中档题保分练6-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件覆盖解析几何、三角函数、立体几何、概率统计、数列、导数等核心模块，依据高考评价体系梳理直线与圆的位置关系、解三角形求最值等高频考点，通过真题案例明确“充分不必要条件判断”“均值不等式应用”等常考题型占比，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“母题解析+素养提升”，如第1题用距离公式推导位置关系充要条件培养逻辑推理，第8题结合抛物线切线与圆的弦长公式强化数学建模。设“易错警示”如数列错位相减项数对齐问题，助力学生掌握得分技巧，教师可据此设计分层训练，提升复习效率与高考冲刺效果。

中档题保分练6 （时间：50分钟　满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5有公共点的一个充 分不必要条件是（　　） A. b∈[－ ， ] B. b∈[－ ，＋∞） C. b∈（－ ， ） D. b∈（－ ，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 解析：　C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5的圆心C（－1，1），半径r ＝ .圆心到直线x＋y＋b＝0的距离d＝ ＝ ，因为直 线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5有公共点，所以 d≤r，即 ≤ ，解得－ ≤b≤ .于是，区间[－ ， ]的任何一个真子集是直线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y －1）2＝5有公共点的一个充分不必要条件.则四个选项只有C选项是区 间[－ ， ]的真子集，所以C正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B＝c －a.当 取最小值时，则A＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　因为2a cos B＝c－a，结合余弦定理得，2a· ＝c －a，整理得c＝ －a，所以 ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝ 4 ，当且仅当 ＝ ，即b＝ a时，等号成立，此时c＝ －a＝ a，此时 cos A＝ ＝ ＝ ，又因为A∈（0，π）， 所以A＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，在函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的部分图象中，若 ＝ ，则 点A的纵坐标为（　　） A. B. C. － D. 2－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　由题意令ωx＋φ＝ ，则x＝ － ，所以T（ － ， 0），设A（x1，y1），B（x2，y2），因为 ＝ ，所以 解得所以2y1＝y2＝f（x2）＝f （2x1－ ＋ ）＝ sin （2ωx1－ ＋2φ）＝ cos （2ωx1＋2φ）＝1－2 sin 2（ωx1＋φ）＝1－2 ，所以2 ＋2y1－1＝0，又由图可知y1＞0， 所以y1＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且△ADC1所在的平面将三 棱柱ABC-A1B1C1分割成体积相等的两部分，点M在棱A1C1上，且A1M ＝2MC1，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则 ＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　如图，连接AB1，则 ＝ ，又△ADC1所在的平面将三棱柱ABC- A1B1C1分割成体积相等的两部分，所以 ＝ － ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，设C1到平面ABB1A1的距离为d，则 ＝ ·d， ＝ ·d，所以 ＝ ＝ ，所以D为BB1的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在AA1上取点E，使得A1E＝2AE，连接EN，EM，因为A1M＝2MC1，所以EM∥AC1，又EM⊄平面ADC1，AC1⊂平面ADC1，所以EM∥平面ADC1，又MN∥平面ADC1，EM∩MN＝M，EM，MN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面ADC1，又平面EMN∩平面ABB1A1＝EN，平面ADC1∩平面ABB1A1＝AD，所以AD∥EN，又AE∥ND，所以四边形ADNE为平 行四边形，所以ND＝AE＝ AA1＝ BB1，所以B1N＝B1D－ND＝ BB1－ BB1＝ BB1，所以 ＝6.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分） 5. 已知函数f（x）＝ ＋a（a∈R），则（　　） A. f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B. f（x）的值域为R C. 当a＝1时，f（x）为奇函数 D. 当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 解析：　对于函数f（x）＝ ＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；因为2x＞0，当2x－1＞0时 ＞0，所以 ＋a＞a，当－1＜2x－1＜0时 ＜－2，所以 ＋a＜－2＋a，综上可得f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时f（x）＝ ＋1＝ ，则f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）＝ ＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时f（x）＝ ＋2＝ ＋1，则f（－x）＋f（x）＝ ＋1＋ ＋1＝2，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 已知对任意平面向量 ＝（x，y），把 绕其起点沿逆时针方向旋 转θ得到向量 ＝（x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ），叫做把 点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点P. 已知平面内点A（2，1）， 点B（2＋t，1－t），｜ ｜＝2 ， · ＞0，点B绕点A沿逆 时针方向旋转 得到点P，则下列结论正确的是（　　） A. ｜ ｜＝2 B. P的坐标为（3＋ ， ） C. B的坐标为（4，－1） D. 在 方向上的投影向量为（－1，－1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　C选项，因为｜ ｜＝2 ，所以（2＋t－2）2＋（1－t －1）2＝8，解得t＝±2，因为 · ＞0，所以（t，－t）·（2，1） ＝2t－t＝t＞0，故t＝2，所以B（4，－1），C正确；B选项， ＝ （4－2，－1－1）＝（2，－2），将点B（4，－1）绕点A逆时针旋转 得到点P，则 ＝（2 cos ＋2 sin ，2 sin －2 cos ）＝（1＋ ， －1），设P（m，n），则 ＝（m－2，n－1）＝（1＋ ， －1），所以m－2＝1＋ ，n－1＝ －1，解得m＝3＋ ，n＝ ，则P的坐标为（3＋ ， ），B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A选项， ＝（3＋ ， ）－（4，－1）＝（ －1， ＋1）， 故｜ ｜＝ ＝2 ，A正确；D选项， 在 方向上的投影向量为 · ＝ · ＝（－1，1），D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 7. 已知（1＋2 023x）100＋（2 023－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak ＜0时，k的最大值为 ⁠. 解析：xk的系数为ak＝ 2 023k＋ 2 023100－k·（－1）k＝ 2 023k[1＋2 023100－2k（－1）k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak＜0， 则k必为奇数，且2 023100－2k＞1，∴100－2k＞0，即k＜50，∴k的最 大值为49. 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 过直线x－y－2＝0上一动点P作抛物线x2＝2y的两条切线，切点分别 为M，N，则直线MN被圆x2＋（y－4）2＝9截得的最短弦长是 ⁠. 解析：设M（x1， ），N（x2， ），P（x0，y0）， 因为y＝ x2，所以y'＝x，所以直线PM的方程为y－ ＝ x1（x－x1），即y＝x1x－ ，直线PN的方程为y－ ＝x2（x－x2），即y＝x2x－ ，联立解得所以2x0＝x1＋x2，2y0＝x1x2. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为直线MN斜率不存在不符题意，所以设MN所在直线为y＝kx＋b，联立得x2－2kx－2b＝0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b，即x0＝k，y0＝－b，代入x0－y0－2＝0，得b＝2－k，所以y＝kx＋b＝kx＋2－k，所以y－2＝k（x－1），所以直线MN恒过定点（1，2），设A（1，2），x2＋（y－4）2＝9圆心为B（0，4），则｜AB｜＝ ＝ ，当MN⊥AB时，弦长最短，弦长为2 ＝4，所以直线MN被圆x2＋（y－4）2＝9截得的最短弦长是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 9. （本小题满分15分）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了 3 000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布 直方图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：运动时间在[40，50）的人数为3 000×0.02×10＝600.运动时间在[80，90]的人数为3 000×0.01×10＝300.按照分层随机抽样方法共抽取9人，则在区间[40，50）内抽取的人数为6，在区间 [80，90]内抽取的人数为3. （1）按照分层随机抽样方法从[40，50）和[80，90]中随机抽取了9名 学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记 推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝，P（X＝3）＝ ＝ ， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ， σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差 s，并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从 本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在 （43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）的值.（精确到 0.001） 参考数据：当t～N（μ，σ2）时，P（μ－σ＜t≤μ＋σ） ≈0.682 7，P（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜ t≤μ＋3σ）≈0.997 3.0.818 69≈0.165 1，0.181 43≈0.006 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：μ＝ ＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝s≈14.6.∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ. ∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈ ＝0.818 6， ∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.818 6＝0.181 4， ∴Y～B（12，0.181 4）. ∴P（Y＝3）＝ ×0.181 43×0.818 69≈220×0.006 0×0.165 1≈0.218. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. （本小题满分15分）已知数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，an＋1＝ Sn－n＋3，n∈N*，a1＝2. （1）求{an}的通项公式； 解：当n＝1时，a2＝S1－1＋3＝a1＋2＝4， 由an＋1＝Sn－n＋3，得an＝Sn－1－n＋4（n≥2）， 两式相减得，an＋1－an＝an－1， 即有an＋1－1＝2（an－1）， 即数列{an－1}从第二项起为等比数列， 则an－1＝3·2n－2，n＞1，n∈N， 即有an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）设bn＝ （n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，求证： ≤Tn＜ （n∈N*）. 解：证明：an＋1＝Sn－n＋3，得Sn＝3·2n－1－2＋n，则bn ＝ ＝ ， 即前n项和为Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 两式相减可得， Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ · － ， 化简得Tn＝ － ·（ ）n－ ， 由于{bn}各项大于0，得Tn≥T1＝ ， 由不等式的性质可得Tn＜ . 故 ≤Tn＜ （n∈N*）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ x2－aln x，a∈R，f'（x） 是f（x）的导函数，g（x）＝xex. （1）求f（x）的单调区间； 解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ ， 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间是 （0，＋∞），无单调递减区间； 当a＞0时，令f'（x）＞0得x＞ ；令f'（x）＜0得0＜x＜ ； 此时f（x）的单调递减区间为（0， ）；单调递增区间为 （ ，＋∞）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，＋∞），无单 调递减区间； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区 间为（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若f（x）有唯一零点. ①求实数a的取值范围； ②当a＞0时，证明：g（x）＞f'（x）＋4. 解：①当a＝0时，f（x）没有零点，不符合题意； 当a＜0时，由（1）知函数f（x）在（0，＋∞）单调递增， 因为f（x）＝ x2－aln x＜ x2－a（x－1）， 取m＝a＋ ＞0，则f（m）＜ （a＋ ）2－a （a＋ －1）＝0， 又f（1）＝ ＞0，故存在唯一x0∈（m，1），使得f（x0）＝ 0，符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当a＞0时，由（1）可知，f（x）有唯一零点只需f（ ）＝0， 即 － ln a＝0，解得a＝e， 综上，a的取值范围为（－∞，0）∪{e}. ②证明：由①得出a＝e， 令h（x）＝xex－2e（x－ ）（x＞0），则h'（x）＝（x＋1） ex－2e， 令φ（x）＝（x＋1）ex－2e，则φ'（x）＝（x＋2）ex＞0恒成立， 所以h'（x）单调递增，又h'（1）＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在区间（0，1）上单调递减， 当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，则h（x）在区间（1，＋∞）上单调 递增； 故h（x）≥h（1）＝0，所以g（x）＝xex≥2e（x－ ）， 要证g（x）＞f'（x）＋4，只需证明2e（x－ ）＞f'（x）＋4＝x－ ＋4， 即证（2e－1）x2－（e＋4）x＋e＞0， 由Δ＝12e＋16－7e2＝12e－ e2＋16－ e2＝e（12－ e）＋16 － e2＜e（12－ ×2.7）＋16－ ×7.2＜0， 所以（2e－1）x2－（e＋4）x＋e＞0成立，故不等式得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $