向量的内积-山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第50卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第50卷，主要考查向量的内积的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第50卷 向量的内积 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设均为单位向量，且，则 =（ ） A． B． C． D． 2．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量与夹角为，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 4．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知等边三角形的边长为1，则 =（   ） A． B． C．0 D．1 6．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A．0 B．2 C． D． 8．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．已知正方形的边长为1，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知，为单位向量，且，则 ． 12．设，为两个单位向量，夹角为，则等于 . 13．已知向量，，， ,则 ． 14．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，，． (1)求与的夹角； (2)当为何值时，向量的模长为. 16．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 17．已知，是夹角为的单位向量，设． (1)求； (2)求的最小值． 18．已知向量满足，且，求： (1) ; (2) ; (3)向量与的夹角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第50卷，主要考查向量的内积的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第50卷 向量的内积 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设均为单位向量，且，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的内积公式求模即可. 【详解】 . 故选：B. 2．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量内积及相关的运算律，结合向量概念逐项判断即可. 【详解】①，错误； ②，，由可得： ，则与不一定相等，错误； ③与不共线时，等式不一定相等，错误； ④向量大小相等时，方向不定，不能确定是相等或相反向量，错误． 故真命题的个数是0. 故选：A. 3．已知向量与夹角为，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的内积的运算法则和定义即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，，， 所以， 所以. 故选：B. 4．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合向量内积公式即可求解. 【详解】解：由于，且， 则， 解得， 又， 则向量的夹角为． 故选：A． 5．已知等边三角形的边长为1，则 =（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义及运算律计算即可. 【详解】由题意， ． 故选：C． 6．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角的求法即可得解. 【详解】∵， 又，∴， ∵， ∴. 故选：C. 7．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【详解】，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直，则， 即，解得. 故选：A. 8．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分、必要条件的判定方法，结合向量内积的运算法则即可得解. 【详解】因为为非零的平面向量， 当时，取，，则，满足要求， 但此时不成立，即充分性不成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 9．已知正方形的边长为1，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将表示为以为基底的形式，根据向量数量积运算，求得表达式的值. 【详解】正方形的边长为1，是的中点， ∵，， ∴ . 故选：A. 10．已知，，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】利用向量的模的平方以及数量积计算即可. 【详解】因为， 又因为，，而，即有， 即， 所以， 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知，为单位向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，求，在求进而求. 【详解】因为，， 又因为，为单位向量， 所以，；又 所以. 故答案为： 12．设，为两个单位向量，夹角为，则等于 . 【答案】/0.5 【分析】由向量的内积的定义求解即可. 【详解】因为，为两个单位向量，夹角为， 所以，且， 所以. 故答案为：. 13．已知向量，，， ,则 ． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：. 14．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及内积运算可求. 【详解】    因为等边三角形边长为，设， 则，，， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，，． (1)求与的夹角； (2)当为何值时，向量的模长为. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据向量的模长与内积求解夹角即可； （2）根据向量的模长求解参数即可； 【详解】（1）因为，，． 所以， 即，解得， 又，所以． （2）若向量的模长为， 则， 解得或． 16．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）由与垂直，可求解的值，进而得到的值，再由夹角的范围即可求解. 【详解】（1）， . （2）， ， ， . 17．已知，是夹角为的单位向量，设． (1)求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的数量积计算即可. （2）根据向量的模长公式计算，在求的最小值. 【详解】（1）由向量，是夹角为的单位向量，可得．     且． （2），                            ， ,当且仅当时等号成立， 的最小值为． 18．已知向量满足，且，求： (1) ; (2) ; (3)向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合向量的模，即可求得向量的内积； （2）根据题意，结合向量的内积，利用向量的模的计算，即可求解； （3）根据题意，结合向量的内积为0，即可判断两向量垂直，继而求得夹角. 【详解】（1）因为向量满足，且， 所以， 所以； （2）由（1）知，又， 所以； （3）由（1）知， 所以， 所以向量，即向量与的夹角是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $