动点R．请你思考的周长最小值为 ． 地 城 考点06 三角形面积最值 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和是等腰直角三角形，，连接，.若，，则四边形面积的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 3、 解答题 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°． (1)判断CD与BE有怎样关系；并说明理由； (2)如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点． (3)如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是______，此时△ADE的面积是______． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题． 如图，在中，为外一点， (1)如图1，若平分，于点，，求证：； (2)如图2，若平分，，，连接，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $