专题6 培优点1 体育比赛与闯关-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计中的体育比赛与闯关模型，覆盖2n-1局n胜制、连胜制、比分差距制等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确分布列、数学期望、条件概率等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与分类突破策略，如结合2024聊城二模三局两胜制条件概率题，运用“最后一局必胜”原则解析，培养学生数学思维与模型意识。通过母题变式训练，帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可据此精准教学，提升学生应试得分率，助力高考冲刺。

培优点1　体育比赛与闯关 PART ONE 　　此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的2n－1局n胜制、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择、填空题也有解答题，难度中等偏上. 2n－1局n胜制 【例1】　为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活 动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙 两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项 目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项 目A中甲班每一局获胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响. （1）求甲班在项目A中获胜的概率； 解：记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P（A）＝ × × ＋ ×（ ）2× × ＋ ×（ ）2×（ ）2× ＝ ， 所以甲班在项目A中获胜的概率为 . （2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望. 解：记事件B＝“甲班在项目B中获胜”， 则P（B）＝（ ）3＋ ×（ ）4＋ ×（ ）5＝ . X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）＝ × ＝ ， P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ， P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝ . X 0 1 2 P ​ ​ ​ 故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .所以甲班获胜的项目个数 的数学期望为 . 所以X的分布列为 1. 一旦某方获得n次胜利即终止比赛，若比赛提前结束，则一定在最后一 次比赛中某方达到n胜，如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛等. 2. 看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P（甲胜）＝ pn（1－p）n－1＋ pn＋1（1－p）n－2＋…＋ p2n－1. 感悟提升 　（2024·聊城二模）甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的 概率为 ，乙获胜的概率为 ，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况 下，比赛进行了两局的概率为 ⁠. 解析：根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行两局为事件B，P（A） ＝ × ＋ × × × ＝ ，P（AB）＝ × × ＝ ，故P（B｜ A）＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 跟踪训练 连胜制 【例2】　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每 场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被 淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另 一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 . （1）求甲连胜四场的概率； 解：甲连胜四场的概率为 . （2）求需要进行第五场比赛的概率； 解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 ；乙连胜四场的概率为 ； 丙上场后连胜三场的概率为 . 所以需要进行第五场比赛的概率为1－ － － ＝ . （3）求丙最终获胜的概率. 解：丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的 胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜， 概率分别为 ， ， . 因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ . 　　连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结 束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有达到m场某方连胜. 感悟提升 　某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规 则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空； 第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局 比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则 此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为 ，且每 局比赛相互独立.则比赛进行四局结束的概率为 ⁠. ​ 跟踪训练 解析：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连 胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜，第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率 P1＝ × × × ＝ ，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2＝ × × × ＝ ，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ . 比分差距制 【例3】　为了贯彻党的二十大提出的基础教育发展方针，全面落实“五 育并举”的战略目标，某市举办2024年秋季高中生乒乓球比赛活动，本次 活动乒乓球单打按国际比赛规则，即首先由发球员发球2次，再由接发球 员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜 方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙 两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为 ，乙在 一次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛中，由乙同学先发球. （1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率； 解：甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需 甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ × （ ）2×（ ）2＋（ ）2× × ＝ . （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望. 解：设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ， P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ， P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝（ ）2× ＝ ， X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 所以随机变量X的分布列为 1. 规定某方比对方多m分即终止比赛. 2. 根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m. 3. 实例：如乒乓球和羽毛球的小局比赛. 感悟提升 （2024·江西重点中学协作体联考）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.为弘扬中华传统文 化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙 队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一 场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名 次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分.若每 场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一 场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（　　） A. B. C. D. √ 跟踪训练 解析：　三队中选一队与丙比赛，丙输， × ，例如是丙甲，若丙 与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场 比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况 下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有 一队得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（ 概率是（ ）2）时，丙得6分，其他3队分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是 （ ）2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能 赢，概率是 ；（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是（ ）2，乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意；（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是（ ）2，乙丁这场比赛只能平，概率是 .综上，概率为 × ×（ ）2×［ ×（ ）2× ＋（ ）2＋（ ）2× ］＝ ，D正确.故选D. 课时跟踪检测 1. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的 赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得 比赛的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　甲、乙打满4局比赛的胜负情况如图所示，由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 √ 2. 甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终 止.已知甲每局获胜的概率为 ，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2 局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝ （ 1－ ）×（ 1－ ）× × × ＝ ；②甲第1局胜，第2局负，后3 局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝ ×（ 1－ ）× × × ＝ .所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 3. （2024·黄冈二模）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙 两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的 对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当 两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、 乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1＋p2＝ ，每局之间相 互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E（X）＝16， 则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（　　） A. 27 B. 24 C. 32 D. 28 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　设每一轮训练过关的概率为p，则p＝ ＋ × ×p2×（1－p2）＋ × ×p1×（1－p1）＝－3 ＋2p1p2（p1＋ p2）＝－3 ＋2p1p2× ＝－3 ＋ p1p2.又0＜p1p2≤（ ） 2＝ ，当且仅当p1＝p2＝ 时等号成立.函数y＝－3x2＋ x的图象的开 口向下，对称轴为直线x＝ ，所以0＜－3 ＋ p1p2≤－3×（ ）2 ＋ × ＝ ，依题意，知X～B（n，p），则E（X）＝n（ － 3 ＋ p1p2）＝16，n＝ ≥ ＝27，所以至少需要27 轮.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. （多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每 局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 .若某人获胜的局数大于k，则此 人赢得比赛.下列说法正确的是（　　） A. k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 B. k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 C. 在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k D. 随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 × × ＝ ，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为 ·（ ）4 ＋ ·（ ）4＝ ，乙赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋ ·（ ）4＝ ，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛 中，甲获胜的局数的期望为2k× ＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛 中，甲赢得比赛的概率为 ·［1－ ·（ ）2k］，故随着k的增大，甲 赢得比赛的概率会越来越接近 ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时， 该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为 “主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ⁠. 0.18 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另 外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场 比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5 ×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. （2024·郑州第二次质量预测）有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛， 其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一 方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负 的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中 双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； 解：前3局比赛甲都获胜的概率为P＝ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望. 解：X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中，X＝0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P（X ＝0）＝ × ＝ ； X＝1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或者第1局乙 赢，且第2局乙输， 则P（X＝1）＝ × ＋ × ＝ ； X＝2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输， 则P（X＝2）＝ × × ＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 X＝3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢， 则P（X＝3）＝ × × ＝ . 综上，X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 故X的数学期望为E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 7. （2024·河南五市第一次联考）某档电视节目举行了关于迎奥运知识竞 赛活动，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答 题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一 方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在 同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为 .甲、乙两 人每道题答对的概率分别为 ， ，并且每道题两人答对与否相互独 立，假设准备的竞赛题足够多. （1）求第二题答完比赛结束的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 解：由条件，每次抢答题，甲得1分的概率为P甲＝ × ＋ × ＝ ， 每次抢答题乙得1分的概率为P乙＝1－P甲＝1－ ＝ ， 若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得2分或者乙得2分， 因此第二题答完比赛结束事件发生的概率P＝（ ）2＋（ ）2 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望E（X）. 解：根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数X的所有可能取 值为2，4，6，8，…，2n，…（n∈N*）， 记pn＝P（X＝2n）， 由（1）知，当X＝2时，p1＝P（X＝2）＝ ，且pn＋1＝ pn （n∈N*）， 则X的分布列可表示为： X 2 4 6 … 2n … P p1 p2 p3 … pn … 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴E（X）＝2p1＋4p2＋6p3＋8p4＋…＋2n·pn＋…＝ ＋4× p1＋6× p2＋8× p3＋…＋2n× pn－1＋…＝ ＋ [4p1 ＋6p2＋8p3＋…＋2n·pn－1＋（2n＋2）·pn＋…]＝ ＋ [（2p1＋4p2＋6p3＋…＋2n·pn＋…）＋2（p1＋p2＋p3＋…＋pn ＋…）]＝ ＋ [E（X）＋2]，解得E（X）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （2024·茂名第二次综合测试）在一场球赛中，甲、乙、丙、丁四人角 逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签 两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区” 的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰 出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜 者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠 军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概 率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独立. （1）若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁. ①求甲获得第四名的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望. 解：①记“甲获得第四名”为事件A， 则P（A）＝（1－0.6）2＝0.16. ②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X， 则X的所有可能取值为2，3，4. 连败两局：P（X＝2）＝（1－0.6）2＝0.16. X＝3可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， P（X＝3）＝0.62＋（1－0.6）×0.6×（1－0.6）＋0.6×（1－ 0.6）×（1－0.6）＝0.552， P（X＝4）＝（1－0.6）×0.6×0.6＋0.6×（1－0.6）×0.6＝ 0.288， 1 2 3 4 5 6 7 8 X 2 3 4 P 0.16 0.552 0.288 故数学期望E（X）＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128. 故X的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两 两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对 甲夺冠有利？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 解： “双败淘汰制”下，甲获胜的概率为p3＋p（1－p）p2 ＋（1－p）p3＝（3－2p）p3. 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2. 因为（3－2p）p3－p2＝p2（3p－2p2－1）＝p2（2p－1）（1－ p），且0＜p＜1， 所以p∈（ ，1）时，（3－2p）p3＞p2，“双败淘汰制”对甲夺 冠有利； p∈（ 0， ）时，（3－2p）p3＜p2，“单败淘汰制”对甲夺冠 有利； p＝ 时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 1 2 3 4 5 6 7 8 $