7.2.1 任意角的三角函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦任意角的三角函数这一核心知识点，从单位圆上点的坐标出发定义正弦、余弦、正切函数，衔接任意角概念，进而梳理三角函数值在各象限的符号规律，再通过有向线段引入三角函数线的几何表示，形成“定义—符号—几何直观—应用”的学习支架。 资料设计突出数学眼光与数学思维的培养，通过微思考引导学生从特殊角单位圆坐标理解定义，题型示例结合三角形内角判断符号培养推理意识，三角函数线应用例题借助几何直观提升空间观念。课中教师可利用互动探究环节增强学生参与，课后分层练习帮助学生巩固基础、提升能力，有效查漏补缺。

7．2　三角函数概念 7．2.1　任意角的三角函数 ► 对应学生用书P130 [课程标准]　1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义．　2.能利用定义解决相关问题． 一、三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，它的终边与圆交于点P(x，y)，r＝ 定义 正弦函数 把比值叫做α的正弦，记作sin α 余弦函数 把比值叫做α的余弦，记作cos α 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 微思考：角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P.当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或 时，点P的坐标又是什么？ 提示：当α＝时，点P的坐标为(，). 　当α＝时，点P的坐标为(0，1). 　当α＝时，点P的坐标为(－，). 二、三角函数值的符号 三角函数值在各象限的符号：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． [温馨提示]　正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 微思考：请根据三角函数的定义确定三角函数值在各象限的符号吗？ 提示： 三、三角函数线 1．有向线段的概念 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． 2．有向线段的数量 把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 3．三角函数 有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正弦线． 【基点小试】 1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限． 2．角和角有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 解析：选C.在同一坐标系内作出角和角的三角函数线(图略)可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等． 3．若∠α＝，则正弦值为______，余弦值为_______，正切值为__________． 解析：角的终边与单位圆交点为(－，－)，∴sin ＝－， cos ＝－，tan ＝. 答案：－　－　 4．已知角α的终边与单位圆的交点为P(，－)，则tan α＝________． 解析：tan α＝＝－. 答案：－ 题型一　三角函数的定义及应用 例1.(苏教版必修一P167例1改编)(1)如果角α的终边经过点P(－，)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． (2)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________________． 解析：(1)由题意知r＝|OP|＝ ＝1， 所以sin α＝＝＝， cos α＝＝－＝－， tan α＝＝＝－. (2)因为r＝，cos θ＝，所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3. 则sin θ＋tan θ＝. 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3， 则sin θ＋tan θ＝. 答案：(1)　－　－　(2)或 【练一练】 1．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． 解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)， 则解得即P(，)， 所以sin α＝y＝，cos α＝x＝. 2．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求sin α的值． 解：由题意可得：|OP|＝ ＝|m|. 当m＞0时，|OP|＝m， 则sin α＝＝. 当m＜0时，|OP|＝|m|＝－m， 则sin α＝＝－. 题型二　三角函数值符号问题 例2.(1) (苏教版必修一P169例4改编)若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析：选B.三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形． (2)确定下列各三角函数值的符号： ①cos 260°；②sin ；③tan . 解：①因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. ②因为－是第四象限角，所以sin ＜0. ③因为是第三象限角，所以tan ＞0. [总结] 　由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键． 【练一练】 3．(2025·苏州高一上期末)“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若点P(sin θ，tan θ)在第二象限，则sin θ<0，tan θ>0，则角θ为第三象限角，故充分性成立， 若角θ为第三象限角，则sin θ<0，tan θ>0，则点P(sin θ，tan θ)在第二象限，故必要性成立， ∴“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的充要条件． 4．判断下面各式的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin α·cos ·tan (α为三角形的内角). 解：(1)∵<3<π<4<<5<2π， ∴3，4，5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<<， ∴sin α>0，cos >0，tan >0， ∴sin α·cos ·tan >0. 题型三　三角函数线的应用 例3.(1)设a＝sin (－1)，b＝cos (－1)，c＝tan (－1)，则有(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 解析：选C.如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos (－1)＝OM>0， c＝tan (－1)＝AT<0， a＝sin (－1)＝MP<0， 由图可知MP>AT，∴c<a<b. (2)若0<a<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是_______________________． 解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪. 答案：∪ [总结]　1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值； (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解三角不等式的方法 正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围 正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围 【练一练】 5．求函数f(x)＝＋ln (sin x－)的定义域． 解：由题意，得自变量x应满足不等式组即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， 即定义域为{x|2kπ＋≤x，2kπ＋，k∈Z}． [课后分层练(三十六)]　任意角的三角函数 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：选B.由题意得r＝|OP|＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8. 2．有下列说法，其中正确的个数是(　　) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等； ③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.对于①，由诱导公式一可知正确；对于②，sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误． 3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，3] B．(－2，3) C．[－2，3) D．[－2，3] 解析：选A.由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得－2＜a≤3. 4．若θ∈，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin ＝，sin ＝－1，－1<sin θ<， 即sin θ∈. 答案：(－1，) 5．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限的角. 解析：依题意得即因此θ是第二象限角． 答案：二 6．(1)确定的符号； (2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m(0＜m＜1)，试判断式子sin α－cos α的符号． 解：(1)∵弧度数为－3，5，8的角分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan (－3)＞0，tan 5＜0，cos 8＜0， ∴＞0. (2)若0＜α＜，则如图所示，在单位圆中，|OM|＝cos α，|MP|＝sin α， ∴sin α＋cos α＝|MP|＋|OM|＞|OP|＝1. 若α＝，则sin α＋cos α＝1. 由已知0＜m＜1，得α∈，∴sin α＞0，cos α＜0. 于是有sin α－cos α＞0. 7．已知＝－，且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 解：(1)由＝－，得sin α<0， 由lg (cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1， 得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0， 从而m＝－， sin α＝＝＝＝－. 【能力提升题组】 8．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)即(1，－)，则r＝ ＝2，因此sin α＝＝－. 9．(多选)角α的终边在第一象限，则＋＋的值为(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：选AD.∵角α的终边在第一象限， ∴角的终边在第一象限或第三象限． ∴当角的终边在第一象限时，＋＋＝1＋1＋1＝3， 当角的终边在第三象限时，＋＋＝－1－1＋1＝－1. 10．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________. 解析：由图可知cos <0，tan >0，sin >0. ∵|MP|<|AT|，且MP，AT与y轴正方向相同， ∴sin <tan . 故cos <sin <tan . 答案：cos <sin <tan 11．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0). (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝. (2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin <0； 当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin >0. 综上，当a>0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负； 当a<0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正． 学科网（北京）股份有限公司 $