向量的内积-山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第49卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

| 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第49卷，主要考查向量的内积的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第49卷 向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．如果向量满足，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】， 因为，所以，即. 故选：C. 2．已知，则“”是“与共线”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量内积可以得到向量的夹角，从而判断向量是否共线. 【详解】由可知，， 所以，所以夹角为，可以得到与共线， 若与共线，则可得到向量夹角为或，所以得不到， 故“”是“共线”的充分不必要条件. 故选:B. 3．△ABC是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先将向量转化为共起点向量，再由向量内积的运算计算即可. 【详解】因为△ABC是边长为2的等边三角形， 所以的度数为，， 所以有. 故选:D. 4．给出下列命题：①所有的单位向量相等；②若，则；③；④若与是共线向量，则A，B，C，D四点在同一条直线上其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由单位向量、向量的内积、相反向量、共线向量的概念判断即可. 【详解】①所有的单位向量大小相等，但方向不一定相同，故①错误； ②若，则，故②正确； ③相反向量的大小相等，故③正确； ④向量与是共线向量，则直线AB与CD重合或平行， 所以A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故④错误． 故选：B. 5．下列各命题中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案. 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确； 对于C项，根据向量数量积满足交换律，可得C正确； 对于D项，当时，则向量与共线，当时，则向量与共线，而向量不一定共线，故D错误. 故选：D. 6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（    ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则与向量的内积即可求解. 【详解】因为E，F分别是BC，CD的中点， 所以 . 故选：C. 7．若，，且，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用内积公式求夹角即可 【详解】由题意知，，，且， 所以， 化简得， 所以 ，因为0≤≤π， 所以； 故选：B. 8．若向量满足且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行和垂直的性质即可求解. 【详解】，， ，， . 故选：D. 9．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果. 【详解】由得，， ∵，∴，即. 故选：B. 10．已知，，，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量内积的运算律，结合模的运算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知向量、满足，，则 ． 【答案】10 【分析】根据向量内积的运算律，求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 12．已知正方形的边长是3，则 . 【答案】9 【分析】根据向量内积的定义以及正方形的性质求解即可. 【详解】在正方形中，对角线和边形成的夹角为， 所以. 故答案为：9. 13．在三角形中，，则该三角形是 三角形 【答案】钝角 【分析】根据内积的定义判断的范围即可． 【详解】∵三角形中，， ∴， 又，则为钝角， ∴该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 14．已知|，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量模的计算，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，向量与的夹角为.求： (1)； (2). 【答案】(1)25. (2)35. 【分析】（）根据平面向量的运算法则即可得解. （）根据平面向量内积及运算法则即可得解. 【详解】（1）因为， 则. （2）因为，， 所以， 则. 16．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以， 所以． （3）由，得， 所以， 又，所以． 17．已知都是非零向量，与垂直，与垂直，求与的夹角． 【答案】． 【分析】根据平面向量垂直的表示列出方程组得出及，代入夹角公式即可得解. 【详解】设的夹角为，， 垂直于垂直于， ， 则，代入中得，即， ， 解得， 所以与的夹角为． 18．已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的运算法则，结合已知条件逐步计算. （2）根据模长的概念，结合向量的运算法则，即可求解. （3）根据内积的定义，结合向量的运算法则，求解向量夹角. 【详解】（1）可化为， 由，，得 解得. （2）由（1）知， 即. （3）记与的夹角记为， 则， 又因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第49卷，主要考查向量的内积的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第49卷 向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．如果向量满足，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“与共线”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．△ABC是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 4．给出下列命题：①所有的单位向量相等；②若，则；③；④若与是共线向量，则A，B，C，D四点在同一条直线上其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列各命题中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（    ）． A． B． C．1 D． 7．若，，且，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 8．若向量满足且，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 10．已知，，，则等于（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知向量、满足，，则 ． 12．已知正方形的边长是3，则 . 13．在三角形中，，则该三角形是 三角形 14．已知|，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，向量与的夹角为.求： (1)； (2). 16．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 17．已知都是非零向量，与垂直，与垂直，求与的夹角． 18．已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)求与的夹角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $