专题40 讲义 概率的性质 - 江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块8的第40个专题：概率的性质。本专题涵盖互斥事件、对立事件、独立事件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题40 概率的性质 知识点一 互斥事件 互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. 和事件：当事件C发生则事件A与B至少有一个发生时，称事件C为事件A与B的和事件，记作. 互斥事件的概率加法公式：若事件A与事件B互斥，则：. 知识点二 对立事件 对立事件：在一次试验中，事件A和B不能同时发生，但必有一个发生， 则称事件A与B互为对立事件，即：. 事件A的对立事件记作. 对立事件的性质：，，该公式常用于“正难则反”法求概率. 知识点三 独立事件 独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件. 独立事件同时发生的概率计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积， 即：事件A与B独立. 一、单选题 1．(2022年高考真题T13)甲、乙两雷达独立工作，发现飞行目标的概率分别为0.8，0.7，则他们都发现目标的概率是（    ） A．0.44 B．0.56 C．0.75 D．0.94 2．(2019年高考真题T16)某射手每次射击命中的概率为0.8，则射击2次恰有一次命中的概率是（     ） A．0.04 B．0.16 C．0.32 D．0.64 3．(2011年高考真题T12)人事件A，B是互斥事件，且，，则（    ） A．0.03 B．0.1 C．0.3 D．0.4 4．(2011年高考真题T12)若事假A和B是对立事件，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．(2019年高考真题T12)设事件A和B是相互独立事件，且，，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.9 二、解答题 6．(2021年高考真题T28)高一年级的10名学生准备参加一项公益活动，其中高一(1)班5人，高一(2)班3人，高一(3)班2人，现从这10人中随机安排4人去领取活动所需物品，求此四人中恰有3人同班的概率. 7．(2019年高考真题T30)某班成绩在内的学生中，男生有3人，女生有2人，现从中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率. 8．(2018年高考真题T27)某县响应国家“精准扶贫政策”，从5名干部(其中处级干部2人，科级干部3人)中随机抽调3人前往某乡开展扶贫工作，求所抽调的3人中既有处级干部又有科级干部的概率. 9．(2008年高考真题T26)两人各投篮一次，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6，求至少有人投中的概率. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．对于任意事件A，都有. ·········································································（A B） 2．若两个事件是对立事件，则这两个事件之和为必然事件. ··············································（A B） 3．甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是. ····················································（A B） 二、单选题 4．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（     ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 5．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为（     ） A． B． C． D． 6．已知与B是互斥事件，且，，则等于（     ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.8 7．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（     ） A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8 8．从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 9．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与互斥 D．与对立 10．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒棋子恰好是同一色的概率是（    ） A． B． C． D．1 11．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（     ） A． B． C． D． 12．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（ ） A． B． C． D． 13．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（     ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 三、填空题 14．事件A与事件B是互斥事件，，，则 ． 15．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 月收入 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在内的概率为，则月收入在内的概率为 ． 16．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，抽查一件产品，该产品为正品的概率为 . 17．如果事件甲、乙、丙是互斥事件且事件甲乙的概率是，丙的概率为，事件乙的概率是事件丙的概率的3倍，则事件甲的概率是 ． 18．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，若“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到一等品或二等品”的概率为 ． 19．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是 ． 20．已知袋子中有10个小球，其中2个红球，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出黑球为事件B，若，则袋中白球的个数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 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【详解】射击2次恰有一次命中包含第一次中且第二次不中，或第一次不中，第二次中两种情况，所以概率为，故选A . 3．(2011年高考真题T12)人事件A，B是互斥事件，且，，则（    ） A．0.03 B．0.1 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【分析】本题考察互斥事件的概率加法公式. 【详解】互斥事件的概率加法公式可得，故选D . 4．(2011年高考真题T12)若事假A和B是对立事件，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】本题考察对立事件的性质. 【详解】由对立事件的概率性质可得：，故选B . 5．(2019年高考真题T12)设事件A和B是相互独立事件，且，，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.9 【答案】A 【分析】本题考察独立事件同时发生的概率. 【详解】根据独立事件同时发生的概率计算公式可得，故选A . 二、解答题 6．(2021年高考真题T28)高一年级的10名学生准备参加一项公益活动，其中高一(1)班5人，高一(2)班3人，高一(3)班2人，现从这10人中随机安排4人去领取活动所需物品，求此四人中恰有3人同班的概率. 【答案】 【分析】本题考察古典概型及互斥事件的概率. 【详解】由题可得选出的4人恰有3人同班的情况为高一(1)班3人及另外班级的1人，或高一(2)班3人及其他班1人，所以四人中恰有3人同班的概率. 7．(2019年高考真题T30)某班成绩在内的学生中，男生有3人，女生有2人，现从中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率. 【答案】 【分析】本题考察互斥事件及对立事件. 【详解】由题可得至少抽到1名女生的对立事件为没有抽到女生，所以至少抽到1名女生的概率为. 8．(2018年高考真题T27)某县响应国家“精准扶贫政策”，从5名干部(其中处级干部2人，科级干部3人)中随机抽调3人前往某乡开展扶贫工作，求所抽调的3人中既有处级干部又有科级干部的概率. 【答案】 【分析】本题考察互斥事件及对立事件. 【详解】设所抽调的3人中既有处级干部又有科级干部的概率为P，则. 9．(2008年高考真题T26)两人各投篮一次，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6，求至少有人投中的概率. 【答案】0.88 【分析】本题考察互斥事件及对立事件. 【详解】至少有人投中的概率P，则. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．对于任意事件A，都有. ·········································································（A B） 【答案】A 【分析】根据概率的概念即可判断对错. 【详解】任何概率都是一个在0到1之间的实数，所以结论正确，故选A. 2．若两个事件是对立事件，则这两个事件之和为必然事件. ··············································（A B） 【答案】A 【分析】利用对立事件和必然事件的定义分析判断得解. 【详解】根据对立事件的性质可知，如果两个事件是对立事件，则它们的概率之和为1，所以这两个事件之和为必然事件，所以结论正确，故选A. 3．甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是. ····················································（A B） 【答案】A 【分析】根据题意，先求出两人都没有命中的概率，由对立事件的性质计算的答案. 【详解】根据题意，则甲､乙两人各投篮一次，两人都没有命中的概率，则至少有一人命中的概率，所以结论正确，故选A. 二、单选题 4．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（     ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概念分析. 【详解】根据互斥事件的概念可知，A项正确． “至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B项不正确． “至多1件次品”包含“一件正品一件次品”和“两件正品”，C项不正确． “恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D项不正确，故选A. 5．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率公式求解. 【详解】设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥， ，则电话在响前四声内被接的概率为，故选B. 6．已知与B是互斥事件，且，，则等于（     ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.8 【答案】D 【分析】根据对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式计算. 【详解】由题意得，因为是互斥事件，所以，故选D. 7．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（     ） A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【分析】根据概率运算求得正确答案. 【详解】目标受损但未击毁的概率是，故选A. 8．从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型及对立事件概率公式计算即可解得. 【详解】由题 ，从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件种，全取红球的基本事件只有一种，则全取红球的概率为，故所取3个球中至少有1个白球的概率为：，故选D. 9．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与互斥 D．与对立 【答案】C 【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可 【详解】对于A，，，∴，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确； 对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误，故选C. 10．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒棋子恰好是同一色的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则，，，即从中任意取出2粒棋子恰好是同一色的概率是，故选C. 11．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对立事件的概率，即可求解． 【详解】根据题意，每次抛掷硬币正面朝上的概率为，所以抛掷硬币三次，都是反面朝上的概率为，所以至少一次正面朝上的概率为，故选D． 12．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乙获胜与甲不输为对立事件，甲不输的概率即甲与乙和棋的概率与甲胜的概率之和，再由互斥和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】乙获胜与甲不输为对立事件，甲不输的概率即甲与乙和棋的概率与甲胜的概率之和，，乙获胜的概率是，故选C. 13．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（     ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 【答案】C 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，元件A与B至少有一个正常工作的概率为， 所以该控制模块能正常工作的概率为，故选C. 三、填空题 14．事件A与事件B是互斥事件，，，则 ． 【答案】0.2 【分析】根据概率加法公式即可求解. 【详解】因为，所以． 15．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 月收入 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在内的概率为，则月收入在内的概率为 ． 【答案】0.55/ 【分析】根据题意结合概率的性质即可得解. 【详解】记这个商店月收入在，，，内分别为事件A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且，所以． 16．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，抽查一件产品，该产品为正品的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据对立事件和互斥事件的性质求解. 【详解】设“抽得正品”为事件A，“抽得乙级产品”为事件B，“抽得丙级产品”为事件C，由题意，甲级为正品，乙、丙两级均属次品，则 17．如果事件甲、乙、丙是互斥事件且事件甲乙的概率是，丙的概率为，事件乙的概率是事件丙的概率的3倍，则事件甲的概率是 ． 【答案】0.5 【分析】根据互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】已知丙的概率为，由事件乙的概率是事件丙的概率的3倍，得事件乙的概率是， 又因为事件甲+乙的概率是0.8，所以事件甲的概率是. 18．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，若“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到一等品或二等品”的概率为 ． 【答案】0.95 【分析】根据互斥事件的概率公式求值即可. 【详解】因为 “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，且“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，所以“抽到一等品或二等品”的概率为． 19．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由互斥事件概率的性质列不等式求解即可. 【详解】有题意得，即，解得，所以实数a的取值范围是. 20．已知袋子中有10个小球，其中2个红球，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出黑球为事件B，若，则袋中白球的个数为 ． 【答案】5 【分析】根据古典概型概率公式和对立事件的概率公式分析求解即可. 【详解】设取出红球为事件A，取出白球为事件C．由题意得，又，所以，所以白球的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $