中档题保分练4-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

中档题保分练4 （时间：50分钟　满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z满足（z－3）·（z－5）＋2＝0，则z·＝（　　） A.4　　　B.　　　C.16　　　D.17 2.小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为.小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（　　） A. B. C. D. 3.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（2x－1）为偶函数，f（x－2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则f（7）＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 4.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为（　　） A.4 B.7 C.10 D.14 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 5.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，底面ABCD是边长为2的正方形，底面A1B1C1D1的中心为M，则（　　） A.C1D1∥平面ABM B.向量在向量上的投影向量为 C.四棱锥M-ABCD的内切球的半径为 D.直线AM与BC所成角的余弦值为 6.已知离散型随机变量X服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有（　　） A.a＋b＝1 B.p＝时，a＝b C.0＜p＜时，a随着n的增大而增大 D.＜p＜1时，a随着n的增大而减小 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 7.已知集合A＝{u（x）｜u（x）＝ax2－（a＋b）x＋b，a，b∈R}，函数f（x）＝x2－1.若函数g（x）满足：对任意u（x）∈A，存在λ，μ∈R，使得u（x）＝λf（x）＋μg（x），则g（x）的解析式可以是　　　　　　　. （写出一个满足条件的函数解析式即可） 8.在△ABC中，tan A＝3tan B，A－B的最大值为φ.若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0），在区间上单调递增，则ω的最大值为　　　　. 四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－－aln x. （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有两个极值点b，c，记过两点B（b，f（b）），C（c，f（c））的直线的斜率为k，是否存在实数a，使k＋a＝2成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由. 10.（本小题满分15分）在①a8＝2a4＋1；②4是a1，a3的等比中项；③S5＝4a1a2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a6－a1，且　　　　. （1）求an； （2）设数列的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 11.（本小题满分15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为. （1）求C的方程； （2）直线l：y＝kx＋m（k＞0，m＞0）与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且＝λ，＝μ. ①当μ＝＝2时，求k的值； ②当λ＋μ＝3时，求点（0，－）到l的距离的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题保分练4 1.D　法一　由（z－3）（z－5）＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，设z＝a＋bi（a，b∈R），得（a＋bi）2－8（a＋bi）＋17＝0，即可得所以z·＝｜z｜2＝a2＋b2＝42＋1＝17，故选D. 法二　由（z－3）（z－5）＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，Δ＝（－8）2－4×17＝－4＜0，所以z，是方程z2－8z＋17＝0的两个复数根，所以z·＝17.故选D. 2.D　根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，事件A包含3种情况，①走了4次1级台阶，其概率P1＝（）4＝，②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率P2＝××（）2＝，即P（AB）＝，③走了2次2级台阶，其概率P3＝（）2＝，故小明爬到第4级台阶概率P（A）＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率P（B｜A）＝＝＝，故选D. 3.A　因为f（2x－1）为偶函数，所以f（－2x－1）＝f（2x－1），即f（x－1）＝f（－x－1），所以f（x）＝f（－x－2），又f（x－2）是奇函数，所以f（－x－2）＝－f（x－2），即f（x）＝－f（x－2），所以f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，又当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，所以f（1）＝21－1＝1，则f（－1）＝－f（1）＝－1，所以f（7）＝f（－1）＝－1.故选A. 4.D　延长NM，CB相交于点H，连接C1H交BB1于点G，连接MG，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，所以MN＝＝2，BH＝AN＝2，CC1＝6，因为△HBG∽△HCC1，＝＝，故BG＝2，GH＝＝2，在DD1上取点Q，使DQ＝BG＝2，连接NQ，C1Q，则NQ＝＝2＝GH，同理可知GQ＝NH，所以四边形GQNH为平行四边形，故G，H，N，Q四点共面，则平面MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC1Q，MG＝＝2，C1G＝＝＝4，同理C1Q＝4，故截面周长为MN＋MG＋C1G＋C1Q＋NQ＝2＋2＋4＋4＋2＝14. 5.ABD　对于A选项，∵C1D1∥AB，AB⊂平面ABM，C1D1⊄平面ABM，∴C1D1∥平面ABM，正确；对于B选项，如图，连接BD，设AC∩BD＝N，连接MN，则可证MN⊥平面ABCD，∴向量在向量上的投影向量为＝，正确；对于C选项，设四棱锥M-ABCD的内切球半径为r，则VM-ABCD＝×22×3＝×r（ 22＋4××2×），解得r＝＝，错误；对于D选项，显然AD∥BC，∴∠DAM是直线AM与BC所成的角.在△AMD中，AM＝MD＝＝，AD＝2，则cos∠DAM＝＝，正确.故选A、B、D. 6.ABC　对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；对于B选项，由p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B（n，），则P（X＝k）＝（）k（1－）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），所以a＝（）n×（＋＋＋…）＝（）n×2n－1＝，b＝（）n×（＋＋＋…）＝（）n×2n－1＝，所以a＝b，故B正确；对于C、D选项，a＝＝，当0＜p＜时，a＝为正项且单调递增的数列，故a随着n的增大而增大，故C正确；当＜p＜1时，a＝（1－2p）n为正负交替的摆动数列，故D不正确.故选A、B、C. 7.g（x）＝x－1（满足g（1）＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）　解析：u（x）＝ax2－（a＋b）x＋b，f（x）＝x2－1，u（1）＝a－（a＋b）＋b＝0，f（1）＝0，u（x）＝λf（x）＋μg（x），u（1）＝λf（1）＋μg（1）＝μg（1）＝0，所以g（1）＝0，则g（x）的解析式可以为g（x）＝x－1.经检验，g（x）＝x－1满足题意. 8.2　解析：因为tan A＝3tan B，故B为锐角，且tan（A－B）＝＝＝，又＋3tan B≥2＝2，所以tan（A－B）≤＝，所以A－B的最大值为，即φ＝，当且仅当＝3tan B即tan B＝时，等号成立，函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），因为－≤x≤，所以－ω≤ωx＋≤＋ω，要使f（x）在区间［－，］上单调递增，则所以0＜ω≤2，所以ω的最大值为2. 9.解：（1）由题意得，函数的导函数f'（x）＝1＋－＝（x＞0）. 当a＝2时，f'（1）＝0，f（1）＝0，即切点为（1，0）， 所以曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y－0＝0×（x－1），即y＝0. （2）不存在这样的a.理由如下： 假设存在a，使得k＋a＝2. 则b，c是方程f'（x）＝＝0（x＞0）的两个不等实数根， 即b＋c＝a（a＞0）且bc＝1， 不妨令b＞c，则b＞1， 因为k＝＝2－，所以由k＋a＝2得，b－－2ln b＝0. 构造函数h（x）＝x－－2ln x（x＞1）， 而h'（x）＝＞0恒成立， 所以h（x）在（1，＋∞）上单调递增，即h（x）＞h（1）＝0. 所以当b＞1时，b－－2ln b＞0恒成立，即b－－2ln b＝0无解. 所以不存在实数a使得k＋a＝2. 10.解：（1）选择条件①： 设等差数列{an}的公差为d（d＞0）， 则3a1＋d＝5d，所以3a1＝2d. 联立解得 所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*. 选择条件②： 设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则3a1＋d＝5d，所以3a1＝2d. 又4是a1，a3的等比中项，所以a1a3＝16， 联立解得a1＝2，d＝3， 所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*. 选择条件③： 设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则3a1＋d＝5d，所以3a1＝2d. 因为S5＝4a1a2，所以5a1＋d＝4a1（a1＋d）， 联立解得a1＝2，d＝3， 所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*. （2）Sn＝2n＋×3＝n2＋， 所以Sn＋n＝（n2＋n）＝， 所以＝×＝（－）. 所以Tn＝（1－＋－＋…＋－） ＝＝. 又＝， 所以－Tn＝－＝，因为n∈N*，令y＝3n2＋2n－3，根据二次函数图象性质可知，在其对称轴右侧，即n＞－＝－时，函数单调递增， 所以3n2＋2n－3≥3＋2－3＝2＞0，又（3n＋2）·（3n＋3）＞0， 所以－Tn＞0，所以＞Tn. 11.解：（1）由题意得 解得 所以C的方程为＋y2＝1. （2）①由题意得A（0，m），B（－，0）， 由＝，得＝2－，即M（，2m）， 由＝2，得＝2－， 即N（－，－m）， 将M，N的坐标分别代入C的方程，得＋4m2＝1和＋m2＝1， 解得k2＝，又k＞0，所以k＝. ②由消去y，得（3k2＋1）·x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 其中Δ＝36k2m2－12（3k2＋1）（m2－1）＝12（3k2－m2＋1）＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝λ，＝μ，A（0，m），B（－，0）， 得x1＝λ（x1＋），x2＝μ（x2＋）， 所以λ＋μ＝＋ ＝2－， 由λ＋μ＝3，得k2x1x2＋2mk（x1＋x2）＋3m2＝0， 即＋＋3m2＝0， 所以3m2k2－3k2－12m2k2＋9m2k2＋3m2＝0， 因此k2＝m2，又k＞0，m＞0，所以k＝m. 所以l的方程为y＝k（x＋1），即l过定点（－1，0）， 所以点（0，－）到l的最大距离为点（0，－）与点（－1，0）的距离d＝＝2， 即点（0，－）到l的距离的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $