第二十六章 概率初步习题课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕“随机事件”展开，系统讲解事件的分类（必然事件、不可能事件、随机事件）及概率的基本概念，通过“石头剪刀布”游戏等生活实例导入，引导学生从具体情境感知确定性与随机事件的区别，再以基础到提升的练习题搭建学习支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点在于结合真实情境（如汽车行驶方向选择）和跨学科案例（音乐抽音符游戏），培养学生用数学眼光观察现实世界。通过分层练习题，特别是设计装球方案等开放性问题，发展推理意识与创新意识，助力学生用数学语言表达不确定现象。学生能联系生活加深理解，教师可借助丰富情境提升教学效果。

第26章 26. 2 等可能情形下的概率计算 第2课时　用画树状图法或列表法求概率 1 核心必知 1.当一次试验涉及两个因素时，为了不重不漏地列出所有可 能的结果，通常采用列表法或画树状图法求概率. 2.当一次试验涉及三个或更多的因素时，应该采用_________ ____求概率. 画树状图法 1星题 基础练 1.超市门口有一台“出行幸运轮”，上面标着公交车、自行车、出租车．规则：点点先转一次，训训再转一次，若两人转动的结果恰好是“公交车＋自行车”(顺序不限)，可额外获得“快速通道卡”，他们拿到奖励的概率是(　　) D 3 2．超市有A、B、C三个智能入口，每个入口会随机亮起绿灯放行．点点和训训需各自独立选择一个入口．若两人同时选中A入口，就能触发“隐藏福利通道”，他们触发隐藏福利通道的概率是(　　) D 4 3．限时折扣区有四个“黄金苹果”，质量分别为100 g、110 g、120 g、130 g．点点随机选两个苹果，若总质量超过220 g，可解锁“水果半价券”，点点成功解锁的概率是(　　) C 5 4．货架上有两个品牌的奶制品． A品牌：纯牛奶、酸奶、山羊奶 B品牌：纯牛奶、酸奶 规则：点点从A品牌，训训从B品牌各选一种奶制品，若两人选中同一种类，就能打开宝箱获得“免费奶制品礼包”，则他们成功打开宝箱的概率是________. 6 5．会员积分可兑换扭蛋，奖品有水杯、雨伞、书包．每次兑换后奖品池重置．若连续两次扭到不同奖品，就能触发“双倍积分”，触发双倍积分的概率是________. 7 6．(8分)超市计划推出两种抽奖方案. 方案甲：箱中放3个除颜色外完全相同的小球，其中有1个红球、2个白球，不放回地摸取两次，两次均为白球则中奖． 方案乙：箱中放3个除颜色外完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球，有放回地摸取两次，至少一次为红球则中奖． 8 (1)分别计算两种方案的中奖概率； 解：(1) 方案甲：画树状图如图所示． 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两次均为白球的有2种，所以方案甲中奖的概率为 9 方案乙：列表如下． 由表格可知共有9种等可能的结果，其中至少一次为红球的有8种，所以方案乙中奖的概率为   红 红 白 红 红红 红红 红白 红 红红 红红 红白 白 白红 白红 白白 (2)从吸引顾客的角度分析，哪种方案更优，并说明理由． 从吸引顾客的角度分析，方案乙更优，理由如下： 方案乙中奖概率更高，高概率会让顾客感觉 “中奖容易”，更愿意参与活动．(理由不唯一，合理即可) 11 7. (跨学科·物理)如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为(　　) D 2星题 中档练 12 8. (跨学科·化学)化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“Cl”“Na”“Ca”“O”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物NaCl(氯化钠)的概率是(　　) A 13 14 10. (真实情境)小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是________. 15 11．从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为________. 16 12．(8分)如图，管中放置着三根长度相同的绳子AA1，BB1，CC1. (1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是________； 17 (2)小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连成一根长绳的概率． 18 解：列表如下： 由表知共有9种情况，且每种情况发生的可能性相等，其中 能连成一根长绳的情况有6种， 所以这三根绳子能连成一根长绳的概率 . 19 13．(8分)(推 理 能 力　2025·无锡二模)在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图，在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部A、B、C、D共4个竖直的管道中. (1)小球从入口处投入，碰到②号铁钉的 概率是____________； 3星题 提升练 20 (2)小球从入口处投入，请用画树状图或列表的方法求出小球落入管道B的概率． 画树状图如图． 由树状图可知，一共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的有3种，所以小球落入管道B的概率为 21 A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. ＝. . A. B. C. D. A. B. C. D. 9.(创新题·新考法2025·山西中考)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________. 　 　 . $第26章 26.1　随机事件 1 核心必知 一定会 一定不会 可能性 1星题 基础练 1．[2025·芜湖模拟改编]小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是(　　) A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 A 3 2．有四个书架，每个书架上摆放着10本书，这些书除类别外其余都相同．若分别从每个书架上随意抽取1本，抽到的书是文学类书籍这一事件为必然事件，应选的书架是(　　) D 4 3．[2025·湖北中考]在下列事件中，不可能事件是(　　) A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 B 5 4．下列事件中，属于确定性事件的是(　　) A．364人中有2人的生日相同 B．在地球上，从地面往上抛出的篮球会落下 C．小华骑车去超市，经过某个十字路口时遇到红灯 D．掷一枚质地均匀的骰子，点数小于6 B 6 5．判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，将结果填在横线上. (1)你将长到5 m：________________； (2)中秋节晚上能看见月亮：____________； (3)地球上的海洋面积大于陆地面积：____________； (4)抛掷一枚质地均匀的1元硬币，反面朝上：____________． 不可能事件 随机事件 必然事件 随机事件 7 6．天气预报称，明天芜湖市全市降雨的概率为90%，下列理解正确的是(　　) A．明天芜湖市全市下雨的可能性较大 B．明天芜湖市全市有90%的地方会下雨 C．明天芜湖市全天有90%的时间会下雨 D．明天芜湖市一定会下雨 A 8 7. (跨学科·音乐)音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中的卡片如图所示(叠放的为相同卡片)，卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性最大的是(　　) A．C(哆)音符 B．F(发)音符 C．E(咪)音符 D．以上都不对 B 9 8．[2025·盐城期中]转动如图所示的转盘一周，指针落在________色区域的可能性最大. 黄 10 9．从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列：________. ②①③ 11 10．[2025·无锡二模]有下列说法：①“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；②“物体不受外力作用时保持静止或匀速直线运动状态”是确定性事件；③“没有水分，种子发芽”是随机事件；④“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是(　　) A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ A 2星题 中档练 12 11. (真实情境)3人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是(　　) A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 C 13 12. (真实情境)如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向______行驶的可能性最大．(填“东”“南”“西”或“北”) 西 14 13．(12分) (创新题·新考法)(1)某电视闯关游戏中，选手可以使用一次“排除一个错误选项”的权利．当他面对一道只有A、B两个选项的选择题(该题只有一个选项是正确的)时： ①他随意地选择一个选项，恰好选对是什么事件？ ②他使用了“排除一个错误选项”的权利后，他做对了这道题是什么事件？ 15 解：(1) ①他随意地选择一个选项，恰好选对是随机事件． ②他使用了“排除一个错误选项”的权利后，只剩下正确选项，他做对了这道题是必然事件． (2)请举一个类似的例子：改变某些条件后，随机事件变成确定事件. 解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6的事件是随机事件，改成“向上一面的点数不超过6”的事件就是必然事件．(答案不唯一) 17 14．(16分) (新课标·开放性问题)不透明的盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸1个球，摸三次，不放回．请你按要求设计出装球方案. (1)“摸到的3个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； 3星题 提升练 解：（答案不唯一）盒中装有红球2个、黄球8个. 解：盒中装有红球8个、黄球2个. 18 (3)“摸到2个黄球”是随机事件； (4)“摸到2个黄球”是确定性事件． 解：盒中装有红球8个、黄球2个. 解：盒中装有红球9个、黄球1个. 19 $第26章 26.3 用频率估计概率 1 核心必知 在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种不同结果出现的可能性不相等时，通常要通过大量重复的试验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的________去估计它的概率． 频率 1星题 基础练 1．[知识初练]在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(　　) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 3 2．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估计正面朝上的概率，其试验次数分别为10，50，100，200，其中试验相对科学的是(　　) A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 D 4 3．下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为(精确到0.01)(　　) A.0.33 B．0.31 C．0.29 D．0.30 D 转动转盘的次数 100 300 500 800 1 000 落在“谢谢参与”区域的次数 33 93 153 236 301 落在“谢谢参与”区域的频率 0.33 0.31 0.306 0.295 0.301 5 4．[2025·蚌埠模拟改编]某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图①所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图②所示．根据以上信息，图①中∠AOB的度数为(　　) A．45° B．60° C．72° D．75° C 6 5．如图，为测量平地上一块不规则区域(阴影部分)的面积，在不规则区域外画一个面积为4 m2的正方形，现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在0.4，由此可估计该不规则区域的面积为________m2. 1.6 7 6.(数 学 文 化　2025·合肥模拟)1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为k(k<a)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了：这个概率是 8 由此估计π的近似值为________(精确到0.01). 3.14 7.一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有____________枚白棋子. 20 2星题 中档练 10 8．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， 1 11 9．(12分)在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5个(除颜色不同外，其余均相同)，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复，下表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 12 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；(精确到0.1) (2)试估算口袋中红球有多少个； 0.6 解：由（1）可得摸到白球的概率约为 ，则口袋中白球有 （个）. 所以口袋中红球有 （个）. (3)请用画树状图法或列表法计算：从中先摸出1个球，不放回，再摸出1个球，这2个球颜色不同的概率． 解：画树状图如图. 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中2个球颜色不 同的结果有12种， 所以2个球颜色不同的概率为 . 10．(12分)(推 理 能 力2025·郑州一模)某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据并绘 制成如下统计图表. 3星题 提升练 15 乙种大豆亩产量统计表 亩产量/kg 260～280 280～300 300～320 频数 1 a b (1)填空：a＝________，b＝________； (2)根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量W(单位：kg)落在________范围内的可能性最大(填选项)． A．260≤W<280　B．280≤W<300 C．300≤W<320 3 4 C 16 (3)从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由． 应选择种植乙种大豆．甲种大豆产量波动明显，乙种大豆产量比较稳定，所以从大豆产量的稳定性的角度来看，应选择种植乙种大豆． 17 p＝.某数学兴趣小组做了这个试验来估计π的近似值．他们取k＝a，得到试验数据如下： n－m，则估计图中a的值为________． $第26章 26. 2 等可能情形下的概率计算 第1课时　简单概率的计算 1 核心必知 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性________，其中使事件A发生的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率为P(A)＝______，取值范围为________≤P(A)≤________． 相等 0 1 1星题 基础练 1. (立德树人·弘扬传统文化2025·湖北中考改编)窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是________. 3 2.(真 实 情 境　2025·深圳二模)将图①的三脚插头随机插到图②的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是(　　) A 4 3．[2025·合肥模拟]全班共有53名学生，其中有26名女生，27名男生，班级需选出1名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为(　　) D 5 4.(跨学科·英语　2025·龙岩一模改编)若在单词“mathematics(数学)”中任意选择一个字母，则事件“所选字母为元音字母”的概率是(　　) C 6 5．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 s，绿灯亮25 s，黄灯亮5 s．当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是(　　) D 7 6．[2025·合肥期末]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，一个小球在▱ABCD内自由滚动，它最终落在阴影部分的概率是(　　) A 8 7. (真实情境)点点从商店购买了四个“哪吒”形象的手办盲盒．若他任意打开一个盲盒，是“敖丙”形象手办的概率是P1，是“哪吒”形象手办的概率是P2，则(　　) A．P1＝1，P2＝1 B．P1＝0，P2＝1 B 9 8．下列说法中，正确的是(　　) A．不可能事件发生的概率为0 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50 A 10 9．事件A：打开电视，正在播广告；事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：合肥的夏天下雪．若这三个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系为______________________(用“<”连接). P(C) <P(A) <P(B) 11 10.(跨学科·化学　2025·佛山模拟)如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是(　　) C 2星题 中档练 12 11.[2021·安徽中考] 如图，在三条横线和三条竖线组成的图 形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这 些矩形中任选一个，则所选矩形含点 的概率是( ) D A. B. C. D. 13 12. (立德树人·弘扬传统文化 2025·蚌埠二模改编)算盘起源于中国，中间横梁把算珠分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字5，每颗下珠代表数字1.如图所示的算盘中，在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示的数恰是5的整数倍的概率为(　　) C 14 13.[2025·阜阳月考] 下列事件：①四个数2,3,5,4的中位数是4； ②任意画一个多边形，其外角和是 ；③方程 在 实数范围内有解；④翻开数学课本，恰好翻到第20页.其中概 率为1的事件有___个. 1 15 14．(8分) (新课标·开放性问题)向如图所示的等边三角形区域内扔沙包(区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同)，沙包随机落在某个等边三角形内. (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________； 16 14. 向如图所示的等边三角 形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角 形除颜色外完全相同），沙包随机落在某 个等边三角形内. （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为 ，还要涂黑几个 小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑. 17 解：还要涂黑2个.理由如下： 题图中共有16个相同的小等边三角形， 要使沙包落在图中阴影区域的概率为 ， 图中阴影部分的小等边三角形要达到 （个）.又 已经涂黑了6个， 还要涂黑 （个）. 如图所示.（画图不唯一） 18 3星题 提升练 15.［推理能力］在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红 球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀. （1）从中任意摸出1个球，摸到____球的概率大 （填“白”或“红”）； （2）从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是__； 红 19 （3）从口袋里取走个红球后，再放入 个白球，并充分摇 匀，若随机摸出白球的概率是，求 的值. 解：由题意得，口袋里红球和白球共有 （个），白球有 个， 则 ， 解得，故 的值为4. 20 A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. C．P1＝0，P2＝ D．P1＝P2＝ B．随机事件发生的概率为 A. B. C. D. A. B. C. D. $第26章 26.4 综合与实践 1 （第1题） 1.[2025·深圳模拟] 人类的性别是 由一对染色体 决定的，当 染色体为 时，是女性；当染色 体为 时，是男性.如图为一对 夫妻的性染色体遗传图谱，如果 C A. B. C. D. 这位妈妈怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是( ) 2 2. [2025·芜湖月考] 研究表明，生物的遗传性状 是由成对基因决定的，豌豆基因，中，为显性基因， 为 隐性基因.基因决定的豌豆是纯种黄色，基因 决定的豌 豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生的子一代 是黄色，将 子一代自交后基因为 的概率是( ) A A. B. C. D. 3 3．若控制酒窝的基因为A(显性，代表有酒窝)和a(隐性，代表无酒窝)，一对夫妇一个“有酒窝”，一个“没有酒窝”，这对夫妇有两个孩子且都“没有酒窝”，若他们再生一个孩子，则这个孩子“有酒窝”的概率为(　　) B A. B. C. D. 4 4. 用纯种的黑色兔子（BB）和纯种的白色兔子 杂交得到子一代，在完全显性遗传中，子一代自由交配产生 子二代，则子二代中为白色的概率是( ) A A. B. C. D. 5 5．(8分)生物体的性状通常是由一对基因控制的，当控制某种性状的一对基因都是显性或一个是显性、一个是隐性时，生物体表现出显性基因控制的性状；当控制某种性状的一对基因都是隐性时，隐性基因控制的性状才会表现出来．在单、双眼皮的性状遗传中，双眼皮由显性基因(A)控制，单眼皮由隐性基因(a)控制. 6 (1)如果一对夫妻的遗传基因均为Aa，且女士已怀孕，求小孩的眼睛为双眼皮的概率； 解：小孩的眼睛为双眼皮的概率为 . 7 (2)如果一对夫妻的遗传基因分别为Aa与aa，且女士已怀孕，求小孩的眼睛为单眼皮的概率． 解：小孩的眼睛为单眼皮的概率为 . 8 $第26章 26. 2 等可能情形下的概率计算 第3课时　概率的综合应用 1 核心必知 计算等可能情形下的概率的关键是确定所有可能性相同的结果总数n和使事件A发生的结果总数m，根据公式__________计算． 1星题 基础练 1．小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏(　　) A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 A 3 2．一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8，共8个数字，甲、乙根据转动停止后指针指向的数做游戏(指向分界线重新转)．下列规则不公平的是(　　) A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，谁先得到10分谁赢 C 4 3．[2025·黄山模拟改编]甲、乙两人用扑克牌(同一副)做游戏，若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图是甲、乙两人手中的扑克牌．若甲、乙分别从手中随机抽取一张，则可以组成一对的概率是(　　) A A. B. C. D. 5 4.点点妈妈早餐准备了2个肉包和1个菜包，如果点点先随机拿1个吃掉，再从剩下的拿1个，那么点点拿到1个肉包和1个菜包的概率是________. 6 5．如图，点点准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的(不同位置上的数字不同)，现随机输入这三个数，一次就能支付成功的概率为(　　) B 7 6．(8分)点点和妈妈周末去超市购物，满99元就可参与抽奖活动，抽奖箱里有5张券(3张没有奖，2张有奖)．点点不放回地连续抽两次： (1) 第一次就中奖的概率是________； (2)求两次都未中奖的概率. 设3张没有奖的券分别用A、B、C表示，2张有奖的券分别用D、E表示， 列表如下： 8 　　第一次 第二次　　 A B C D E A — (B，A) (C，A) (D，A) (E，A) B (A，B) — (C，B) (D，B) (E，B) C (A，C) (B，C) — (D，C) (E，C) D (A，D) (B，D) (C，D) — (E，D) E (A，E) (B，E) (C，E) (D，E) — 由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中两次都未中奖的有6种，所以两次都未中奖的概率为 2星题 中档练 7.[2025·金华模拟] 甲、乙、丙三名同学在练习互相传球，由 甲开始发球，并作为第一次传球，则第三次传球后，球传回 甲的概率为( ) B A. B. C. D. 10 解析： 点拨：画树状图如图所示. 由树状图可得，共有8种等可能的结果，其中第三次传球后， 球传回甲的结果有2种， 所以第三次传球后，球传回甲的概率是 . 11 8．[2025·阜阳模拟]A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为(　　) D 12 9．(8分) (新课标·开放性问题　2025·南通期末)不透明的盒中装有完全相同的球，分别标有A，B，C，从盒中随意摸出一个球，并自由转动如图所示的转盘(转盘被分为三个面积相等的扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：若所摸出的球上的字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得1分，若不同，则小刚获得1分． 你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公 平，该如何修改约定，才能使游戏对双方公平？ 13 解：这个游戏不公平. 理由如下：画树状图如图. 由树状图可得共有9种等可能的结果，其中字母相同的结果 有3种，字母不同的结果有6种， 所以小明获得1分的概率为 ，小刚获得1分的概率为 ， 所以这个游戏不公平. 约定可改为：如果所摸出的球上的字母与转盘停止后指针对 准的字母相同，则小明获得2分，如果不同，则小刚获得1分 （修改约定不唯一）. 10．(12分) (推理能力)文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的一个错误选项)． 3星题 提升练 16 (1)如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________； (2)如果小明决定第一道题不使用“求助”，第二道题使用“求助”，请用画树状图或列表的方法来分析小明通关的概率； 17 解：分别用A，B，C表示第一道 单选题的3个选项，，， 表 示剩下的第二道单选题的3个选 项，画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中小明通关的结果只有1种， 所以小明通关的概率为 . 18 解：建议小明在第一道题使用“求助”. (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几道题使用“求助”．(直接写出答案) 19 A. B. C. D. ＝. A. B. C. D. $