中档题保分练7-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

中档题保分练7 （时间：50分钟　满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数f（x）＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ（ω＞0，0＜φ＜），f（x1）＝0，f（x2）＝1，若｜x1－x2｜的最小值为，且f（）＝，则f（x）的单调递增区间为（　　） A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：B　因为f（x）＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin（ωx＋φ），又f（x1）＝0，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，所以＝，即T＝2π，又ω＞0，所以ω＝＝1，所以f（x）＝sin（x＋φ），又f（）＝，所以sin（＋φ）＝，即cos φ＝，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x＋），令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.故选B. 2.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 解析：D　设5个数据分别是x1，x2，x3，x4，x5，则由方差为4得（x1－10）2＋（x2－10）2＋（x3－10）2＋（x4－10）2＋（x5－10）2＝20，显然最大值不可能大于14，假如x5≥15，则（x5－10）2≥25，不合题意；若最大值为14，不妨设x5＝14，（x5－10）2＝16，则（x1－10）2，（x2－10）2，（x3－10）2，（x4－10）2只能三个0，一个4，或四个1，不合题意；若最大值为13，不妨设x5＝13，此时如x1＝7，x2＝9，x3＝10，x4＝11，满足题意.故选D. 3.已知a＝，b＝，c＝，则（参考数据：ln 2≈0.7）（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞a＞b 解析：B　因为a＝＝＝，c＝，考虑构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，因为ln 2≈0.7，所以e0.7≈2，即＞（e0.7）2≈4，所以3＜4＜，所以＞＞，即＞＞，又＜，所以＞＞，故b＞a＞c，故选B. 4.如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则球O被平面BCD截得的截面面积为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D.π 解析：B　在棱长为2的正四面体ABCD中，连接AN，DN，过O作OE⊥DN于E，如图，由M，N分别为棱AD，BC的中点，得AN⊥BC，DN⊥BC，而AN∩DN＝N，AN，DN⊂平面AND，则BC⊥平面AND，又BC⊂平面BCD，于是平面AND⊥平面BCD，而平面AND∩平面BCD＝DN，因此OE⊥平面BCD，而AN＝DN＝，DM＝1，MN⊥AD，则MN＝，球O半径ON＝MN＝，sin∠DNM＝＝，从而OE＝ON·sin∠DNM＝×＝，球O被平面BCD截得的截面圆半径r＝＝，所以球O被平面BCD截得的截面面积S＝πr2＝. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 5.已知定义在R上的偶函数满足f（x＋2）＝f（x－2），且当x∈[0，2]时，f（x）单调递减，则下列四个命题中正确的是（　　） A.T＝4 B.直线x＝－2为函数y＝f（x）图象的一条对称轴 C.函数f（x）在区间[－2，9]上存在3个零点 D.若f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，则x1＋x2＝－2 解析：AB　对于A，因为f（x＋2）＝f（x－2），所以周期T＝4，故A正确；对于B，因为f（x）为偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x－2），又f（x＋2）＝f（x－2），所以f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称，故B正确；对于C，若当x∈[0，2]时，f（x）无零点，则根据周期性和对称性可推出f（x）无零点，故C错误；对于D，因为f（x）的图象关于直线x＝－2对称，f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，所以x1＋x2＝2×（－2）＝－4，故D错误. 6.已知双曲线C：－＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线具有如下光学性质：从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为x－y＝0，则下列结论正确的有（　　） A.双曲线C的方程为－＝1 B.若m⊥n，则｜PF1｜·｜PF2｜＝12 C.若射线n所在直线的斜率为k，则k∈（－，） D.当n过点M（8，5）时，光由F2→P→M所经过的路程为10 解析：AC　对于A ，由题意可知a＝2，因为双曲线C的一条渐近线的方程为x－y＝0，所以＝，即b＝2，所以双曲线的方程为－＝1，故A正确；对于B，由a＝2，b＝2，得c2＝22＋（2）2＝16，解得c＝4，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，由勾股定理及双曲线的定义知，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2，即2｜PF1｜·｜PF2｜＝4（c2－a2）＝4b2＝48，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝24，故B错误；对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质可得射线n所在直线的斜率范围为（－，），故C正确；对于D，由题意可知，F1（－4，0），当n过点M（8，5）时，由双曲线定义可得，光由F2→P→M所经过的路程为｜F2P｜＋｜PM｜＝｜F1P｜＋｜PM｜－2a＝｜MF1｜－4＝－4＝9，故D错误.故选A、C. 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 7.斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0＝1，a1＝1，an＝an－1＋an－2（n≥2，n∈N*），A＝{a1，a2，…，a2 024}，B⊆A且B≠⌀中，则B中所有元素之和为奇数的概率为. 解析：由斐波那契数列规律可知，集合A＝{a1，a2，…，a2 024}中的元素有674个偶数，1 350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成E∪F，显然集合E共有2674个，集合F共有＋＋＋…＋＝21 349个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有2674×21 349＝22 023个，又集合A的非空子集共有22 024－1个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为. 8.已知圆C是以点M（2，2）和点N（6，－2）为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A（2，0），点B（1，1），则2｜PA｜－｜PB｜的最大值为. 解析：由题设，知C（4，0）且｜MN｜＝＝8，即圆C的半径为4，∴圆C：（x－4）2＋y2＝16，如图，坐标系中D（－4，0），则｜OD｜＝2｜AC｜＝｜CP｜＝｜OC｜＝4，∴＝＝，即△APC∽△PCD，故＝，∴2｜PA｜－｜PB｜＝｜PD｜－｜PB｜，在△PBD中｜PD｜－｜PB｜＜｜BD｜，∴要使｜PD｜－｜PB｜最大，P，B，D共线且最大值为｜BD｜的长度.∴｜BD｜＝＝. 四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB＝AD，∠BAD＝60°. （1）记圆柱的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求； （2）设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角F-CD-P的余弦值. 解：（1）由题设得AC⊥BD，BD＝2EC，AE＝BD＝3EC，AC＝4EC，于是 V1＝π·（AC）2·CP＝4π·EC2·CP， V2＝×AC·BD·CP＝EC2·CP， 所以＝π. （2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，｜｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由（1）和题设得＝＝， 所以＝（1，0，3），＝（1，，0），＝（0，0，4）. 设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则即 可取n＝（－3，，1）. 设平面PCD的法向量为m＝（p，q，r），则即 可取m＝（－3，，0）. 所以cos＜n，m＞＝＝. 因此二面角F-CD-P的余弦值为. 10.（本小题满分15分）已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝. （1）求证：数列－1为等比数列； （2）设数列{bn}满足bn＝求最小的实数m，使得b1＋b2＋…＋b2k＜m对一切正整数k均成立. 解：（1）证明：因为an＋1＝， 所以＝＝. 又－1＝≠0，所以数列－1是一个首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，当n为偶数时，bn＝－1＝， 当n为奇数时， bn＝＋－2＝－， 故b1＋b2＋…＋b2k ＝（b1＋b3＋…＋b2k－1）＋（b2＋b4＋…＋b2k） ＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋＋＋…＋ ＝2－＋ ＝－－， 当k∈N*时，＋＞0， 则－－＜， 所以m的最小值为. 11.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ex＋cos x，g（x）＝ax＋2. （1）求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）记函数h（x）＝f（x）－g（x），x∈[0，＋∞）. ①当a＝2时，求证：h（x）≥0不恒成立； ②若h（x）≥0恒成立，求实数a的最大值. 解：（1）f（x）＝ex＋cos x，f'（x）＝ex－sin x， 故f（0）＝2，f'（0）＝1，所以f（x）在x＝0处的切线方程为：y－2＝1·（x－0）， 即x－y＋2＝0. （2）①证明：当a＝2，h（x）＝ex＋cos x－2x－2，x∈[0，＋∞）. h'（x）＝ex－sin x－2，x∈[0，＋∞）， 令m（x）＝ex－sin x－2，m'（x）＝ex－cos x≥0， 所以m（x）在[0，＋∞）上单调递增，又因为m（x）min＝m（0）＝e0－sin 0－2＝－1， 所以存在x0∈[0，＋∞），使得m（x）＝0， 则当x∈[0，x0），m（x）＜0，则h'（x）＜0， 当x∈（x0，＋∞），m（x）＞0，则h'（x）＞0， 所以h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增， 而h（x）min＝h（x0）＜h（0）＝e0＋cos 0－2＝0， 所以h（x）≥0不恒成立. ②因为h（0）＝0，所以一定有h'（0）＝1－a≥0，即a≤1（必要性）； 下证充分性， 当a≤1时，h（x）＝ex＋cos x－ax－2≥ex＋cos x－x－2 令u（x）＝ex＋cos x－x－2，u'（x）＝ex－sin x－1， 令k（x）＝ex－sin x－1，k'（x）＝ex－cos x≥0在[0，＋∞）上恒成立， 所以k（x）在[0，＋∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝e0－sin 0－1＝0， 所以u'（x）≥0，故u（x）在[0，＋∞）上单调递增，u（x）≥u（0）＝0， 故h（x）≥0，满足充分性. 综上，a≤1. 所以实数a的最大值为1. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $