大题专项6 概率与统计初步（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为概率与统计初步。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 大题专项 专题6 概率与统计初步 一、考纲解读 1.概率与统计初步 · (1) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式； · (2)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 解答题 31 古典概型 10 （1）概率与统计初步近几年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：古典概型、均值与方差应用。 2023 解答题 34 均值与方差应用 10 2022 解答题 32 古典概率 10 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有1道解答题考查概率与统计初步，分值共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 古典概型 · 均值与方差应用 四、知识梳理 （一）概率 1.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 2.古典概型的概率公式 P(A)＝___. （二）统计 1. 随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 （2）系统抽样 （3）分层抽样 2. 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 五、经典例题解析 【例1】某学校计划在甲、乙两名学生中选拔一人参加某项技能比赛，在相同条件下，对他们进行了次测验，甲的成绩为：：乙的成绩为：， (1)分别求出甲、乙两名学生的平均成绩； (2)该校应选拔哪名学生参加技能比赛？ 【答案】(1)8，8 (2)甲 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数的运算方法计算即可. （2）根据比较两名学生的平均数和方差即可作出选择. 【详解】（1）甲的成绩为：， 则， 乙的成绩为：， 则. （2）由（1）可知，甲乙的平均数相等， 解法一（人教版）： ， 解法二（高教版）： ， 因为甲乙的平均数相等，且，甲同学的成绩稳定性更好， 所以选择甲同学参加. 【例2】为选拔两名选手参加某项比赛，在选拔测试期间，他们参加选拔的5次测试成绩（满分100分）记录如下： (1)从两人的成绩中各随机抽取一个，求B的成绩比A低的概率； (2)从统计学的角度考虑，你认为选派哪位选手参加比赛更合适？说明理由. 【答案】(1) (2)派A参赛比较合适，理由见解析 【知识点】由茎叶图计算平均数、极差、方差、标准差的概念与计算、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概率的计算，结合题意，即可求解； （2）根据题意，通过比较两人成绩的平均数和方差的大小，即可判断. 【详解】（1）记A被抽到的成绩为，被抽到的成绩为，用数对 表示基本事件：    基本事件总数， 记“的成绩比A低”为事件，事件包含的基本事件有： 事件包含的基本事件数， 所以B的成绩比A低的概率； （2）解法一（适用于人教版）： 派A参赛比较合适．理由如下：    ， ， ， ， 因为， ， 所以A的成绩较稳定，派A参赛比较合适. 解法二（适用于高教版）： 派A参赛比较合适．理由如下：    ， ， ， ， 因为， ， 所以A的成绩较稳定，派A参赛比较合适. 【例3】某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示. 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 a 0.5 第2组 18 x 第3组 b 0.9 第4组 9 0.36 第5组 3 y (1)分别求出 的值； (2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？ (3)指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？ 【答案】(1)，，， (2)第2组： (人)；第3组： (人)；第4组： (人) (3) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布表、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、中位数 【分析】（1）先由第4组数据求出第4组的人数，再结合频率分布直方图求出总人数，再根据频率分布直方图分别求出对应各组人数，求解即可； （2）先求出第2组，第3组，第4组的总人数，再根据分层抽样的方法求解即可； （3）根据中位数的值为能使小矩形面积前后相等的横坐标的值，在由小矩形面积求解即可. 【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组人数为 ，   再结合频率分布直方图中第4组数据可知总人数为 ， 所以由频率分布直方图可知第1组人数为人， ， 由频率分布直方图可知第3组人数为人， ， 由频率分布直方图可知第2组人数为人， ， 由频率分布直方图可知第5组人数为人， . （2）第2、3、4组回答正确的共有人． ∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组： (人)； 第3组： (人)； 第4组：   (人)． （3）设这组数据的中位数为x， 由频率分布直方图可得前两组的频率之和为， 最后两组的频率之和为， 故x在第三组中，且， 解得 ，故 . 【例4】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是.求： (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩. 【答案】(1)众数为65，中位数为65 (2)67 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、众数的概念与计算、中位数 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的计算方法即可得解； （2）根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可得解. 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值， 得众数为65， 因为第一、二、三、四、五小组的频率分别是， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）依题意，平均成绩为： ， 所以平均成绩约为67. 【例5】某校要从甲、乙两名同学中选择一人参加该市组织的数学竞赛，已知甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛的数学成绩（满分100分）如下： 甲：79，81，83，84，85，90，93； 乙：75，78，82，84，90，92，94. (1)完成答题卡中的茎叶图； (2)分别计算甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛成绩的平均数与方差，并由此判断该校应选择哪位同学参加该市组织的数学竞赛. 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数都是85， 人教版：方差，，甲 高教版：方差，，甲 【知识点】由茎叶图计算平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据所给数据完成茎叶图，即可. （2）分别计算甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛成绩的平均数与方差，得到应该选择甲同学参加该市组织的数学竞赛. 【详解】（1）由题中的数据，茎叶图如下： （2）由题中数据，可得平均数： ， ，   人教版： 因为 ，而，所以该校应选择甲同学参加该市组织的数学竞赛. 高教版： 因为 ，而，所以该校应选择甲同学参加该市组织的数学竞赛. 【例6】用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色 (1)设为事件“三个圆的颜色相同”，求事件发生的概率； (2)设为事件“只有两个圆的颜色相同”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】（1）先计算全部的事件的个数，再计算事件的个数，再根据古典概率求解即可. （2）先计算事件的个数，再根据古典概率求解即可. 【详解】（1）每个圆有 3 种涂色选择，三个圆的总涂色方式为 种， 事件 的情况数为三个圆颜色相同，有红、黄、蓝 3 种可能， 故. （2）先从3个圆中选2个圆涂相同颜色，有种选法， 对于选出的这2个圆，有3种颜色可以选择；剩下1个圆有2种颜色可以选择， 故事件的个数为， 故. 【例7】某校参加夏令营的同学有3名男同学 和3名女同学 ，其所属年级情况如下表：          　 高一年级 高二年级 高三三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） (1)用表中字母写出这个试验的样本空间； (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率. 【答案】(1) (2)，，，，,， 【知识点】总体与样本、计算古典概型问题的概率、组合意义理解 【分析】（1）利用组合直接写出样本空间即可； （2）由（1）中找到符合的样本，然后利用概率公式可求. 【详解】（1）这个试验的样本空间为：   （2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；   ，，，，， 共6种， 因此事件M发生的概率 【例8】书架上有语文书4本，数学书8本，英语书3本，物理书5本，从中任取1本，求： (1)取到语文书的概率； (2)取到数学书或物理书的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】（1）求出取到语文书的取法，再根据古典概型的概率公式即可求解. （2）求出取到数学书或物理书的取法，再根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）从4本语文书，8本数学书，3本英语书，5本物理书，中任取1本共有20种不同的取法， 取到语文书有4种不同的取法， 所以取到语文书的概率. （2）取到数学书或物理书共有13种不同的取法， 所以取到数学书或物理书的概率为. 【例9】已知盒中装有3个蓝球，2个白球，从中任取2个球． (1)求取到2个白球的概率 (2)求取到一个白球，一个蓝球的概率 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】（1）先分析随机取2个球的情况，再分析取到2个白球的情况，即可求得概率. （2）先分析随机取2个球的情况，再分析取到一个白球，一个蓝球的情况，即可求得概率. 【详解】（1）盒子里面总共有个球，取出2个球的事件总数为. 取到2个白球的情况有，种， 所以，取到2个白球的概率. （2）取到一个白球，一个蓝球的情况有，种. 所以，取到一个白球，一个蓝球的概率 【例10】现学校需要从名女生和名男生中随机选择校园广播员，如果选名校园广播员，请用树状图或列表法求出名校园广播员恰好是男女的概率. 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意画出树状图，即可求解. 【详解】如图所示：   共有种等可能的结果， 名主持人恰好男女的情况有种， 名主持人恰好男女的概率. 六、专题归纳小结 易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 总体与样本混淆 概念不清 记住：被抽取的才是样本，被调查的全体是总体 中位数计算错误 未排序或未取平均。 先排序！数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。 直方图频率算错 概念混淆 牢记：小长方形的面积 = 高 × 组距 = 频率 忽略方差单位 对公式理解不深 提醒：方差是标准差的平方，单位也是平方关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $