第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

·编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了立体几何的性质及运算等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线l与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是（ ） A. [0°,90°] B. (0°,90°) C. [0°,180°] D. (0°,180°) 【答案】：A 【解析】：直线与平面所成角的定义是“直线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）”。当直线与平面平行或在平面内时，射影为直线本身或一点，夹角为0°；当直线与平面垂直时，夹角为90°；其他情况为锐角，故取值范围是[0°,90°]，故选A。 2.下列说法中，能体现平面“无限延展”特征的是（ ） A. 平面内的点可以无限多 B. 经过平面内一点的直线，一定在平面内 C. 平面可以将空间分成两部分 D. 平面内的两条直线可以无限延长且不相交（平行直线） 【答案】：C 【解析】：平面的“无限延展”指平面没有边界，能向各个方向无限延伸。A选项，点的数量与延展无关；B选项，体现的是平面基本性质公理1；C选项，无限延展的平面才能将空间分成两部分（有限图形无法做到），体现延展特征；D选项，平行直线的定义与平面延展无关。故选C。 3.空间中，经过同一直线上的三点和直线外一点，最多可以确定的平面个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】：A 【解析】：设同一直线上的三点为A、B、C，直线外一点为D。由于A、B、C共线，直线l（A、B、C所在直线）与点D满足“过直线和直线外一点”的条件，根据平面基本性质公理2的推论1，有且只有一个平面经过直线l和点D。因此，A、B、C、D四点共面，最多确定1个平面，故选A。 4.在空间中，若直线a与直线b平行，直线b与直线c相交，则直线a与直线c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面 【答案】：D 【解析】：已知a∥b，b与c相交于点P。①若a、b、c共面，则a与c必相交（若a∥c，则b∥c，与b、c相交矛盾）；②若a、b、c不共面，则a与c不同在任何平面内，即异面。故直线a与c的位置关系是相交或异面，故选D。 5.下列命题中，正确的是（ ） A. 共面直线一定相交 B. 相交直线一定共面 C. 异面直线一定垂直 D. 垂直直线一定异面 【答案】：B 【解析】：A选项，共面直线包括平行和相交，不一定相交；B选项，相交直线的定义要求“在同一平面内”，故一定共面，正确；C选项，异面直线不一定垂直，如正方体中不垂直的面对角线；D选项，垂直直线可能共面（如正方形的邻边），不一定异面。故选B。 6.下列图形中，两条直线是异面直线的是（ ） A. 正方体的面对角线和体对角线 B. 正方体的两条体对角线 C. 正方体的一条棱和与它平行的面对角线 D. 正方体的一条棱和与它不平行的面对角线 【答案】：D 【解析】：A选项，正方体的面对角线和体对角线可能相交（如同一顶点出发的面对角线和体对角线）；B选项，正方体的两条体对角线相交于中心；C选项，棱与平行的面对角线是平行直线（共面）；D选项，棱与不平行的面对角线不同在任何平面内，既不平行也不相交，是异面直线，故选D。 7.已知两条异面直线a、b的公垂线段长度为3，则下列说法正确的是（ ） A. a、b上任意两点间的距离都大于3 B. a、b上任意两点间的距离都不小于3 C. a、b上任意两点间的距离都等于3 D. a、b上存在两点间的距离小于3 【答案】：B 【解析】：异面直线的公垂线段长度是两条异面直线间的最短距离，即a、b上任意两点间的距离都不小于公垂线段长度（3），当两点恰为工垂线段的端点时，距离等于3，其他情况大于3，故选B。 8.若直线l∥平面α，平面α∥平面β，则直线l与平面β的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 直线l在平面β内 D. 平行或直线l在平面β内 【答案】：D 【解析】：①若直线l在平面β外，因α∥β，l∥α，故l∥β（平行平面的传递性）；②若直线l在平面β内，此时l∥α（因α∥β，平面β内的直线与α平行），也满足条件。故直线l与β的位置关系是平行或在平面内，故选D。 9.下列命题中，是直线l⊥平面α的必要不充分条件的是（ ） A. 直线l与平面α内的所有直线垂直 B. 直线l与平面α内的两条相交直线垂直 C. 直线l与平面α内的任意一条直线都成90°角 D. 直线l与平面α内的一条直线垂直 【答案】：D 【解析】：直线l⊥平面α的充要条件是“l与α内所有直线垂直”（A、C是充要条件），B是充分必要条件（判定定理）。D选项：若l⊥α，则l与α内一条直线垂直（必要条件）；但l与α内一条直线垂直，无法推出l⊥α（不充分），故D是必要不充分条件，故选D。 10.直线l⊥平面α的充要条件是（ ） A. 直线l与平面α内的一条直线垂直 B. 直线l与平面α内的两条直线垂直 C. 直线l与平面α内的无数条直线垂直 D. 直线l与平面α内的两条相交直线垂直 【答案】：D 【解析】：直线与平面垂直的判定定理是“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直”，且反之（直线垂直平面则垂直平面内所有直线）也成立，故D是充要条件。A、B、C选项中，若直线垂直的是平面内平行的直线，无法判定直线与平面垂直，故选D。 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列关于平面特征的说法正确的有（ ） A. 平面是无限延展的 B. 平面没有厚度 C. 平面可以用平行四边形表示（通常画成锐角为45°、一组邻边比为1:2的平行四边形） D. 平面内的两条直线要么平行要么相交 【答案】：ABCD 【解析】：平面的基本特征是无限延展、没有厚度，A、B正确；平面的直观表示方法常用平行四边形，且通常画成锐角45°、邻边1:2的平行四边形，C正确；平面内的两条直线不重合时，位置关系只有平行或相交，D正确。故选ABCD。 2.下列命题中，运用平面基本性质公理2的有（ ） A. 过直线和直线外一点，有且只有一个平面 B. 过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 过两条平行直线，有且只有一个平面 D. 三角形一定在同一个平面内 【答案】：ABCD 【解析】：平面基本性质公理2是“过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面”，其推论包括：①过直线和直线外一点，有且只有一个平面（A）；②过两条相交直线，有且只有一个平面（B）；③过两条平行直线，有且只有一个平面（C）。三角形的三个顶点不共线，故三角形一定在同一平面内（D），也是公理2的应用。故选ABCD。 3.下列关于共面直线的说法正确的有（ ） A. 平行直线一定共面 B. 相交直线一定共面 C. 共面直线要么平行要么相交 D. 垂直于同一直线的两条共面直线一定平行 【答案】：ABC 【解析】：平行直线和相交直线的定义都要求“在同一平面内”，故A、B正确；共面直线的位置关系只有平行和相交（不重合时），C正确；D选项，垂直于同一直线的两条共面直线可能相交（如正方形的一个顶点处的两条边），不一定平行，错误。故选ABC。 4.关于异面直线的判定和性质，下列说法正确的有（ ） A. 若一条直线在平面α内，另一条直线不在平面α内，则这两条直线可能是异面直线 B. 若两条直线不共面，则它们一定是异面直线 C. 异面直线所成角的范围是(0°,90°] D. 两条异面直线不可能垂直 【答案】：ABC 【解析】：A选项，平面内的直线与平面外的直线可能异面（如教室墙面内的横线与天花板的竖线），也可能相交或平行，正确；B选项，异面直线的定义就是“不同在任何一个平面内”，即不共面，正确；C选项，异面直线所成角是取锐角或直角，范围是(0°,90°]，正确；D选项，异面直线可以垂直（如正方体中面对角线与体对角线可能垂直），错误。故选ABC。 5.下列关于直线与平面、平面与平面位置关系的说法正确的有（ ） A. 若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l∥m B. 若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l⊥m C. 若平面α∥平面β，直线l⊂α，则l∥β D. 若平面α⊥平面β，直线l⊂α，则l⊥β 【答案】：BC 【解析】：A选项，直线l∥平面α，l与平面α内的直线m可能平行或异面，不一定平行，错误；B选项，直线垂直平面则垂直平面内所有直线，是线面垂直的性质，正确；C选项，两平面平行，平面内的直线与另一平面没有公共点，故直线与另一平面平行，正确；D选项，平面α⊥平面β，平面α内的直线l不一定垂直于β，需l垂直于两平面的交线才垂直于β，错误。故选BC。 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1. 有三个平面 ，若 ，则 与 的位置关系是_______。 【答案】： 【解析】： 若 ，且 ，则 也与 垂直（平面平行的传递性与垂直性可传递到另一个平面） 2. 已知直线 为异面直线，二面角 的平面角为 ， 平面 平面 ，则直线 的夹角为_______。 【答案】： 或 【解析】： 直线 ，直线 ，则 的方向与 的法向量平行， 的方向与 的法向量平行。二面角 的平面角 就是这两个法向量的夹角（或其补角）。因此直线 与直线 的夹角等于这两个法向量的夹角 （取锐角时）。 3. 线段 PA 所在直线与平面 成 60°角，且线段 PA 在平面 上的射影长为 6 cm，则线段 PA 的长为_______。 【答案】： 12 cm 【解析】： 设 ，其与平面 成 60° 角，则射影长 ，所以 cm。 4. 已知点 分别是空间四边形 中 边上的中点，若对角线 ，则四边形 是_______。 【答案】： 正方形 【解析】： 为中点，则 ，且 ；，且 。由 得 ，且 得 ，因此 是邻边相等且一角为直角的平行四边形，即为正方形。 5.在正方体中，过棱和棱外一点，最多能确定_________个平面。 【答案】2 【解析】棱，过与点可确定1个平面，过与点可确定另1个平面，且两平面不重合，故最多2个。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.已知：空间中三点A、B、C不共线，直线l经过点A且与直线BC平行。 （1）求证：三点A、B、C和直线l共面； （2）求这样的平面有几个？ 【答案】：（1）证明见解析；（2）1个。 【解析】 （1）证明： ∵ 直线l∥直线BC（已知）， ∴ 根据平面基本性质公理2的推论“过两条平行直线，有且只有一个平面”，直线l和BC确定一个平面，设为α。 ∵ B∈BC，C∈BC，∴ B∈α，C∈α（平面内直线上的点在平面内）。 又∵ A∈l，l⊂α，∴ A∈α（平面内直线上的点在平面内）。 ∴ 三点A、B、C和直线l都在平面α内，即它们共面。 （2）解： 由（1）可知，直线l与BC平行，确定唯一平面α，且三点A、B、C都在α内，故满足条件的平面只有1个。 2.如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 。 (1) 求证：； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值 【答案】： (1) 证明见上。 (2) 。 【解析】： (1) 证明 ∵ 平面 ，且 平面 ， ∴ 。 又 ∵ 是正方形， ∴ 。 由 且 ，且 ， 得 平面 。 ∵ 平面 ， ∴ 。 (2) 直线 与平面 所成角的正弦值 设 ，则 。 在正方形 中，， 由 (1) 知 平面 ， 所以 平面 。 于是 为 在平面 上的垂足。 ∴ 为 在平面 上的射影， 即为直线 与平面 所成的角。 计算： ， ， 在 中，， 。 ∴ 3.在长方体ABCD-中，AB=2，AD=3，A=4，求： （1）直线AB与直线所成的角； （2）直线A与直线BC所成的角的正切值。 【答案】：（1）90°；（2）。 【解析】 （1）解： 在长方体中，AB∥，∥，且是面对角线。 ∵ 长方体中AB⊥平面，⊂平面， ∴ AB⊥（直线垂直平面则垂直平面内所有直线）。 ∴ 直线AB与所成的角为90°。 （2）解： ∵ BC∥AD（长方体中对边平行）， ∴ 直线A与BC所成的角等于直线A与AD所成的角（异面直线所成角的平移转化）。 ∵ A⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴A⊥AD， ∴ △AD是直角三角形，∠AD=90°。 ∴ 直线A与AD所成的角为∠DA， tan∠DA= = （直角三角形中对边比邻边）。 故直线A与BC所成角的正切值为。 4.如图所示，在直角梯形 中，，，，。 分别为线段 的中点。现将 折起，使点 不属于平面 。 求证：平面 平面 。 【答案】：平面 平面 成立。 【解析】： 由条件可知，在原梯形中 （因为 ， 且 与 共线）。 在 中， 分别为 的中点，所以 ，因此 。 由于 平面 ，得 平面 。 在四边形 中， 分别为 的中点，所以 。 由于 平面 ，得 平面 。 与 是平面 内两条相交直线，且分别平行于平面 内的相交直线 和 ，因此平面 平面 （面面平行判定定理）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ·编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了立体几何的性质及运算等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线l与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是（ ） A. [0°,90°] B. (0°,90°) C. [0°,180°] D. (0°,180°) 2.下列说法中，能体现平面“无限延展”特征的是（ ） A. 平面内的点可以无限多 B. 经过平面内一点的直线，一定在平面内 C. 平面可以将空间分成两部分 D. 平面内的两条直线可以无限延长且不相交（平行直线） 3.空间中，经过同一直线上的三点和直线外一点，最多可以确定的平面个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.在空间中，若直线a与直线b平行，直线b与直线c相交，则直线a与直线c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面 5.下列命题中，正确的是（ ） A. 共面直线一定相交 B. 相交直线一定共面 C. 异面直线一定垂直 D. 垂直直线一定异面 6.下列图形中，两条直线是异面直线的是（ ） A. 正方体的面对角线和体对角线 B. 正方体的两条体对角线 C. 正方体的一条棱和与它平行的面对角线 D. 正方体的一条棱和与它不平行的面对角线 7.已知两条异面直线a、b的公垂线段长度为3，则下列说法正确的是（ ） A. a、b上任意两点间的距离都大于3 B. a、b上任意两点间的距离都不小于3 C. a、b上任意两点间的距离都等于3 D. a、b上存在两点间的距离小于3 8.若直线l∥平面α，平面α∥平面β，则直线l与平面β的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 直线l在平面β内 D. 平行或直线l在平面β内 9.下列命题中，是直线l⊥平面α的必要不充分条件的是（ ） A. 直线l与平面α内的所有直线垂直 B. 直线l与平面α内的两条相交直线垂直 C. 直线l与平面α内的任意一条直线都成90°角 D. 直线l与平面α内的一条直线垂直 10.直线l⊥平面α的充要条件是（ ） A. 直线l与平面α内的一条直线垂直 B. 直线l与平面α内的两条直线垂直 C. 直线l与平面α内的无数条直线垂直 D. 直线l与平面α内的两条相交直线垂直 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列关于平面特征的说法正确的有（ ） A. 平面是无限延展的 B. 平面没有厚度 C. 平面可以用平行四边形表示（通常画成锐角为45°、一组邻边比为1:2的平行四边形） D. 平面内的两条直线要么平行要么相交 2.下列命题中，运用平面基本性质公理2的有（ ） A. 过直线和直线外一点，有且只有一个平面 B. 过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 过两条平行直线，有且只有一个平面 D. 三角形一定在同一个平面内 3.下列关于共面直线的说法正确的有（ ） A. 平行直线一定共面 B. 相交直线一定共面 C. 共面直线要么平行要么相交 D. 垂直于同一直线的两条共面直线一定平行 4.关于异面直线的判定和性质，下列说法正确的有（ ） A. 若一条直线在平面α内，另一条直线不在平面α内，则这两条直线可能是异面直线 B. 若两条直线不共面，则它们一定是异面直线 C. 异面直线所成角的范围是(0°,90°] D. 两条异面直线不可能垂直 5.下列关于直线与平面、平面与平面位置关系的说法正确的有（ ） A. 若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l∥m B. 若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l⊥m C. 若平面α∥平面β，直线l⊂α，则l∥β D. 若平面α⊥平面β，直线l⊂α，则l⊥β 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1. 有三个平面 ，若 ，则 与 的位置关系是_______。 2. 已知直线 为异面直线，二面角 的平面角为 ， 平面 平面 ，则直线 的夹角为_______。 3. 线段 PA 所在直线与平面 成 60°角，且线段 PA 在平面 上的射影长为 6 cm，则线段 PA 的长为_______。 4. 已知点 分别是空间四边形 中 边上的中点，若对角线 ，则四边形 是_______。 5.在正方体中，过棱和棱外一点，最多能确定_________个平面。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.已知：空间中三点A、B、C不共线，直线l经过点A且与直线BC平行。 （1）求证：三点A、B、C和直线l共面； （2）求这样的平面有几个？ 2.如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 。 (1) 求证：； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值 3.在长方体ABCD-中，AB=2，AD=3，A=4，求： （1）直线AB与直线所成的角； （2）直线A与直线BC所成的角的正切值。 4.如图所示，在直角梯形 中，，，，。 分别为线段 的中点。现将 折起，使点 不属于平面 。 求证：平面 平面 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $