专题04 指对幂等函数值的大小比较（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦指对幂函数值大小比较这一高考高频考点，以“知识梳理-考向突破-真题实战”为逻辑主线，整合单调性、中间变量、构造函数等7大核心知识，覆盖利用单调性、中间值、构造函数等8个考向，通过考情精解、知能框架、题型攻坚三环节，帮助学生构建系统解题思路。 资料突出数学思维与逻辑推理能力培养，如考向4通过构造函数结合导数研究单调性，考向2引入中间值0或1判断大小，引导学生用数学眼光分析问题。设置分层练习含近5年真题及模拟题，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题04 指对幂等函数值的大小比较 目录 01析·考情精解 2 02构·知能框架 3 03破·题型攻坚 4 考点一 指对幂等函数值的大小比较 4 真题动向 必备知识 知识1指对幂函数的单调性 知识2引入中间变量 知识3换底公式 知识4构造函数 知识5常见的估值 知识6常见函数的麦克劳林展开式 知识7常见的放缩法 命题预测 考向1利用函数单调性 考向2利用中间值 考向3利用换底公式 考向4利用构造函数 考向5数形结合法 考向6同构法 考向7估算法 考向8放缩法 命题轨迹透视 近三年全国卷中，指、对、幂函数大小比较是经典高频题型，多以选择填空形式呈现，常占据客观题压轴位置，难度集中在中等及以上。命题始终青睐多函数混合考查，除指、对、幂函数外，偶与三角函数融合排序，打破单一模块局限。解法灵活无固定套路，早期侧重利用函数单调性、借助0或1等中间量判断，近年更倾向构造函数，通过导数研究单调性求解。该题型既考查核心概念与性质掌握，又侧重逻辑推理与转化能力，能有效区分不同水平考生，是命题者检验数学思维的重要载体。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 指对幂等函数值的大小比较 一卷T8，5分 甲卷（文）T11，5分 2026命题预测 2026年全国卷指、对、幂函数大小比较仍为高频考点，大概率以选择填空压轴形式呈现，难度中等及以上。命题将延续多函数混合考查趋势，可能融入三角函数，侧重变量关系分析而非固定数值比较。解法核心仍是构造函数结合导数判断单调性，搭配中间值法、放缩法，淡化套路技巧，强调思维转化与知识本质理解，精准区分考生逻辑推理与建模能力。 考点一 指对幂等函数值的大小比较 1．（2025·全国一卷·高考真题，8，5分）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷（文）·高考真题，11，5分）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国甲卷·高考真题，12，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题，12，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，7，5分）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2021·全国乙卷（理）·高考真题，12，5分）设，，．则（    ） A． B． C． D． 知识1指对幂数函数单调性 ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用对数函数单调性比较大小； 知识2引入中间变量 ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 知识3换底公式 涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换底公式：. 知识4构造函数 （1）通过对比结构的共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较大小 （2）同构法：涉及指数、对数等复杂函数的不等式问题，通过变形将不等式的两边化为相同的结构，从而构造一个函数来进行比较 常见的构造函数有 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 知识5常见的估值 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，，， 知识6常见函数的麦克劳林展开式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 知识7常见的放缩法 ①； ②（），当时取等号；变式：,当时取等号； ③（），当时取等号；变式：； ④（），当时取等号； ⑤（），当时取等号. 考向1利用函数单调性 1．（2025·云南保山·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东汕头·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川资阳·二模）（多选）已知函数，且 ，，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 考向2利用中间值 8．（2025·安徽铜陵·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林长春·一模）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南京·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江西抚州·三模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁大连·三模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·四川南充·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北荆州·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考向3利用换底公式 15．（2025·辽宁沈阳·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·湖南岳阳·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·江苏盐城·三模）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·广东肇庆·二模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·黑龙江双鸭山·二模）若且，则 ，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·河南郑州·三模）已知，记，，，则的大小关系为 . 21．（2025·黑龙江七台河·一模）已知，则的大小关系是 .（用“>”） 考向4利用构造函数 22．（2025·宁夏固原·三模）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河北沧州·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·四川德阳·三模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 25．（2025·辽宁铁岭·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·四川眉山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024·广东东莞·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·山西长治·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 考向5数形结合法 29．（2024·甘肃天水·一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·云南玉溪·二模）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·湖南永州·一模）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广西百色·模拟预测）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 33．（2025·甘肃兰州·三模）若，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·山东济南·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·安徽滁州·模拟预测）设，则的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 考向6同构法 36．（2025·黑龙江鹤岗·一模）若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 37．（2024·河南洛阳·二模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·四川广安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025·湖南常德·模拟预测）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·福建宁德·一模）设，，若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·河南信阳·模拟预测）若，满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 考向7估算法 42．（2024·江苏泰州·模拟预测）设，则的大小关系是 A． B． C． D． 43．（2025·广东中山·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·山西吕梁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 45．（2025·广东韶关·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 考向8放缩法 47．（2025·湖南益阳·一模），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·海南三亚·一模）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 49．（2024·贵州贵阳·一模）已知在处可导，在附近x的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数，利用这一方法，的近似代替值（   ） A．大于m B．小于m C．等于m D．与m的大小关系无法确定 50．（2025·吉林松原·一模）间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 51．（2025·山东烟台·一模）三者之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 52．（2025·福建龙岩·一模）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 53．（2025·河北张家口·一模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 54．（2024·云南昭通·模拟预测）设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排） 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指对幂等函数值的大小比较 目录 01析·考情精解 2 02构·知能框架 3 03破·题型攻坚 4 考点一 指对幂等函数值的大小比较 4 真题动向 必备知识 知识1指对幂函数的单调性 知识2引入中间变量 知识3换底公式 知识4构造函数 知识5常见的估值 知识6常见函数的麦克劳林展开式 知识7常见的放缩法 命题预测 考向1利用函数单调性 考向2利用中间值 考向3利用换底公式 考向4利用构造函数 考向5数形结合法 考向6同构法 考向7估算法 考向8放缩法 命题轨迹透视 近三年全国卷中，指、对、幂函数大小比较是经典高频题型，多以选择填空形式呈现，常占据客观题压轴位置，难度集中在中等及以上。命题始终青睐多函数混合考查，除指、对、幂函数外，偶与三角函数融合排序，打破单一模块局限。解法灵活无固定套路，早期侧重利用函数单调性、借助0或1等中间量判断，近年更倾向构造函数，通过导数研究单调性求解。该题型既考查核心概念与性质掌握，又侧重逻辑推理与转化能力，能有效区分不同水平考生，是命题者检验数学思维的重要载体。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 指对幂等函数值的大小比较 一卷T8，5分 甲卷（文）T11，5分 2026命题预测 2026年全国卷指、对、幂函数大小比较仍为高频考点，大概率以选择填空压轴形式呈现，难度中等及以上。命题将延续多函数混合考查趋势，可能融入三角函数，侧重变量关系分析而非固定数值比较。解法核心仍是构造函数结合导数判断单调性，搭配中间值法、放缩法，淡化套路技巧，强调思维转化与知识本质理解，精准区分考生逻辑推理与建模能力。 考点一 指对幂等函数值的大小比较 1．（2025·全国一卷·高考真题，8，5分）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2023·全国甲卷（文）·高考真题，11，5分）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 3．（2022·全国甲卷·高考真题，12，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 4．（2022·全国甲卷·高考真题，12，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，7，5分）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即. 故选：C. 7．（2021·全国乙卷（理）·高考真题，12，5分）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 知识1指对幂数函数单调性 ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用对数函数单调性比较大小； 知识2引入中间变量 ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 知识3换底公式 涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换底公式：. 知识4构造函数 （1）通过对比结构的共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较大小 （2）同构法：涉及指数、对数等复杂函数的不等式问题，通过变形将不等式的两边化为相同的结构，从而构造一个函数来进行比较 常见的构造函数有 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 知识5常见的估值 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，，， 知识6常见函数的麦克劳林展开式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 知识7常见的放缩法 ①； ②（），当时取等号；变式：,当时取等号； ③（），当时取等号；变式：； ④（），当时取等号； ⑤（），当时取等号. 考向1利用函数单调性 1．（2025·云南保山·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 即有. 故选：C. 2．（2025·江苏无锡·一模）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 所以函数在为增函数， 又为增函数，所以函数在为增函数， 由于，所以， 故. 故选：B. 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 又， ． 故选：A． 5．（2025·广东汕头·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，作出函数的图象如图：   在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 6．（2025·四川资阳·二模）（多选）已知函数，且 ，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 得， 当时，，在上单调递减， 因为，， 所以>，故. 故选：ACD 7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 考向2利用中间值 8．（2025·安徽铜陵·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，， ，，. 故选：A. 9．（2025·吉林长春·一模）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，所以. 所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 10．（2025·江苏南京·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递减，，所以， 又， 所以. 又，所以. 故选：B 11．（2025·江西抚州·三模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 12．（2024·辽宁大连·三模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，底数， 对数函数单调递减， 又，， ，底数， 指数函数单调递增， 又，， ，底数， 指数函数单调递减， 又，． ， 故选：C． 13．（2025·四川南充·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以， 故选：D 14．（2024·湖北荆州·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， 又，所以. 所以． 故选：D 考向3利用换底公式 15．（2025·辽宁沈阳·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，则， 由 ，则， 所以. 故选：A 16．（2024·湖南岳阳·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较. 利用换底公式，则，. 计算. 根据基本不等式，对于和，有. 而，即. 所以，也就是，即.   比较与的大小，同样利用换底公式，，. 计算. 由基本不等式，对于和，. 且，即. 所以，也就是，即.   综上可得. 故选：B. 17．（2025·江苏盐城·三模）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以．同理 又因在定义域内为减函数，故， 而， 因，，且，故，即，所以． 故选：D. 18．（2025·广东肇庆·二模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，． 由于，且， 因此，故， 故选:B． 19．（2025·黑龙江双鸭山·二模）若且，则 ，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以，又因为，所以等号不成立， 所以，即，所以， 所以， 故选：B 20．（2025·河南郑州·三模）已知，记，，，则的大小关系为 . 【答案】 【详解】由换底公式等价变形得：， 因为，所以，故， 因为，所以，故， 所以. 由，可得， 由，可得， 综上得，. 故答案为：. 21．（2025·黑龙江七台河·一模）已知，则的大小关系是 .（用“>”） 【答案】 【详解】由， 所以，而， 故，同理可得，则. 故答案为： 考向4利用构造函数 22．（2025·宁夏固原·三模）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 23．（2024·河北沧州·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，. 故选：A. 24．（2025·四川德阳·三模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，显然函数在上都递增，则函数在上递增， 而，，， 又，因此 所以. 故选：C 25．（2025·辽宁铁岭·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，易得在上单调递增， ∴，即，∴. 故选：B. 26．（2024·四川眉山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数，则，当时，，为增函数， 得，即，即，得， 因为，因此，. 故选：B. 27．（2024·广东东莞·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故， 所以，即，故，排除AB； 令，则， 当时，，函数在单调递增， 所以，即，故，故D选项错误. 综上，． 故选：C 28．（2025·山西长治·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 当时，，故在单调递减， 因此，故， 故选：B. 考向5数形结合法 29．（2024·甘肃天水·一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 作出函数的图象，如图， 结合选项，由图可知，当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，，而始终不可能. 故选：D 30．（2025·云南玉溪·二模）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 31．（2025·湖南永州·一模）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 32．（2025·广西百色·模拟预测）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 33．（2025·甘肃兰州·三模）若，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数， 在同一直角坐标系中分别作出的大致图象，如图所示， 观察可知，可能有（的图象为时）､（的图象为时）（的图象为时）， 故选：B. 34．（2024·山东济南·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 35．（2025·安徽滁州·模拟预测）设，则的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， 则， 令， 如图所示． 设与的交点横坐标为与的交点横坐标为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，的大小关系不可能为， 则正确选项为B， 故选：B． 考向6同构法 36．（2025·黑龙江鹤岗·一模）若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，可得， 令，， 所以， 设，，， 作出它们的图象如图： 由图可知.故选项A正确. 故选：A. 37．（2024·河南洛阳·二模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 38．（2025·四川广安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，当时，，因为，所以A错误； C选项，，由，得， 令，则， ，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，    且时，，当时，， 因为，由，得，即，所以，选项C正确； B选项，由C知，则，即，所以B错误； D选项，因为，所以，得，D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：同构变形得到，令，则，结合，得，得到. 39．（2025·湖南常德·模拟预测）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，， 设，，，所以在单调递增， 因为，，所以. 故选：D 40．（2025·福建宁德·一模）设，，若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式等价于， 令，则 ∴不等式等价于， ∵， ∴当时，，在区间上单调递增， ∴若，则，由有； 若，则，由，有. 综上所述，设，，若，则有. 故选：B. 41．（2025·河南信阳·模拟预测）若，满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 构造函数，则， 由，当时，， 可知函数在上单调递增， A，B项，已知，，又， 则由可得，所以， 又，所以，即， 所以有，则，故A正确，B错误； C，D项，取，则. 则， 其中不满足，也不满足，故C，D错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，是通过指对运算，将不等式两边变换为同构形式，从而构造函数利用函数单调性比较大小，进而证明不等式. 考向7估算法 42．（2024·江苏泰州·模拟预测）设，则的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，所以最小，，因为.选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查基本分析判断能力.属基本题. 43．（2025·广东中山·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 44．（2025·山西吕梁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 45．（2025·广东韶关·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，． 令，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，则，故排除A，B． 因为，，， 所以，所以， 所以． 故选：D． 46．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，所以，令有， 当，所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，所以，即； 令，所以，当， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 所以，即； 综上所述，. 故选：B. 考向8放缩法 47．（2025·湖南益阳·一模），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 因为，所以， 由泰勒展开得 ， ， 所以 ， 故，综上所述a，b，c的大小关系是. 故选：C 48．（2024·海南三亚·一模）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， ，所以在上单调递增， 所以，即，， ，所以. 令， ，令，， ，令，则， 所以在上单调递减，，， 所以存在唯一，使得，即当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为中一个，而， ，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 即，， 所以，即. 所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为，将视为函数与的函数值，从而只需比较与这两个函数大小关系即可. 49．（2024·贵州贵阳·一模）已知在处可导，在附近x的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数，利用这一方法，的近似代替值（   ） A．大于m B．小于m C．等于m D．与m的大小关系无法确定 【答案】A 【详解】对于的近似代替值， 我们令，其中在附近且使得有意义， 又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 这意味着，也就是说， 即的近似代替值大于m. 故选：A. 50．（2025·吉林松原·一模）间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以在上单调递增，故，即， 所以，则，即，故； 因为， 所以其展开通项公式为， 故，，， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，故，即； 令，则， 因为，所以，则，故， 所以在上单调递增，则，即， 易知，所以，则，即； 综上可得. 故选：B 51．（2025·山东烟台·一模）三者之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】构造函数，. 则，令，. 则，再令，. 则，故在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，得， 即； 构造函数，，则， 得在上单调递增，则， 即； 构造函数，，则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 即. 综上，. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题涉及比较三角函数式与数字的大小，难度较大. 因难以估值，故本题采用构造函数比较大小，而构造函数的关键是找到题目式子中的联系. 52．（2025·福建龙岩·一模）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 53．（2025·河北张家口·一模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得：，， 因为，所以，则； 设（），则， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，，即时，， 所以， 又，， 所以，则， 又，所以， 综上：， 故选：D. 【点睛】方法点睛： 构造函数比较大小主要方法有： 1. 通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系. 2. 通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构造函数，利用导数证明得到时，，进而放缩得到. 54．（2024·云南昭通·模拟预测）设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排） 【答案】 【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法 记，则，当时，，故在上单调递增，故，故， 记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此． 故答案为： [方法二]：泰勒公式放缩 ，由函数切线放缩得，因此. 故答案为： 【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $