28.5 弧长和扇形面积的计算 同步练习 2025-2026学年冀教版九年级上册数学

28.5 弧长和扇形面积的计算 一、单选题 1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　） A． B．π C． D． 2．半径为3，圆心角为的扇形面积为（   ） A． B． C．3 D． 3．某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为．底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为（   ） A． B． C． D． 4．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（　　） A．90° B．120° C．180° D．135° 5．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 6．如图,一个窗户的上部分是由4个相同的扇形组成的半圆,下部分是由边长为的4个完全相同的小正方形组成的长方形,则做出这个窗户需要的材料总长是（ ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（    ） A．2 B． C． D． 8．用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是(　 　) A．5 B．10 C． D． 二、填空题 9．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 10．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留) 11．如图，过的顶点、、，且，，则弧长为 . 12．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于 ． 13．如图，三个皮带轮的半径都是1，圆心距AC=3，BC=3．AB=6，则皮带的总长度为 ． 14．如图，点A、B、C在半径为1的⊙O上，的长为π，则∠ACB的大小是 ． 三、解答题 15．如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    16．如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径为，从A到B有一笔直的栅栏，其长为．观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多少名观众在看马戏？ 17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF． (1)求证：． (2)求证：△AFO≌△CEB． (3)若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积． 18．如图是一个粮仓,其顶部是一个圆锥,底部是一个圆柱. (1)画出粮仓的三视图; (2)若这个圆锥的底面周长为32 m,母线长为7 m,为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡,则至少需要多少油毡(油毡接缝重合部分不计)? (3)若这个圆柱的底面圆半径为8 m,高为5 m,粮食最多只能装至圆柱同样高,则这个粮仓最多可以存放多少粮食(结果保留π)? 19．如图，在中，弦相交于点，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：根据弧长公式知：扇形的弧长为． 故选：D． 【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握运用弧长公式是解题关键． 2．D 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的面积为：； 故选D． 3．B 【分析】本题考查了圆锥的计算．利用圆锥的侧面积圆锥母线圆锥底面圆的半径直接求出侧面积，然后求得底面积，二者的和即为全面积． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴底面圆的半径为， ∴圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积， ∴圆锥的全面积为． 故选：B． 4．C 【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】解：由题意得，2π＝， 解得：n＝180． 即这条弧所对的圆心角的度数是180°． 故选C． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 5．A 【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分面积 故选A． 6．B 【分析】先数出需要多少个长度为a的材料，再算出半圆弧需要的材料长度即可. 【详解】由图可知，需要多少个长度为a的材料为15a， 半圆弧长为=， ∴共需材料总长为， 选B. 【点睛】此题主要考查弧长的计算. 7．C 【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ∵AC=6，∠ACB=120° ∴，即：r=OA=2 在Rt△AOC中，OA=2，AC=6， 由勾股定理得，． 故填：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键． 8．A 【分析】根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解． 【详解】半径为15cm，圆心角为120°的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π. 设圆锥的底面半径是r， 则得到2πr=10π， 解得：r=5， 这个圆锥的底面半径为5.故选择A. 【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长的计算公式. 9．/ 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）直接求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 10．－1 【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N， 则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1， 故答案为π−1． 【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 11． 【分析】根据已知圆周角，因此连接、构造等边三角形，可求出圆的半径及弧所对的圆心角的度数，再利用弧长公式求解即可. 【详解】连接，， ， ， 是等边三角形， ， 即半径为， ∴弧的长度为： 故答案为 【点睛】本题考查弧长计算，解题的关键是利用圆周角定理求出∠AOB的度数． 12． 【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则， ∵将扇形沿着过点B的直线折叠， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长； 故答案为：． 【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键． 13． 【分析】连接AD、AI、CE、CF、BG、BH．求出、、的长度之和加上圆中心距离AC=3，BC=3，AB=6即可． 【详解】解： 连接AD、AI、CE、CF、BG、BH． 、、所对的圆心角之和为360°×3-180°-90°×6=360°， 、、的长度之和为=2π， 故皮带的总长度为2π+3+6+3=9+3+2π． 故答案是: 9+3+2π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，将原图化为矩形和扇形是解题的关键． 14．36° 【详解】试题解析：连结OA、OB．设∠AOB=n°． ∵的长为2π， ∴=2π， ∴n=40， ∴∠AOB=40°， ∴∠ACB=∠AOB=20°． 考点：1.弧长的计算；2.圆周角定理． 15．，详见解析 【分析】本题考查了作图−基本作图，弧长公式等知识点，由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上，再根据弧长公式求解即可，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上， ∴， ∴弧的长． 16．约421人． 【分析】过O作OD⊥AB，D为垂足，则AD=BD=15，根据sin∠AOD=0.75，得到∠AOD≈49°，所以∠AOB=98°，由S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB≈145.7m2，然后乘以3即可得到该校看马戏的人数． 【详解】解：过O作OD⊥AB，D为垂足， ∵AB=30m． ∴AD=BD=15m， ∴OD==5 ∵sin∠AOD===0.75， ∴∠AOD≈49°， ∴∠AOB=98°， ∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB=-×30×5≈145.7m2， ∴145.7×3≈437（人）． 答：大约有437位观众在看马戏． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及弓形面积的计算，掌握扇形的面积计算公式,求出弓形面积是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)，阴影部分面积为 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得； （2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形全等； （3）根据三角形中位线定理求得BC，由等腰三角形的性质求得OA=BC=OB=10cm，进而求得x的值，解直角三角形求得圆心角，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵OF⊥AC， ∴OFBC； （2）证明：∵AB⊥CD， ∴， ∴∠CAB=∠BCD， 在△AFO和△CEB中， ∴△AFO≌△CEB（AAS）； （3）解：连接DO．设OE=x， ∵OFBC，OA=OB， ∴OF=BC， ∵OF=BE=5cm， ∴BC=10cm， ∵△AFO≌△CEB（AAS）； ∴ ， 是等边三角形， ， ， ， ∴∠COD=120°， ∴扇形COD的面积是：， 由垂径定理可得： ∴ ∴ ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键． 18．(1)图形见解析； (2)至少需要112 m2油毡； (3)这个粮仓最多可以存放320πm3粮食. 【详解】试题分析:（1）直接根据三视图的作法进行画图,注意原图上方是一个圆锥,下方是一个圆柱,从正面看,正视图是一个上面是等腰三角形,下面是个矩形,从左面看,左视图和正视图相同,从上面看,俯视图是个同心圆,里面的圆弧是虚线,（2）是求圆锥的侧面积,圆锥的侧面展开图是一个扇形,可运用扇形面积的求法求圆锥的侧面积,（3）是求圆柱的体积,利用圆柱的体积公式即可求解. 试题解析: （1）如图所示. （2）S侧=×底面圆周长×母线长=×32×7=112(m2). 答:至少需要112 m2油毡. (3)V=πr2·h=π×82×5=320π(m3). 答:这个粮仓最多可以存放320πm3粮食. 19． 【分析】如图，过点作于点,于点，连接，则由直角三角形的知识可以求出，再由圆周角知识算得的大小，并算出，最后求出整个阴影部分面积． 【详解】如图，过点作于点,于点，连接． 在和中， ，      ． ，且， ∴四边形是正方形．     ． ∴ 于点M， ． 【点睛】本题考查圆的综合知识，综合利用其他几何知识和圆的有关知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $