大题专项4 立体几何（B卷·能力提升）--2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026年新疆(“三校生升高职”考试)二轮复习《数学考纲专题练》 依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历！ 年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为 !构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆(“三校生升高职”考试)二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的1 第4个专题，内容为立体几何。 2026年新疆(“三校生升高职”考试)《数学考纲专题练》 大题专项专题4立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1.已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体S-ABC如图所示，求它的表面积和体积. 2.若正四棱锥的高是√，底面的边长是2，求它的全面积和体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 3,如图所示，在正三棱锥P-ABC中，底面边长为6，高P0=3,求该正三棱锥的表面积 和体积. B 4.如图所示，一个几何体由底面边长为6，高为3的正四棱柱和同底等高的正四棱锥组合 而成，求： C D A D: B (1)该几何体的体积， (2)该几何体的表面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 5.有一个正四棱柱形状的包装盒，底面边长为15厘米，高为20厘米. (1)计算这个包装盒的表面积是多少平方厘米？ (2)若在包装盒内装满棱长为5厘米的小正方体，最多能装多少个？ 6.正四棱锥的高是a,底面的边长是2a,求它的表面积和体积. 7.已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6 和4的矩形，求它的表面积· ⊙原创精品资源学科网独家享有版权。侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 8,将一个边长为12cm的正方形作为侧面卷成一个圆柱，加底，制作成圆桶（不考虑损耗， n取3.14，精确到0.1）. (1)求制作这个圆桶所用材料的面积： (2)求这个圆桶的体积. 9.已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其内部有一个高为x的内接圆柱· (1)求圆柱的侧面积 (2)求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值. 原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 10.已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比. 11·一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求 所得旋转体的表面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 12.如图，某容器由圆柱和圆锥组成，其中圆柱的底面半径和高都是3cm,圆锥的高为4cm, 求此容器的表面积和体积. 13·如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱 部分的高为10米，底面圆的半径为5米 图1 图2 (1)求该粮仓体积 (2)已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 14.圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形，求圆锥的表面积和体积 15,正方体的棱长为Q,分别求正方体的内切球和外接球的表面积、体积. 16.如图所示，已知在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=5,AA,=4,AD=3,求： D C A B C B (1)长方体ABCD-A,B,C,D,的外接球体积与表面积； (2)已知有一只蚂蚁在长方体ABCD-A,B,C,D,的表面爬行，要从点A爬行到点C,求蚂蚁爬 行的最短距离 原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 17.一个长方体盒子，内部长、宽、高分别为20cm、15cm、10cm. (1)在盒内放置一个最大的球，求这个球的表面积（结果保留）· (2)若在盒内放置若干个半径为2.5cm的小球，最多能放多少个？ 18.某工艺品加工厂收到一块底面棱长为2√5厘米，侧棱长为2√7厘米的正三棱锥形状的 珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，求这个球形饰品的表面积的最大值， 19.已知球面上有A,B,C三点，且AB=BC=CA=3,球心与过A,B,C三点的截面的距离为球 的半径的一半，求此球的表面积 20.已知球的一个截面的半径是3，球心与该球截面的距离是4，求 (1)球的表面积； (2球的体积. 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 大题专项 专题4 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积和体积.    【答案】； 【分析】根据三棱锥的表面积公式以及体积公式求解即可. 【详解】四面体的各面均为边长为2等边三角形， 所以表面积为， 取BC的中点D，连接SD，AD，    因为各面均为等边三角形，所以， 又因为平面，所以平面， 而，，， 所以， 则体积为. 2．若正四棱锥的高是，底面的边长是2，求它的全面积和体积. 【答案】； 【分析】根据正四棱锥的高，斜高及斜高在底面内的射影构成直角三角形，求解正四棱锥的斜高，再求解其全面积和体积. 【详解】设正四棱锥的斜高为， 因为正四棱锥的高，斜高及斜高在地面的射影构成直角三角形， 所以， 由题意得正四棱锥的侧面积， 底面积， 故全面积， 体积. 3．如图所示，在正三棱锥中，底面边长为6，高，求该正三棱锥的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为. 【分析】根据正三棱锥的体积公式和表面积公式求解即可. 【详解】在正三棱锥中，O为底面的中心， 所以为底面的高线和中线， 因为底面边长为6，所以， 所以， 由重心性质可得， 所以侧面斜高， 底面积， 侧面积， 所以正三棱锥的表面积为； 又底面积，高， 所以正三棱锥的体积为. 综上，正三棱锥的表面积为，体积为. 4．如图所示，一个几何体由底面边长为6，高为3的正四棱柱和同底等高的正四棱锥组合而成，求： (1)该几何体的体积； (2)该几何体的表面积． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据棱柱与棱锥的体积公式求值即可. （2）根据棱柱与棱锥的表面积公式求值即可. 【详解】（1）已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，高为3， 所以正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为. 所以组合体的体积为. （2）正四棱柱的侧面积为， 正四棱柱的底面积为， 正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 5．有一个正四棱柱形状的包装盒，底面边长为 15 厘米，高为 20 厘米. (1)计算这个包装盒的表面积是多少平方厘米？ (2)若在包装盒内装满棱长为 5 厘米的小正方体，最多能装多少个？ 【答案】(1)1650平方厘米 (2)36个 【分析】（1）根据正四棱柱表面积公式，即可求解. （2）根据正四棱柱体积公式求得包装盒和小正方体的体积，即可求解. 【详解】（1）正四棱柱形状的包装盒，底面边长为 15 厘米，高为 20 厘米， 所以正四棱柱表面积表面积为平方厘米. （2）包装盒体积为立方厘米， 小正方体体积为立方厘米， 即个， 所以最多能装36个. 6．正四棱锥的高是a，底面的边长是2a，求它的表面积和体积. 【答案】表面积为；体积为 【分析】作出正四棱锥的图形，结合正四棱锥的结构特征，利用勾股定理求得其侧面斜高，从而利用棱锥的表面积和体积公式即可得解. 【详解】记点为正四棱锥底面ABCD的中心，连接PO， 取BC中点，连接OE，PE，如图， 则平面ABCD，且， 因为平面ABCD，则， 又，所以， 因为在正四棱锥中，，所以， 所以， . 7．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积． 【答案】或． 【分析】分两种情况，求出底面积，从而求出表面积. 【详解】由题意可知该三棱柱为正三棱柱， ∵正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， ∴有如下两种情况： ①6是底面周长，4是三棱柱的高， 此时正三角形边长为2， 此底面积， 表面积； ②4是底面周长，6是三棱柱的高， 此时正三角形边长为， 此时底面积， 表面积． 所以该三棱柱的表面积是或． 8．将一个边长为的正方形作为侧面卷成一个圆柱，加底，制作成圆桶（不考虑损耗，取，精确到）. (1)求制作这个圆桶所用材料的面积； (2)求这个圆桶的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先求得底面半径，再由圆柱的表面积公式求解即可； （2）根据圆柱的体积公式直接代入数据求解即可. 【详解】（1）根据题意可知， 所以， 则，， ； 故制作这个圆桶所用材料的面积为. （2）. 故这个圆桶的体积约为. 9．已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的侧面积的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）作出轴截面，根据线段比例关系可求得圆柱底面半径，代入圆柱侧面积公式即可； （2）根据二次函数最值的求法可确定最大值及的取值. 【详解】（1）设圆锥顶点为，底面圆心为，圆柱的底面半径为， 作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，   ，，则 圆柱侧面积. （2）由（1）知：， 当时，圆柱侧面积取得最大值. 10．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比. 【答案】 【分析】设正方体棱长为，圆柱的底面半径为，根据正方体的侧面积和圆柱的侧面积公式列方程得出，再根据正方体的体积公式和圆柱的体积公式求比值即可. 【详解】设正方体棱长为，圆柱的底面半径为， 则该圆柱的高为，由于圆柱和正方体的侧面积相等， 则，所以有， 正方体的体积为， 圆柱的体积为， 因此，这个正方体和圆柱的体积之比为. 11．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4．将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【答案】 【分析】直角梯形绕较长底所在直线旋转一周后，会得到一个由圆柱和圆锥组成的旋转体，根据圆柱的侧面积、底面积以及圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意，如图梯形中，， 过点作，垂足为，则， 在中，， 将其绕较长底所在直线旋转一周，所得旋转体上部分为圆柱高为2，底面半径为4， 下部分是与圆柱共底的圆锥，圆锥的高为3，底面半径为4，母线长为5， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 所以旋转体的表面积为. 12．如图，某容器由圆柱和圆锥组成，其中圆柱的底面半径和高都是3cm，圆锥的高为4cm，求此容器的表面积和体积. 【答案】和 【分析】几何体的表面积是一个圆柱的侧面积、一个底面积与一个圆锥侧面积之和，体积是圆柱中的体积与圆锥的体积的之和，由此列式解答即可. 【详解】几何体由圆锥和圆柱组成，圆柱底面半径为，高为， 圆锥底面半径也为，高为，则圆锥母线长为， 所以此容器的表面积为 ， 体积为， 故所求容器的表面积及体积分别为和. 13．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米． (1)求该粮仓体积； (2)已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用． 【答案】(1) 立方米 (2)元 【分析】（1）根据圆柱及圆锥的体积公式即可得解. （2）根据圆柱及圆锥的表面积公式即可得解. 【详解】（1）由题知该粮仓底面圆的半径米，圆柱高米，圆锥高米， 圆柱的体积, 圆锥的体积， 所以该组合体体积 . （2）由题意可知圆锥部分展开为扇形，扇形的弧长米， 母线长米， 所以圆锥的侧面积， 所以圆锥顶部需要花费元； 圆柱部分展开为矩形，面积， 所以圆柱部分需要花费元， 所以修建该粮仓的费用为元． 14．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，求圆锥的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据轴截面是边长为的等边三角形可知圆锥底面圆的半径为，母线长度为，再根据勾股定理可以求出高．利用圆锥表面积=底面圆面积+侧面积，体积=底面积高求解即可． 【详解】如图，    ∵， ∴， ∴圆锥的体积为， 表面积为． 15．正方体的棱长为，分别求正方体的内切球和外接球的表面积、体积. 【答案】，；， 【分析】根据正方体内切球与外接球的直径与正方体棱长的关系，求出内切球和外接球的半径，再结合球的表面积和体积公式求解即可. 【详解】正方体的内切球的直径大小等于正方体的棱长的大小， 则内切球的半径， 内切球的表面积， 内切球的体积； 正方体的外接球的直径大小等于正方体的体对角线的大小， 正方体体对角线，则外接球的半径， 外接球的表面积， 外接球的体积. 16．如图所示，已知在长方体中，，求： (1)长方体的外接球体积与表面积； (2)已知有一只蚂蚁在长方体的表面爬行，要从点爬行到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据球的体积与表面积公式分别求解即可. （2）分别求出蚂蚁爬的三种路径的距离，并选出最短距离即可. 【详解】（1）因为球与长方体均为中心对称几何体， 所以长方体的外接球的球心即为长方体的中心，长方体的对角线即为球的直径， 所以，所以， 所以长方体的外接球体积与表面积分别为 ， . （2）根据题意，展开长方体的两个面与面，如图1所示； 展开长方体的两个面，如图2所示. 蚂蚁从点爬行到点有三条路径可选， ， ， ， 因为， 所以蚂蚁从点爬行到点的最短距离为. 17．一个长方体盒子，内部长、宽、高分别为 20cm、15cm、10cm. (1)在盒内放置一个最大的球，求这个球的表面积（结果保留）. (2)若在盒内放置若干个半径为 2.5cm 的小球，最多能放多少个？ 【答案】(1). (2)24个. 【分析】（）根据题意结合球的表面积公式即可得解. （）分别计算长方体盒子的长、宽、高分别能放多少个小球的直径即可得解. 【详解】（1）球的直径最大为长方体的高，则半径， 球的表面积. （2）长能放个， 宽能放个， 高能放个， 所以最多能放个. 18．某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，求这个球形饰品的表面积的最大值. 【答案】平方厘米. 【分析】根据题意求出棱锥的表面积与体积，结合棱锥的内切球性质和等体积法求出内切球的半径，即可求出球形饰品的表面积的最大值. 【详解】 如图，在正三棱锥中底面正三角形中，为边的高， ，则， 所以， 在中，，，所以， 所以该木材的表面积平方厘米， ，所以， 所以体积立方厘米. 要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球， 设内切球的半径为厘米，则，解得， 所以此时球形饰品的表面积为平方厘米. 19．已知球面上有三点，且，球心与过三点的截面的距离为球的半径的一半，求此球的表面积. 【答案】. 【分析】利用正三角形的外接圆性质，结合球的截面的性质及表面积公式即可得解. 【详解】设外接圆的半径为，球的半径为. 因为为等边三角形. 所以的高为，则， 由题意可知，解得， 所以球的表面积为. 20．已知球的一个截面的半径是3，球心与该球截面的距离是4，求 (1)球的表面积； (2)球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】根据数形结合结合圆以及球的有关知识解答，先根据题意可求出球的半径，即可求出球的表面积和体积． 【详解】（1）根据题意如图所示， 因为截面小圆半径为3，球心到截面的距离为4， 所以，， 所以在中，由勾股定理可知， 所以球的半径， 根据球表面积计算公式可知， 所以球的表面积为． （2）球的半径， 根据球体积计算公式可知， 所以球的体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $