大题专项4 立体几何（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 大题专项 专题4 立体几何 一、考纲解读 1.多面体和旋转体的表面积和体积：理解多面体和旋转体的侧面展开图、侧面积公式、体积公式。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 解答题 34 长方体的体积与对角线长 10 （1）分值：立体几何近几年都有涉及，分值一般在10分左右。 （2）内容：正四棱柱的表面积、体积与对角线。 2023 解答题 32 正四棱柱的体积与侧面积 10 2022 解答题 31 正方体的表面积、体积与对角线长 10 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有1道解答题考查立体几何，分值共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 正四棱柱的表面积、体积与对角线 · 多面体和旋转体的表面积和体积：理解圆柱、圆锥的侧面展开图、侧面积公式、体积公式。 四、知识梳理 空间几何体 （一）多面体 1.直棱柱 斜棱柱和直棱柱的差别在于侧棱是否与底面垂直？如果侧棱不垂直于底面，则为斜棱柱；如果侧棱垂直于底面，则为直棱柱. 2.正棱柱 底面是正多边形的直棱柱. 2.棱锥 正棱锥 （1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的多面体叫正棱锥. （2）正棱锥的性质 ①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高及其底面上的射影组成一个直角三角形，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个直角三角形. （二）旋转体 1.圆柱 （1）以矩形的一边所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周的曲面所围成的几何体叫做圆柱. （2）圆柱的轴截面为矩形，侧面展开图为矩形； 2.圆锥 （1）以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫圆锥. （2）圆锥的轴截面为等腰三角形，侧面展开图为扇形. 如左图：（1）轴截面为； （2）侧面展开图为扇形； （3）扇形的弧长圆锥的底面周长； （4）扇形的半径圆锥的母线长； （5）扇形的圆心角 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展 开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 4.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 5.球 （1）以半圆的直径为轴，旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做球. （2）球心到截面圆的距离为，球的半径及截面圆半径之间的关系式为. 五、经典例题解析 【例1】已知正四棱锥的底面边长为4，高为4. (1)求正四棱锥的体积； (2)求正四棱锥外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】几何体与球的切接问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】（1）计算底面的面积，然后根据椎体体积公式计算即可； （2）结合图形找到球心，然后建立关系，代值计算即可. 【详解】（1）对于正四棱锥，底面为正方形，顶点P在底面的投影是底面的中心O， 即OP是正四棱锥的高，底面边长，高， =，，即正四棱锥的体积为 （2）正棱锥外接球的球心一定在高上，设球心为，连接，    则， 在中，，即，解得， ，即正四棱锥外接球的表面积为 【例2】已知一个正三棱柱的底面边长为，高为，求这个正三棱柱的侧面积和体积． 【答案】， 【知识点】棱柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据正三棱柱的侧面积和体积公式求解即可． 【详解】由题可知，底面边长为，高为. 所以正三棱柱的侧面积. 又因为边长为的正三角形面积. 所以. 【例3】已知正四棱锥的底面边长和侧棱长为，求正四棱锥的侧面积和体积． 【答案】， 【知识点】棱锥的分类及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由题意画出图形，先根据侧棱长求出侧面积，再求正四棱锥的高，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】如图：    在正四棱锥中，底面边长，侧棱长， 则侧面三角形的高， ∴侧面三角形的面积， 故侧面积. ∵底面为正方形 ∴， ∴高， ∴. 故底面边长和侧棱长为的正四棱锥，侧面积为，体积为. 【例4】已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形.求： (1)圆柱的侧面积； (2)圆柱的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）由圆柱轴截面的性质知：圆柱体的高为，底面半径为，根据圆柱体的侧面积公式，即可求得其侧面积. （2）根据题意得到圆柱底面半径与高，再利用体积公式即可求得其体积. 【详解】（1）由圆柱的轴截面是边长为4的正方形， 圆柱体的高为，底面半径为， 圆柱的侧面积为. （2）由圆柱的轴截面是边长为4的正方形， 圆柱体的高为，底面半径为， 圆柱体的体积. 【例5】已知一个正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，求这个正四棱柱的全面积和体积． 【答案】全面积为32（），体积为12（） 【知识点】棱柱的分类及其有关计算、棱柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据正棱柱的全面积公式、体积公式可求解. 【详解】正四棱柱的全面积为 （）. 由于正四棱柱的底面积（），所以正四棱柱的体积为 （） 【例6】若将上海世贸大厦看作是一长方体，其高约，底面为边长约的正方形，若要在其四面外墙装上玻璃幕墙，则需要准备的玻璃的面积至少是多少平方米？ 【答案】100920（平方米）． 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据题意通过长方体的侧面积即可求解. 【详解】解：依题意得，要准备的玻璃面积即大厦的侧面积. 所以要准备玻璃面积为 （平方米）. 【例7】一个正四棱柱的底边长为，侧棱长为，求这个四棱柱的表面积和体积． 【答案】； 【知识点】棱柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据四棱柱的表面积公式与体积公式即可求解. 【详解】解：正四棱柱的表面积为：. 正四棱柱的体积为：. 【例8】已知球的直径是8cm，求球的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】∵球直径为，∴球的半径， ∴球的表面积， 球的体积. 【例9】若圆柱底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的表面积之比. 【答案】3∶2 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. ∴，， ∴， 即圆柱与球的表面积之比为3:2. 【例10】如果一个长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则称这个球为这个长方体的外接球，此时长方体的体对角线就是球的直径．已知一个长方体的三条棱长分别为1cm，2cm，3cm，求它的外接球的表面积． 【答案】14πcm2． 【知识点】几何体与球的切接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先求球的半径,再根据球的表面积公式求解即可． 【详解】∵长方体的三条棱长分别为1cm，2cm，3cm， ∴它的外接球的半径为， ∴它的外接球的表面积为． 六、专题归纳小结 1. 空间几何体的结构、三视图与表面积体积 几何体 表面积公式 体积公式 三视图特点 棱柱 S表​=S侧​+2S底​ V=S底​⋅h 各视图通常为平行四边形或矩形 棱锥 S表​=S侧​+S底​ V=S底​⋅h 俯视图有多边形，正/侧视图有共顶点的三角形 圆柱 S表​=2πr(r+h) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为矩形；俯视图为圆 圆锥 S表​=πr(r+l) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为等腰三角形；俯视图为圆（带圆心） 球 S表​=4πR2 V=πR3 三个视图都是圆 表面积计算口诀：“看清几何体，公式记心里；多面体加和，旋转体展开” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $