专题08 解答题压轴专练（期末真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题08 解答题压轴专练 2大高频考点概览 考点01 几何类比探究题 考点02 代数与几何综合探究题 地 城 考点01 几何类比探究题 一、解答题 1．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)（1）中的结论①成立，结论②不成立，理由见解析 【分析】（1）①根据AD⊥MN， BE⊥MN．可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠ACD+∠BCE＝90°，从而得到∠BCE＝∠CAD，即可求证；②根据△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=EB，即可求证； （2）证明方法同（1）可得△ADC≌△CEB，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等) 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS) ②∵△ADC≌△CEB ∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等) ∴DE=DC+CE=AD+BE(等量代换) （2）解：（1）中的结论①成立，结论②不成立． ∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等) 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS) ∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等) ∴DE=CE-DC=AD-BE(等量代换) 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)在中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q． (1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ； (2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？ （填“成立”或“不成立”） (3)在（2）的条件下，当∠DBA= 时，存在AQ=2BD，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)成立，理由见解析； (3)当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析． 【分析】（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出ACQ≌BCP即可得出答案； （2）延长BA交PQ于H，由于 得到 推出AQC≌BPC(ASA)，即可得出结论； （3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过PBC≌QAC，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC， ∴∠DAP=∠CBP， 在ACQ和BCP中 ∵ ∴ACQ≌BCP（ASA）， ∴BP=AQ； （2）成立，理由如下： 延长BA交PQ于H， ∠AQC=∠BQD， ∴∠CAQ=∠PBC， 在AQC和BPC中， ∴AQC≌BPC(ASA)， ∴AQ=BP， 故答案为：成立； （3）解：当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由如下： ∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°， ∴∠PBA=∠APB=22.5°， ∴AP=AB， ∵AD⊥BP， ∴BP=2BD， ∵PBC≌QAC， ∴AQ=PB， ∴AQ=2BD． 故答案为：22.5°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握利用ASA证明全等是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江统考·期末)如图，在中，，，直线经过点，于点，于点． (1)如图（1），当、两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为______； (2)如图（2），当、两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系．并说明理由： (3)如图（3），在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)1 【分析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）由于，于，则，根据等角的余角相等得到，证得，由全等三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）根据等角的余角相等得到，证得，由全等三角形的性质得到，，则可得出； （3）如图3，过点作于，根据平行线的性质得，得是等腰直角三角形，设，，则，根据（2）中的结论和三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图1，线段，和的数量关系为：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，线段，和的数量关系为：，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （3）解：如图3，过点作于， ，， ，即， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，，则， 由（2）同理得：， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， 的面积为16，的面积为6， ，， ，， ，， ． 4．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)、是等边三角形，点F在直线上，，交直线于点D．          (1)当点F在边上时，如图①，求证：； (2)当点F在的延长线上时，如图②；当点F在的延长线上时，如图③，其它条件不变，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明； (3)若，，则_____________． 【答案】(1)证明见解析； (2)图②：；图③：； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （2）分两种情况讨论，连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （3）根据（2）的结论代入数据即可得到结果． 【详解】（1）解：连接， ，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，， 连接， ，是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如图③，， 连接， ，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图①，∵，， ∴，， ， ； 如图③，∵，， ， ． 故答案为：或． 5．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)在中，于点D，， (1)如图1，求证∶； (2)如图2，E是上一点，F是延长线上一点，连接，求证∶； (3)如图3，在（2）的条件下，作交AC于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）先设，则，根据，求，进而得到，即可得出结论； （2）先作于H，判定，进而得出，最后可得； （3）先延长至点M，使，连接，设设，根据，得出，再判定，得出，进而判定是等边三角形，进而得出，最后得到． 【详解】（1）证明：设，则， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ； （2）证明：如图，作于H，    ∴， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ∴在和中， ∵， ∴， ∴； （3）如图，延长至点M，使，连接，    设， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∵， 又∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 6．(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)已知：在中，，点D在的延长线上，交的延长线于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，作的高，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点G，交于点H，连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的内角和解答即可； （3）过点G作交于M，得出，作于N，证明，再根据全等三角形的性质求出，，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设， ∵平分 ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点G作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积． 7．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)在等边中，F是边所在直线上一点，点D在直线上，，以为边作等边，连接． (1)当点F在线段上时，如图①，求证：； (2)当点F在线段延长线上时，如图②；当点F在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段，，的数量关系，不需要证明； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则___________． 【答案】(1)见解析； (2)图②：；图③：； (3)10或2． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得出，，，，再利用角的和差得出，然后利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证； （2）图②和图③都是根据等边三角形的性质得出，，，，再利用角的和差得出，然后利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证； （3）利用（1）（2）中的结论，将值代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）当点F在线段延长线上时，如图②：， 证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在线段延长线上时，图③：； 证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点F在线段上时，如图①， 由（1）知，， ，， ， 不合题意，舍去； 当点F在线段延长线上时，如图②， 由（2）知，， ，， ， ； 当点F在线段延长线上时，图③， 由（2）知，， ，， ， ； 综上所述，的值10或2． 8．(23-24八上·黑龙江佳木斯联考·期末)已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点，重合)，连接． 图①                         图②                        图③ (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质； （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 9．(23-24八上·黑龙江绥化·期末)正方形中对角线、相交于，为上一点，交于，交于． (1)说明的道理； (2)在（1）中，若为延长线上，交的延长线于，、的延长线交于，其他条件不变，如图，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质： （1）由同角的余角相等，可得，由正方形的性质知，，，则证得，可得； （2）思路与（1）相同，易得，可得； 【详解】（1）证明：在正方形中，， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）仍成立． 证明：在正方形中，， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 10．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)（1）发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．则与的数量关系：___________，___________， （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点在一条直线上，过点作，垂足为点．连接的面积为1，，求的面积． 【答案】（1）；（2），详见解析；（3）3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）结合等腰直角三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而求出 ，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形面积公式求出 ，再根据四边形的面积，的面积=四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：如图1所示，设与交于点， 即， 在和中， 故答案为：； （2）； 理由如下：， ， 即， 又， ， ， ， ， ； （3）解：与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， 11．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)已知：在中，，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案． 【详解】（1）证明：如图1， 设，则，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 在△AFG和△AFH中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)已知，在中，，，，，垂足分别为点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性质即可证明； (2)连接，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出，，，再由全等三角形的判定得出，，最后结合图形证明即可． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ，， ， 即； （2）是等腰直角三角形． 理由：如图2，连接． ， ， 点是中点， ， ， ， ． ， ， 且， ． 在和中， ，． 在和中， ． ， ， ，且， 是等腰直角三角形． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 13．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.以为直角边且在的上方作等腰直角三角形. （1）若， ①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由； （2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系. 【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析. 【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可； （2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD． 【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF， ∴△ACF≌△ABD(SAS)， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF⊥BD； ②成立，理由如下：如图2： ∵∠CAB=∠DAF=90°， ∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF， ∴△ACF≌△ABD(SAS)， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD； （2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E， ∵∠BCA=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC=AE，∠AED=45°， ∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°， ∴∠CAF=∠EAD， 在△ACF和△AED中， ∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF， ∴△ACF≌△AED(SAS)， ∴∠ACF=∠AED=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD． 【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用. 14．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图1，等腰直角三角形ABP是由两块完全相同的小直角三角板ABC、EFP（含45°）拼成的，其中△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF＝FP． （1）将三角板△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （2）将三角板△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（1）中猜想的关系还成立吗？请写出你的结论（不需证明） 【答案】（1），；证明过程见解析（2）成立 【分析】（1）要证BQ=AP，可以转化为证明，要证明BQ⊥AP，可以证明∠QGA＝ ，只要证出∠CBQ＝∠CAP，∠GAQ＋∠AQG=即可证出； （2）类比（1）的证明过程，就可以得到结论仍成立． 【详解】（1）BQ＝AP，BQ⊥AP， 理由：∵EF＝FP，EF⊥FP， ∴∠EPF＝， 又∵AC⊥BC， ∴∠CQP＝∠CPQ＝， ∴CQ＝CP， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴BQ＝AP． 如图2，延长BQ交AP与点G， ∵， ∴∠CBQ＝∠CAP， 在Rt△BCQ中，∠CBQ＋∠CQB＝，又∠CQB＝∠AQG， ∴∠GAQ＋∠AQG＝∠CBQ＋∠CQB＝， ∴∠QGA＝， ∴BQ⊥AP， 故BQ＝AP，BQ⊥AP． （2）成立； 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴CQ=CP， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴BQ=AP， 延长QB交AP于点N，如图3所示： 则， ∵， ∴， ∵在Rt中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是证明三角形全等． 地 城 考点02 代数与几何综合探究题 一、解答题 1．(24-25八上·黑龙江统考·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为（），线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 【答案】(1)8 (2) (3)，或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了线段的垂直平分线的判定和性质，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用辅助线构建直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）如图1，过点作轴于，则，根据等边三角形的性质和含角的性质即可解答； （2）如图2，根据证明即可解答； （3）如图3，延长交轴于，先证明与关于对称，与轴交于点，此时的值最小，确定点在轴上，根据含角的直角三角形的性质得：，列方程可得的值，最后证明是等腰直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于，则， 点的横坐标为， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，点的横坐标为， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知：， ， 即； （3）解：如图3，延长交轴于， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 与关于对称， 与轴交于点，此时的值最小， 由（2）知：，， ，，， ， ，， 在中，， ， ， ， ，轴， 轴是的垂直平分线， ， 在的垂直平分线上，即在轴上， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为或． 2．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔昂昂溪区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，使．设点的横坐标为，线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，点坐标为或． 【分析】（1）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （2）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （3）延长交轴于点，连接，，先证明垂直平分，则有，故，即，当点三点共线时，有最小值，然后求出，，再证明是等边三角形，则，再通过等面积法得出，从而求出的值，由，且，得知点在轴上，且，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∴当点三点共线时，如图，有最小值， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∵， ∴点在轴上，且，如图， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上可知：，点坐标为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，​所对直角边是斜边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，在平面直角坐标系中，满足 (1)求两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线AM交于点，求的度数； (3)在平面内是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)45°； (3)存在；满足条件的点有6个；或 【分析】（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解； （2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解； （3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可． 【详解】（1） ， ∴， ， ． （2）平分，平分， ， ，    （3）存在；满足条件的点共有6个； 设B点为顶点， ， ， ， ， 过点P作 于点C， ， ， ， 在中 ， ，， ， ； 当时，过点作于点D， 同①，证明出， ，， ， ； 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和定理，等腰直角三角形的判断等知识点，拥有分类讨论思想时解题关键，属于较难题． 4．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）只要，即可求证，推出或，可得结论． 【详解】（1）解： 即， ，， ，， ，， 点，点， ，； （2）解：连接，t秒后，，， ； （3）解：存在． ∵， ∴， ∴，，， ， 只要，即可求证， 或， 或． 5．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）    (1)求的长； (2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．连接，若的面积为s，求s与t之间的关系式（不用写出t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，过P作直线的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，连接，连接并延长交于点F，在点P运动的过程中，当的面积等于8时，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、面积的计算等： （1）把变形为，根据非负数的性质即可，求解； （2）由，即可求解； （3）当点P在线段时，证明，得到为等腰直角三角形，即可求解；当点P在延长线时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 即； （2）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，点P运动时间为t秒， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段时，如下图， 过点F作于点M，    则，则， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而，则， 则为等腰直角三角形， 则， 则点； 当点P在延长线时，如下图：    同理可得：， ∴， ∴， 而，则， 则为等腰直角三角形， 则， 则点； 综上，点F的坐标为：或． 6．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B、C的坐标分别为，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点A在y轴的正半轴上，，的高交x轴于点E，点E的坐标为，求点A的坐标； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当t的值为或2时，是以坐标轴为对称轴的轴对称图形 【分析】（1）根据非负数的性质，可求出b，c的值，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，即可求解； （3）分两种情况：当点M在上时，当点M在上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点E的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； 当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得， 综上所述，当t的值为或2时，是以坐标轴为对称轴的轴对称图形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，算术平方根的非负性等知识，熟练掌握坐标与图形，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，算术平方根的非负性等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图所示，，，且a，b满足，于点D，交于点E，点，且点D恰好在的垂直平分线上． (1)求点C的坐标； (2)动点P从点A出发沿折线轴负方向以4个单位长度的速度运动，动点Q从点O出沿线段以每秒2个单位的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，且点Q到达C处时，P，Q两点同时停止运动，设点Q的运动时间为秒，的面积为S，用含的式子表示 (3)在（2）的条件下，当是以坐标轴为对称轴的等腰三角形时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)当是以坐标轴为对称轴的等腰三角形时，或． 【分析】（1）先根据得到，进而利用非负数的性质求出，从而得到，则，再证明得到，由，得到，则，即可求出； （2）分当，此时点P在上运动，当 时，点P在y轴负半轴上运动，两种情况利用三角形面积计算公式求解即可； （3）当对称轴为y轴时，则此时点P在线段上，且，由三线合一定理得到，当对称轴为x轴时，则此时点P在y轴负半轴上，且，由三线合一定理得到，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D恰好在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，当，此时点P在上运动， 由题意得，， ∴， ∴； 如图所示，当 时，点P在y轴负半轴上运动， 由题意得，， ∴， ∴； 综上所述，； （3）解：当对称轴为y轴时，则此时点P在线段上，且， ∵， ∴， ∴， ∴； 当对称轴为x轴时，则此时点P在y轴负半轴上，且， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当是以坐标轴为对称轴的等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，线段垂直平分线的性质，非负数的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)如图，平面直角坐标系中，，点在第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，且满足，请解答下列问题： (1)求点B和点C的坐标； (2)若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标； (3)在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点E共有6个，；；；；；． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、两个非负数的和为零、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （１）由两个非负数的和为零可求出的值，从而得出，的坐标； （２）根据等面积法分别表示出的面积，从而可求出答案； （３）根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解： ，点坐标为 ，点坐标为 （2）， 点的坐标 （3）在坐标轴上存在6个点，使是以为腰的等腰三角形 轴正半轴上使得，， 点关于轴的对称点 轴正半轴上使得， 轴负半轴上使得， 点关于轴的对称点 故坐标轴上存在6个点，；；；；；． 9．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，．其中，，满足关系式，． (1)________，________，________； (2)如果在第四象限内有一点，使得的面积是面积的一半，求点的坐标； (3)在平面内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标 (3)在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）根据点坐标的分别求出的长，如图所示，过点作延长线于点，可求出的，再根据三角形的面积即可求解； （3）根据题意，是等腰直角三角形，根据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，可分类讨论，①是等腰直角三角形；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④是等腰直角三角形，证明方法同时；再根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，， ∴，，则，， ∵， ∴，则， 故答案为：，，． （2）解：根据题意可得，，，， ∴轴， 如图所示，过点作延长线于点， ∴，， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∵点在第四象限内的一点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标． （3）解：在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或，理由如下： 根据题意，，， ∴在中，， 是以为腰的等腰直角三角形，如图所示， 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ①是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，则； ∴； ②是等腰直角三角形， ∴，则，， 由①的证明可证，，， ∴， ∴，，且， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，则， ∴； ④是等腰直角三角形，证明方法同时， ∴， ∴，，则， ∴； 综上所述，在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查在绝对值、平方数的非负性，平面直角坐标系中结合图形面积的计算，平面直角坐标系与等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握几何图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，图形与坐标的知识是解题的关键． 10．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC． (1)设点C的坐标为（a，b），求a+b的值． (2)求四边形OACB的面积． (3)在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)存在，P的坐标是或或 【分析】（1）如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知的长，得到的坐标，进而得到的值，进而得到的值； （2）如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC， ，代线段值求解即可； （3）分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB≌△BOA，得的值，进而表示的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可． 【详解】（1）解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E， ∴∠CEA＝90° ∵A，B ∴OA＝2，OB＝1 ∵∠BAC＝90° ∴∠BAO+∠CAE＝90° ∵∠ECA+∠CAE＝90° ∴∠ECA＝∠BAO 在△ECA和△OAB中 ∴△ECA≌△OAB（AAS） ∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1 即OE＝EA+OA＝3 ∴C点坐标为 ∴ ∴． （2）解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC， ． （3）解：存在点P，使△PAB与△ABC全等； 分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°， ∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90° ∴∠EPB＝∠ABO 在△PEB和△BOA中 ∴△PEB≌△BOA（AAS） ∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2 ∴， 即P的坐标是； ②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°， ∵△CAB≌△PAB ∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP ∴∠CBP＝90° ∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90° ∴∠MCB＝∠PBE 在△CMB和△BEP中 ∴△CMB≌△BEP（AAS） ∴PE＝BM，CM＝BE ∵ ∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2 即P的坐标是； ③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°， ∵△CAB≌△PBA ∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90° ∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90° ∴∠ABO＝∠BPE 在△BOA和△PEB中 ∴△BOA≌△PEB（AAS） ∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2， ∴OE＝BE+BO＝2+1＝3， 即P的坐标是； 综合上述，符合条件的P的坐标是或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形全等的可能情况． 11．(24-25八上·黑龙江·调研)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C．          (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接，，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接，，使，且，请直接写出此时t的值及点D的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，点坐标为或 【分析】（）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （）延长交轴于点，连接，，先证明垂直平分，则有，故，即，当点三点共线时，有最小值，然后求出，，再证明是等边三角形，则，再通过等面积法得出，从而求出的值，由，且，得知点在轴上，且，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∴当点三点共线时，如图，有最小值， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∵， ∴点在轴上，且，如图， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上可知：，点坐标为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，​所对直角边是斜边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题： (1)求点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、； (2)10 (3)存在，符合条件的点F有4个，坐标为：或或或． 【分析】（1）由，得到且，即可求解； （2）证明，得到； （3）取的中点，过点作直线，取，过点作直线，则直线、和坐标轴的交点即为点，故共有4个，为点、以及、和轴的交点，即可求解． 【详解】（1）解：， 则且， 解得：且， 故点、的坐标分别为：、； （2）解：是的高， ， ， ． 轴轴， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ． 在和中， ， ∴， ； （3）解：由（2）知，， 则点、的坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 故取的中点，过点作直线，取，过点作直线， 则直线、和坐标轴的交点即为点，故共有4个，为点、以及、和轴的交点， ∵，则直线的表达式为：， 则直线和坐标轴的交点坐标为：、； 同理可得直线和坐标轴的交点坐标为：、； 综上，符合条件的点有4个，坐标为：或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，难度偏大，解题过程中，注意辅助线的作法，这是解题的突破口． 13．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)在平面直角坐标系内，点为坐标原点，轴上点，轴上点．，且． (1)直接写出点、点的坐标； (2)若，且，求出的面积； (3)在（2）条件下，且当点在第二象限时，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出点有几个，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)个，，，，． 【分析】（1）将转化为，再根据平方的非负性可得，，即可求解； （2）①当点在第一象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可；②当点在第二象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）结合等腰三角形的判定分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）∵，， ∴，， ①当点在第一象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当点在第二象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为或； （3）共有三种情况： 第一种情况：如图，由②可知：， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第二种情况： ∵，，， 又∵， ， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第三种情况： 设， ∵，， ∴， ， 当即时，得： ， 解得：，， ∴当点的坐标为或时，此时是等腰三角形， 综上所述，在轴上存在一点，使是等腰三角形，符合条件的点有个，它们的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查坐标与图形，完全平分公式的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间的距离公式，等腰三角形的判定等知识点．正确理解题意并运用分类讨论的思想是解题的关键． 14．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、点B关于x轴对称，，，连接，点P从点B出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向原点O运动，同时，点Q从点C出发，沿x轴以每秒2个单位的速度向原点O运动，当点P到达原点，点Q也停止运动． (1)连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为，用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）； (2)点M、点N在过A垂直于y轴的直线上，连接，，，，当是以为直角边的等腰直角三角形时，恰好，求此时点N的坐标． 【答案】(1)； (2)点N的坐标为或． 【分析】（1）由题意得，，，推出，，利用三角形面积公式即可求解； （2）分点在y轴右侧时，点在y轴左侧时，两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：∵点A、点B关于x轴对称，， ∴，则，， 由题意得，，则，， ∴的面积为； （2）解：当点在y轴右侧时，如图，作于点，连接， 则四边形是矩形，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴点N与点A重合， ∴此时点N的坐标为； 当点在y轴左侧时，如图，作于点，交的延长线于点，连接， 则四边形、是矩形，，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴点N与点G重合， ∴此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08解答题压轴专练 ☆2大高频考点概览 考点01几何类比探究题 考点02代数与几何综合探究题 目目 考点01 几何类比探究题 一、解答题 1.(23-24八上黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)在△ABC中，∠ACB=90°，AC-BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. M D 图2 图1 (I)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB.②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说 明理由， 1/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县期末)在△ABC中，BC=AC,∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过 点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q. Q B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ: (2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，(1)中的结论是否成立？一（填“成立”或“不成立”） (3)在(2)的条件下，当∠DBA=时，存在AQ=2BD,说明理由. 2/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八上·黑龙江统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C, AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E IM IM MD B D 图(1) 图(2) 图(3) ()如图(I)，当A、B两点在直线MN的同侧时，请直接写出线段AD、BE和DE的数量关系为； (2)如图(2)，当A、B两点在直线MN的两侧时，请写出线段AD、BE和DE的数量关系.并说明理由： (3)如图(3)，在(2)的条件下，点K在BE的延长线上，连接AK,使∠AKB=135°，连接CK,AE.若 △BCK的面积为16，△AED的面积为6，求EK的长. 3/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(23-24八上黑龙江牡丹江第四中学期末)△ABC、△AEF是等边三角形，点F在直线BC上， DE⊥AB,交直线AB于点D. E B 图① 图② 图③ (1)当点F在边BC上时，如图①，求证：AC-BF=2BD; (2)当点F在BC的延长线上时，如图②；当点F在CB的延长线上时，如图③，其它条件不变，线段AC, BF,BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明： (3)若AB=4,S△4Bc=4S△ABF,则BD= 4/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县期末)在△ABC中，CD⊥AB于点D,∠A=2∠BCD, B B B D E 1 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=AC; (2)如图2，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连接CE、BF,CE=BF,求证：∠BEC=∠CFB; (3)如图3，在(2)的条件下，作EG‖BC交AC于点G,若∠CBF=2∠ACE,EG=2,BC=6,求BF的 长 5/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县期末)已知：在△ABC中，AB=AC,点D在BA的延长线上， DEAC交BC的延长线于点E. G 图1 图2 图3 (1)如图1，若BC=CE,求证：AC=AD: (2)如图2，作△DBE的高EF,连接AE,若EA平分∠DEF,求证：∠AEB=45°； (3)如图3，在(2)的条件下，过点B作BG⊥AE于点G,BG交EF于点H,连接FG,若BF=4, EF=12,求三角形EHG的面积， 6/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24八上·黑龙江牡丹江海林期末)在等边△ABC中，F是边BC所在直线上一点，点D在直线AF上， ∠FDB=∠FBD,以CD为边作等边△CDE,连接BE ② ② ③ (1)当点F在线段BC上时，如图①，求证：BE+BF=AF; (2)当点F在线段CB延长线上时，如图②；当点F在线段BC延长线上时，如图③，请直接写出线段BE, BF,AF的数量关系，不需要证明； (3)在(1)、(2)的条件下，若AF=4,BF=6,则BE= 7/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(23-24八上黑龙江佳木斯联考期末)己知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，D是直线BC上的一 动点（点D不与点B,C重合），连接CE E D B D CD 图① 图② 图③ (I)如图①，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD; (2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，直接写出BC,CE,CD之间存在的数量关系及直线CE与直线 BC的位置关系： (3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，直接写出BC,CE,CD之间存在的数量关系及直线CE与 直线BC的位置关系 8/28 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 9.(23-24八上·黑龙江绥化期末)正方形ABCD中对角线AC、BD相交于0，E为AC上一点，AG⊥EB交 EB于G,AG交BD于F. D E 图1 图2 (1)说明0E=0F的道理； (2)在(1)中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G,AG、BD的延长线交于F,其他条件不 变，如图2，则结论：“0E=OF”还成立吗？请说明理由. 9/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中， AB=ACAE=AF,∠BAC=∠EAF=30°，连接BECF,延长BE交CF于点D,则BE与CF的数量 关系： ,∠BDC= (2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°，连 接BE,CF,延长BE,FC交于点D·请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由： (3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接 BE,CF,且点B,E,F在一条直线上，过点A作AM⊥BF,垂足为点M.连接CE,△BEC的面积为I, BF=3CF,求△ACE的面积. 图1 图2 图3 10/28