16.2.1 整式的乘法 单项式与单项式、多项式相乘 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦单项式与单项式、单项式与多项式相乘运算，通过画纸面积计算问题导入，先复习幂的运算性质，再引导学生从具体情境中抽象出单项式相乘式子，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和错误辨析为核心，结合数学眼光（实际问题抽象）、数学思维（推理运算过程）、数学语言（规范法则表述）。例如用长方形面积推导单项式乘多项式法则，通过错题辨析强调符号和漏乘问题，帮助学生培养运算能力和推理意识，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

单项式与单项式、多项式相乘 人教版八年级上册 1 复习回顾 1.幂的运算性质有哪几条？ 同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m、n都是正整数). 幂的乘方法则：(am)n=amn ( m、n都是正整数). 积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m、n都是正整数). 2.计算：(1)x2 · x3 · x4= ; (2)(x3)6= ; (3)(–2a4b2)3= ; (4) (a2)3 · a4= ； (5) （- ）5·（- ）5 = . x9 x18 –8a12b6 a10 1 回 顾旧知 2 掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则. 能够灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算. 让学生主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 x mx x x x 若两张画纸同样大小请大家列式计算一下两幅画的面积 第一幅的面积是 第二幅的面积是 mx x(mx) (mx)( ) 单位：米 这是两个单项式相乘，结果可以表达得更简单些吗？ 新课精讲 对于上面的问题的结果： 这两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？ 第一幅画的画面面积是 米2 . 第二幅画的画面面积是 米2 . 根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质. 知识点1 单项式与单项式相乘 5 光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗? 地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km. 6 (3×105)×(5×102) =(3×5)×(105×102) =15×107. 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 这样书写规范吗？ 不规范，应为1.5×108. 怎样计算(3 ×105)×(5 ×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ 想一想 如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？ 根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ ac5 · bc2 =(a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律) =abc5+2 (同底数幂的乘法) =abc7. 如果将上式中的系数改为不是1的，比如3a2b ·2ab3,怎样计算这个式子？ 根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ 3a2b ·2ab3 =（3×2）(a2 ·a) ·(b·b3) (乘法交换律、结合律） =6a2+1b1+3 (同底数幂的乘法） =6a3b4. 解： = = 相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数 只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。 各因式系数的积作为积的系数 单项式乘以单项式的结果仍是单项式. 例 解：原式= =－3a2b3c c (a a) (b b2) 各系数因数 结合成一组 相同的字母 结合成一组 你能叙述单项式与单项式相乘的法则吗？ 不能遗漏 法则 尝试解答： 计算：(－2abc) ( ab2 ) 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 [(－2) ] 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与单项式的乘法法则 （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 注意 例 计算： (1)(–5a2b)(–3a)； (2)(2x)3(–5xy2). 解:(1) (–5a2b)(–3a) = [(–5)×(–3)](a2•a)b = 15a3b； (2) (2x)3(–5xy2) =8x3(–5xy2) =[8×(–5)](x3•x)y2 = –40x4y2. 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 单项式相乘的结果仍是单项式. 素养考点 单项式乘以单项式法则的应用 计算：（1） ； （2） - 2 a2b3 · ( - 3a) ； （3） 7 xy 2z·(2xyz) 2. 例 （1） ； （2）- 2 a2b3·( - 3a) = [ ( - 2)·( - 3) ] ( a2 a)·b3 = 6 a3b3 ； （3）7 xy 2z·(2xyz) 2=7xy2z ·4x2y2z2= 28x3y4z3 ； 解： 单项式相乘的结果仍是单项式 单相乘，系数乘，相同字母分别乘； 单独字母连指数，写在积里作因式。 单项式与单项式相乘 注意事项： 1.把系数相乘，注意符号； 2.相同字母因式相乘（同底数幂的乘法，底数不变，指数相加） 3.只在一个单项式里单独含有的字母，要连同它的指数作为积的因式（照抄），防止遗漏； 4.若某一单项式是乘方的形式时，要先乘方，再算乘法； 5.单项式乘以单项式的结果仍然是一个单项式，结果要把系数写在字母因式的前面； 下面各题的计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)3a3·2a2=6a6 ( ) 改正： . (2)2x2·3x2=6x4 ( ) 改正： . (3)3x2·4x2=12x2 ( ) 改正： . (4)5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： . 3a3 ·2a2=6a5 3x2 ·4x2=12x4 5y3·3y5=15y8 × × × 计算： (1) 3x2 ·5x3 ； (2)4y ·(–2xy2)； (3) (–3x)2 ·4x2 ； (4)(–2a)3(–3a)2. 解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5； (2)原式=[4×(–2)](y·y2) ·x= –8xy3； (3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4； (4)原式= –8a3·9a2 =[(–8)×9](a3·a2)= –72a5 单独因式x别漏乘、漏写 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 例2 已知–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值． 解：∵–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项. ∴m2＋n＝7. 解得： 方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可． 素养考点 利用单项式乘法的法则求字母的值 解得： ∴m、n的值分别是m=1，n=2. 已知 求 的值. 解： 1．计算：(2x3y)2·(－3x2y3z)． 解：原式＝4x6y2·(－3x2y3z)＝－12x8y5. 以上解法错在什么地方？请你改正过来． 解： 1.在计算时漏乘了第二项中的z. 正解：原式＝4x6y2·(－3x2y3z)＝－12x8y5z. 以上解法错误的原因是什么？请你改正过来． 解：错因：单项式乘单项式时，有积的乘方时要先算乘方，再算乘法，不能忽视积的乘方运算的优先性． 单项式与多项式相乘 问题 如图，试求出三块草坪的总面积是多少？ 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____. p p a b p c pa pc pb 知识点2 c b a p 如果把它看成一个大长方形，那么它的长为________，面积可表示为_________. p(a+b+c) (a+b+c) 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____. 如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为_________. c b a p pa pc pb p(a+b+c) pa+pb+pc p(a+b+c) pa+pb+pc p(a+b+c) p (a + b+ c) pb + pc pa + 根据乘法的分配律 探究 你还能通过别的方法得到等式p(abc)papbpc吗？ 类比单项式乘单项式，说说这是什么运算？ 单项式乘多项式 探究 尝试计算：2x(x2y) 2x(x2y) 2x·x 2x·2y 2x2 4xy 乘法分配律 单项式乘单项式 讨论 尝试归纳单项式乘以多项式的运算法则. 单项式乘多项式 解： 转化 单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 1. 依据是乘法分配律. 2. 积的项数与多项式的项数相同. 注意 P b p a p c 单项式乘以多项式的法则 单项式乘以多项式的法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （1）依据是乘法分配律 （2）积的项数与多项式的项数相同. 提示 m b p a p c p(a+b+c)= pa+pb+pc (p,a,b,c都是单项式.) 例 计算： (1)(–4x)·(2x2+3x–1)； 解：(1)(–4x)·(2x2+3x–1) ＝ ＝–8x3–12x2+4x； (–4x)·(2x2) (–4x)·3x (–4x)·(–1) + + (2)原式 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 素养考点 利用单项式乘以多项式的法则进行运算 方法总结：1.用单项式去乘多项式的每一项，结果是一个多项式，项数与因式中多项式的项数相同.2.含有混合运算的应注意运算顺序，有同类项必须合并同类项，从而得到最简结果. （2）（ab2-2ab）·ab 计算： (1) 3a(5a2b)； (2) (x3y)(6x) 解：(1) 3a(5a2b) 3a·5a3a·2b 15a26ab 异号得负 同号得正 (2) (x3y)(6x) x·6x3y·6x 6x218xy ① ② ③ 下列各题的解法是否正确，如果错了，指出错在什么地方，并改正过来. × × × 漏了单独字母 漏乘1 符号没有变化 1.注意符号； 2.不要漏乘，尤其是“1，1”. 例先化简，再求值：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)， 其中a＝–2. 当a＝–2时 解：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4) ＝6a3–12a2＋9a–6a3–8a2 ＝–20a2＋9a. 原式＝–20×(–2)2+9×(–2) = –20×4–9×2 ＝–98. 方法总结：按运算法则进行化简，然后代入求值，特别注意的是代入“负数”要用括号括起来． 素养考点 单项式乘以多项式的化简求值问题 先化简再求值: 解:原式= 原式= 例 如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值． 方法总结：当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0. 解：(－3x)2(x2－2nx＋2) ＝9x2(x2－2nx＋2) ＝9x4－18nx3＋18x2. 因为展开式中不含x3项，所以n＝0. 单项式乘以多项式的化简求字母的值 素养考点 方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0. 如果(x+a)x–2(x+a)的结果中不含x项，那么a的值为(　　). A.2　　 B.–2　　 C.0.5　 　D.–0.5 解析：(x+a)x–2(x+a)=x2+ax–2x–2a =x2+(a–2)x–2a ∵ x2+(a–2)x–2a中不含x项. ∴ a–2=0，即a=2. A 1. 计算：(2a)•(ab)=(　　) A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b 2. 计算：x•(–2x2)3= ． B –4x7 3.（岳阳）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为________． 4.（桂林）计算：ab•（a+1）＝________． 4 a2b+ab 我们一起来 吧! 1.计算 3a2·2a3的结果是( ) A.5a5 B.6a5 C.5a6 D.6a6 2.计算(–9a2b3)·8ab2的结果是( ) A.–72a2b5 B.72a2b5 C.–72a3b5 D.72a3b5 3.若(ambn)·(a2b)=a5b3 那么m+n=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 B C D 基础巩固题 (1)4(a–b+1)=___________________； 4a–4b+4 (2)3x(2x–y2)=___________________； 6x2–3xy2 (3)(2x–5y+6z)(–3x) =___________________； –6x2+15xy–18xz (4)(–2a2)2(–a–2b+c)=___________________. –4a5–8a4b+4a4c 4.计算: 5. 计算：–2x2·(xy+y2)–5x(x2y–xy2). 解：原式=( –2x2) ·xy+(–2x2) ·y2+(–5x) ·x2y+(–5x) ·(–xy2) = –2x3 y+(–2x2y2)+(–5x3y)+5x2y2 = –7x3 y+3x2y2. 6. 解方程：8x(5–x)=34–2x(4x–3). 解得： x=1. 解：原式去括号，得：40x–8x2=34–8x2+6x， 移项，得： 40x–6x=34， 合并同类项，得：34x=34， 6.要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4的项，则a应等于( ). A.6 B.-1 C. D.0 D 7.一个长方体的长、宽、高分别是3a-4，2a，a，它的体积等 于( ). A.3a3-4a2 B.a2 C.6a3-8a2 D.6a3-8a C 8.计算：(x2-2y)(xy2)2=_____________. x4y4-2x2y5 4a-4b+4 6x2-3xy2 -6x2+15xy-18xz -4a5-8a4b+4a4c 9.计算 (1)4(a-b+1)=___________________； (2)3x(2x-y2)=___________________； (3)(2x-5y+6z)(-3x) =___________________； (4)(-2a2)2(-a-2b+c)=___________________. (5)4m(3a-2b+n)=___________________； (6)2x(3y+2x-7)=___________________； 12ma-8mb+4mn 6xy+4x2-14x 10. 先化简,再求值： 2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b= -3. 因为 a=2,b=-3. =29 解: 原式=2a2 –2ab –2ab+b2 +2ab = 2a2 -2ab +b2 2 2 所以原式= 2a2 -2ab +b2 = 2× -2×2× (-3)＋ = 8 + 12+ 9 22 (-3) 2 2 2 住宅用地 人民广场 商业用地 3a 3a+2b 2a–b 4a 1.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积. 解：4a[(3a+2b)+(2a–b)] ＝4a(5a+b) ＝4a·5a+4a·b ＝ 20a2+4ab. 答：这块地的面积为20a2+4ab. 能力提升题 2.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-2x＋1，那么正确的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为A，则. A＝4x2－2x＋1. 所以A·(－3x2)＝(4x2－2x＋1)(－3x2) A＋(－3x2)＝x2－2x＋1. ＝－12x4＋6x3－3x2. 1.某同学在计算一个多项式乘以–3x2时，算成了加上–3x2，得到的答案是x2–2x＋1，那么正确的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为A，则. ∴A＝4x2–2x＋1. ∴A·(–3x2)＝(4x2–2x＋1)(–3x2) A＋(–3x2)＝x2–2x＋1. ＝–12x4＋6x3–3x2. 拓广探索题 2.若(x+4)(x-3)=x2+mx-n，则( ). A.m=-1，n=12. B.m=-1，n=-12. C.m=1，n=-12. D.m=1，n=12. 解析:因为(x+4)(x-3)=x2+x-12. 而(x+4)(x-3)=x2+mx-n. 所以x2+x-12=x2+mx-n. 则m=1，n=12. D 拓广探索题 单项式与单项式、多项式相乘 单项式乘单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 单项式乘 多项式 实质上是转化为单项式×单项式 四点注意 (1)计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负. (2)不要出现漏乘现象. (3)运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减. (4)对于混合运算，注意最后应合并同类项. 课堂小结 49 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 52 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 正解：－x5y2·(－4x2y)2＝－x5y2·16x4y2＝[－×16]·(x5·x4)·(y2·y2)＝－8x9y4. 2．计算：－x5y2·(－4x2y)2. 解：原式＝[－×(－4)]·(x5·x2)·(y2·y2)＝2x7y4. $