举措二 高考必记知识要点-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件系统覆盖集合、复数、函数与导数等12大高考核心模块，依据高考评价体系梳理基础公式、命题规律，通过考点权重分析明确三角函数性质、数列求和等高频考点，归纳分式不等式解法、立体几何空间角计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“公式速记+真题溯源+技巧提炼”策略，如解析几何中抛物线焦点弦结论应用、数列性质“等和性”解题，培养数学思维与运算能力。设“易错点警示”专栏，通过2023年全国卷导数应用题实例解析“构造函数法”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此优化复习方案，提升冲刺效率。

举措二 高考必记知识要点 集合 （1）集合间的关系与运算：A∪B＝A⇔B A；A∩B＝ B⇔B A； （2）元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有 ⁠ 个子集，有 个真子集，有 ⁠个非空真 子集. ⊆　 ⊆　 2n　 （2n－1）　 （2n－2）　 复数 （1）复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b， c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0（a，b∈R）； （2）复数的几个常见结论 ①（1±i）2＝±2i； ② ＝i， ＝－i； ③i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ ，i4n＋ i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ （n∈N）. 1　 i　 －1　 －i　 0　 常用逻辑用语 （1）全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称 量词命题，它们之间的关系如下表所示： 命题 命题的否定 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，􀱑p（x） ∃x∈M，p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） （2）充分条件与必要条件的两种判定方法 ①定义法：若p⇒q，则p是q的 条件（或q是p的 ⁠ 条件）；若p⇒q，且q p，则p是q的 条件（或q 是p的 条件）； ②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q： x∈B，若A⊆B，则p是q的 条件（q是p的 ⁠条 件）；若A⫋B，则p是q的 条件（q是p的 ⁠ 条件）；若A＝B，则p是q的 条件. 充分　 必要　 充分不必要　 必要不充分　 充分　 必要　 充分不必要　 必要不 充分　 充要　 不等式 （1）分式不等式 ＞0（＜0）⇔f（x）g（x） 0（＜0）； ≥0（≤0）⇔ ＞　 ①  　≥ ≥　 （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号； ②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab （ ）2 ⁠ ，当且仅当a＝b时取等号； ③ ＋ ≥ （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号， ＋ ≤ ⁠ （ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号. ≥ ≥　 ≤　 ≤　 2　 －2　 （2）基本不等式 平面向量 （1）平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角. 名称 几何表示 坐标表示 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ ⁠ 数量积 a·b＝｜a｜｜ b｜· cos θ a·b＝ ⁠ 夹角的余弦值 cos θ＝ cos θ＝ ⁠ 　 x1x2＋y1y2　 名称 几何表示 坐标表示 a⊥b的充 要条件 a·b＝0 ＝0 ｜a·b｜ 与｜a｜｜ b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜ b｜（当且仅当a与b 共线时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜ ≤ · （当且仅当 x1y2＝x2y1时等号成立） x1x2＋y1y2　 ①O为△ABC的外心⇔｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝ ； ②O为△ABC的重心⇔ ＋ ＋ ＝0； ③O为△ABC的垂心⇔ · ＝ · ＝ · ； ④O为△ABC的内心⇔a ＋b ＋c ＝0. （2）三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，则 三角函数 （1）同角三角函数的基本关系式 商的关系 ＝tan α 平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1 常见变形 sin 2α＝1－ cos 2α， cos 2α＝1－ sin 2α， sin α＝ ± ， cos α＝± ， sin α＝ cos αtan α， cos α＝ ， sin 2α＝ ＝ ，1＋ tan2α＝ （2）三角恒等变换 ① cos （α＋β）＝ ⁠； cos （α－β）＝ ⁠； sin （α＋β）＝ ⁠； sin （α－β）＝ ⁠； tan（α＋β）＝ ⁠； tan（α－β）＝ ⁠. cos α cos β－ sin α sin β　 cos α cos β＋ sin α sin β　 sin α cos β＋ cos α sin β　 sin α cos β－ cos α sin β　 　 　 ②二倍角公式： sin 2α＝ ， cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α，tan 2α＝ ⁠； ③降幂公式： sin 2α＝ ， cos 2α＝ . 2 sin α cos α　 　 （3）三角函数的图象和性质 项目 正弦函数 y＝ sin x 余弦函数 y＝ cos x 正切函数 y＝tan x 单 调 性 增区 间 ［－ ＋2kπ， ＋ 2kπ］（k∈Z） [－π＋2kπ，2kπ] （k∈Z） （ － ＋kπ， ＋ kπ）（k∈Z） 减区 间 ［ ＋2kπ， ＋ 2kπ］（k∈Z） [2kπ，π＋2kπ] （k∈Z） 项目 正弦函数 y＝ sin x 余弦函数 y＝ cos x 正切函数 y＝tan x 对 称 性 对称 轴 x＝ ⁠ （k∈Z） x＝ ⁠ （k∈Z） 对称 中心 ⁠ （k∈Z） ⁠（k∈Z） ⁠ （k∈Z） ＋kπ　 kπ　 （kπ，0） （ ＋kπ，0） （ ，0）　 （4）三角函数的图象变换 由函数y＝ sin x的图象变换得到y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞ 0）的图象的两种方法： （5）正、余弦定理及其变形 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的 外接圆半径. 定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或 两边及其夹角） 内容 ＝ ＝ ＝2R； 变式： ＝ ＝ a2＝b2＋c2－2bc cos A， b2＝ ⁠ ⁠， c2＝ ⁠ ⁠ a2＋c2－2ac cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或 两边及其夹角） 常见 变形 ①边化角：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②角化边： sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ； ③求比值：a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C 求角或角化边： cos A＝ ， cos B ⁠， cos C＝ ⁠ 　 　 数列 （1）等差、等比数列的通项公式与前n项和公式 项目 等差数列 等比数列 通项公式 an＝ ⁠ an＝ （q≠0） 前n项和 公式 Sn＝ ＝ ⁠ ⁠ ①q≠1，Sn＝ ＝ ⁠； ②q＝1，Sn＝ ⁠ a1＋（n－1）d　 a1qn－1　 na1＋ d　 　 na1　 （2）等差数列的性质 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. ①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ⁠ ⁠； ②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 ⁠的等差数 列； ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差 为 ，m∈N*）； ④S2n－1＝（2n－1）an； ⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－ S偶＝ ⁠. ap＋aq　 md　 m2d　 　 　 （3）等比数列的性质 已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn. ①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ ⁠； ②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n ＝ ，则aman＝ ⁠； ③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 ⁠的等比数 列； ④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－ Sm，S3m－S2m，…是公比为 的等比数列； apaq　 2p　 　 qm　 qm　 ⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm， ， ，…是公比为 （qm）m的等比数列； ⑥当项数为2n时， ＝ ；当项数为2n＋1时， ＝ ⁠. q　 q 立体几何 （1）空间几何体的表面积与体积 几何体 侧面积 表面积 体积 圆柱 S侧＝ ⁠ ⁠ S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝ ⁠ 圆锥 S侧＝ ⁠ S表＝πr（r＋l） V＝ ＝ πr2h 圆台 S侧＝ ⁠ ⁠ S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l） V＝ ⁠ ＝ π（r2＋r'2＋rr'）h 2πrl πr2h　 πrl　 S底h　 π（r＋ r'）l （S上＋S下＋　 ）h　 几何体 侧面积 表面积 体积 直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S 侧＋ S上＋S 下（棱 锥的S上 ＝0） V＝S底h 正棱锥 S侧＝ Ch'（h'为斜高） V＝ S底h 正棱台 S侧＝ （C＋C'）h'（C，C'分别是上、下底面周长，h'为斜高） V＝ ⁠ ⁠ 球 S＝ ⁠⁠ V＝ ⁠ （S上＋S下 ＋ ）h　 4πR2　 πR3　 （2）利用空间向量求角和距离 异面直线a， b所成的角θ cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝ ，其中0° ＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量 直线AB与平 面α所成的角 θ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ，其 中0°≤θ≤90°，m是平面α的法向量 　 　 二面角α-l- β的平面角θ ｜ cos θ｜＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ，其 中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量 点B到平面α 的距离d d＝ ，其中n为平面α的法向量，A∈α，AB是 平面α的一条斜线 　 （3）平行、垂直关系的转化 ②线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝ kc2； （4）用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分 别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有 ①线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔ ＝0； a1a2＋b1b2＋c1c2　 ③面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2 ＝λc3； ④面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔ ＝0. a2a3＋b2b3＋c2c3　 解析几何 （1）直线的两种位置关系 ①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时： （ⅰ）两直线平行：l1∥l2⇔ ⁠； （ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2⇔ ⁠. 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线 也垂直，此种情形易忽略. k1＝k2　 k1k2＝－1　 ②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0. （ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－B1A2 0且A1C2－A2C1 0； （ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 0. 提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来 更方便. ＝　 ≠　 ＝　 ②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0）， 直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）； ③两平行线间的距离d＝ （其中两平行线方程分别为l1： Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）. 　 （2）三种距离公式 ①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝ ； 提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系 数应对应相等. （3）圆的方程的两种形式 ①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2； ②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）； （4）圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ｜PF1｜＋｜ PF2｜ ＝ ⁠ （2a ⁠ ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－｜ PF2｜｜＝ ⁠ （0＜2a ⁠｜ F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点 F不在直线l上， PM⊥l交l于点M 2a　 ＞　 2a　 ＜　 名称 椭圆 双曲线 抛物线 标准 方程 ＋ ＝1 （a＞b＞0） － ＝1（a＞0， b＞0） y2＝2px（p＞0） 图形 名称 椭圆 双曲线 抛物线 几 何 性 质 范围 ｜x｜≤ ，｜y｜ ≤ ⁠ ｜x｜≥ ⁠ x≥0 顶点 （±a，0），（0，±b） （±a，0） （0，0） 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 （±c，0） （ ，0） a b　 a　 名称 椭圆 双曲线 抛物线 几 何 性 质 轴 长轴长 ⁠， 短轴长 ⁠ 实轴长 ，虚轴 长 ⁠ 离心率 e＝ ＝ （0＜e＜1） e＝ ＝ （e ＞1） e＝1 准线 x＝－ 渐近线 y＝ ⁠ 2a 2b 2a 2b　 ± x　 （5）设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B （x2，y2），则｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝ · 或｜AB｜＝ ｜y1－ y2｜＝ · . （6）圆锥曲线中的二级结论 圆锥 曲线 的焦 点三 角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0） （y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2 （焦点三角形）中，若∠F1PF2＝θ，则 ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a； ②4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜· cos θ； ③ ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜· sin θ＝b2tan . 圆锥曲 线的焦 点三角 形 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）上不同 于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫 作双曲线的焦点三角形.记∠F1PF2＝θ，则 ＝ 椭圆、 双曲线 第三定 义的推 广 椭圆的第三定义的推广：若M，N是椭圆C： ＋ ＝1（a＞ b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的 一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN） 时，kPM·kPN＝e2－1＝－ ，e为椭圆C的离心率. 双曲线的第三定义的推广：若M，N是双曲线C： － ＝1 （a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异 于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为 kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝ ，e为双曲线C的离心率 双曲 线的 渐近 线 ①若渐近线的方程为y＝± x（a＞0，b＞0），即 ± ＝0，则 双曲线的方程可设为 － ＝λ（λ∈R，且λ≠0）； ②焦点到渐近线的距离总是b； ③双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝± x的斜率k＝ ± 与离心率e的关系为e＝ ＝ 抛物 线的 焦点 弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1） （y1＞0），B（x2，y2），α为直线AB的倾斜角，则有以下结论： ①焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ， ＋ ＝ ； ②弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ； ③S△OAB＝ （O为抛物线的顶点）； ④以弦AB为直径的圆与准线相切； ⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1， 则∠A1FB1＝90° 相交 弦所 在直 线斜 率与 弦中 点的 关系 ①已知直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）相 交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为 M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝ ＝－ · ； ②已知直线y＝kx＋m（k≠0）与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞ 0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中 点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝ ＝ · ； ③已知直线y＝kx＋m（k≠0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于 A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M （x0，y0），则直线AB的斜率k＝ ＝ 概率与统计 （1）排列数与组合数的性质 ① ＝n ；② ＝m ＋ ；③ ＝ ；④ ＝ ＋ . （2）二项式系数的3个性质 对称 性 当0≤k≤n（n∈N*，k∈N）时， 与 的关系是： ＝ 增减 性与 最大 值 二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大； 当n为偶数时，第 项的二项式系数最大，最大值 为 ⁠； 当n为奇数时，第 　 　项和第 　 　项的二项式系数最大， 最大值为 　 　（或 　 　） ＋1　 　 　 　 　 　 各二 项式 系数 的和 各二项式系数的和： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； 奇数项的二项式系数的和＝偶数项的二项式系数的和＝2n－1，即 ＋ ＋…＝ ＋ ＋…＝ ⁠ 2n　 2n－1　 （3）概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式： P（A）＝ ； ②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ ⁠ ⁠； ③对立事件的概率计算公式：P（ ）＝ ⁠； ④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ ⁠ ； P（A）＋P（B）　 1－P（A）　 P（A）P（B）　 ⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0； ⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ ，P （A）＞0； ⑦全概率公式：P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）（A1， A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P （Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B⊆Ω）. 　 P（A）P（B｜A）　 （4）期望与方差的性质 ①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若 X～B（n，p），则E（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点分布， 则E（X）＝ ⁠. ②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若X～ B（n，p），则D（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点 分布，则D（X）＝ ⁠. aE（X）＋b　 np　 p　 a2D（X）　 np（1－p）　 p（1－p）　 （5）二项分布与超几何分布 二项分布 超几何分布 定 义 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝ pk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p） 如果随机变量X的分布列为P（X ＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N， M∈N*，M≤N，n≤N，m＝ max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量X服从超几何分布 期 望 E（X）＝ ⁠ E（X）＝ ，其中p＝ ，表示N件产品的次品率 np　 np　 （6）用样本的数字特征估计总体的数字特征 给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图 众 数 在一组数据中，出现 ⁠ 最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 ⁠的横坐标即众数 中 位 数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 ⁠ 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 ⁠ ⁠相等 平 均 数 ＝ （x1＋x2＋…＋xn）＝ xi，其中xi是第i个样本数据，n是样本容量 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和 次数　 中点 最中间 面积 给出一组数据x1，x2， x3，…，xn 给出频率分布直方图 方差 s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]＝ （xi－ ）2 记频率分布直方图中有m个区间分 组，各区间中点的横坐标分别为y1， y2，…，ym，各区间对应的频率分别 为p1，p2，…，pm， 为样本数据的 平均数， 则s2＝ （yi－ ）2pi 标准 差 s＝ s＝ （7）样本相关系数r具有如下性质： ①｜r｜≤1； ②当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度 ⁠； ③当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度 ⁠. 越强　 越弱　 函数与导数 （1）函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那 么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0⇔ ＞0⇔f（x） 在[a，b]上 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜ 0⇔ ＜0⇔f（x）在[a，b]上 ⁠； 单调递增　 单调递减　 ②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f （x）＋g（x）是 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函 数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 函数；根 据 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性. 减　 增　 同增异减　 （2）函数奇偶性的常用结论 ①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调 性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性； ②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个 偶函数h（x）之和，其中g（x）＝ ，h（x）＝ . （3）函数周期性的常用结论 ①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx） （λ≠0）的最小正周期为 ； ②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x）） 也是周期函数； ③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中 a≠0，b≠0，a≠b； ④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0； ⑤若f（x＋a）＝± （c为常数），则f（x）的周期T＝ 2a，其中a≠0，c≠0； ⑥若f（x＋a）＝ ，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0； 若f（x＋a）＝ ，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0. （4）函数图象的对称性 ①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y ＝x对称； ②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称， 函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称； ③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a－x）＝f（a＋ x）⇔f（2a－x）＝f（x）； ④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称⇔f（a－x）＝－f （a＋x）⇔f（2a－x）＝－f（x）； ⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称⇔f（a＋mx）＝f （b－mx）（m≠0）⇔f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）. （5）指数函数与对数函数的基本性质 ①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 ；y＝logax （a＞0，且a≠1）恒过点 ⁠； ②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 ，y＝logax在 （0，＋∞）上 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上 ⁠ ，y＝logax在（0，＋∞）上 ⁠； （0，1）　 （1，0）　 单调递增　 单调递增　 单调递 减　 单调递减　 （6）常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型 抽象函数的性质 特殊函数模型 ①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， ②f（x－y）＝f（x）－f（y） 正比例函数f（x）＝kx（k≠0） ①f（x）f（y）＝f（x＋y）（x，y∈R）， ② ＝f（x－y）（x，y∈R，f（y）≠0） 指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1） ①f（xy）＝f（x）＋f（y）（x＞0，y＞0）， ②f（ ）＝f（x）－f（y）（x＞0，y＞0） 对数函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1） 抽象函数的性质 特殊函数模型 ①f（xy）＝f（x）f（y）， ②f（ ）＝ （y≠0，f（y）≠0） 幂函数f（x）＝xn f（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y） 三角函数f（x）＝ sin x，g （x）＝ cos x f（x＋y）＝ 正切函数f（x）＝tan x f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 二次函数f（x）＝ax2＋bx ＋c（a≠0） （7）5组基本初等函数的导数公式 ① c'＝0（c为常数） ② （xα）'＝ （α∈R，且α≠0），高频使用：（ ）'＝（x －1）'＝ ⁠ ③ （ sin x）'＝ ，（ cos x）'＝ ⁠ ④ （logax）'＝ 　 　（x＞0，a＞0且a≠1），（ln x）'＝ 　 　（x ＞0） ⑤ （ax）'＝ （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex αxα－1　 － 　 cos x　 － sin x　 　 　 axln a　 $