第二十五章 投影与视图 习题课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“投影”主题，系统呈现平行投影与中心投影的概念及应用。通过阳光下、灯光下的影子现象导入，从实际情境抽象出数学定义，再以基础到提升的梯度练习构建知识脉络，为学生提供循序渐进的学习支架。 其特色在于融入真实情境与创新题型，如“不同时刻影子排序”“路灯下影子作图”等，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过相似三角形推理计算灯杆高度，发展数学思维，结合画图操作与函数图象表达，强化数学语言应用。学生能提升空间观念与几何直观，教师可借助分层练习实施精准教学，提高课堂效率。

第25章 25. 1 投影 第2课时　正投影 1 核心必知 1.在平行投影中，投射线______于投影面而产生的投影叫做 正投影. 2.线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长______，垂直成一点. 3.平面图形正投影的规律：平行形不变，倾斜形______，垂 直成线段. 4.一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形，这个 正投影叫做这个几何体的______. 垂直 缩短 改变 视图 1星题 基础练 1．下列说法正确的是(　　) A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影 C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影 B 3 2.下面是矩形在水平面上的投影，属于正投影的是( ) A. B. C. D. A 4 3.如图，光线由上向下照射，该 几何体的正投影是( ) C A. B. C. D. 5 4. (真实情境)点点同学身高165 cm，那么点点同学的正投影的长(　　) A．小于165 cm B．等于165 cm C．大于165 cm D．小于或等于165 cm 【变式题】一根长为m的木棒在平行光线下形成的正投影的长度为3，则m的取值范围为________. D 解析： 点拨：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段， 长度为3，此时 ;当木棒与光线不平行时，正投影为一 条线段，长度为3，此时 . 6 5.如图，是线段 在投 影面上的正投影，已知 , ，则投影 的长为( ) A A. B. C. D. 7 解析： 点拨：如图，过点B作 ， 是线段 在投影面上的正投影， , ， 四边形 为矩形， ， , ， ， .故选A. 6．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是(　　) A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 D 10 【变式题】[2025·安庆期末]某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是(　　) ①矩形；②线段；③平行四边形；④圆；⑤长方体． A．①②③ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①⑤ B 11 7.投影线的方向如箭头所示，画出如图所示的正四棱锥的正 投影. 解：如图所示. 12 8. (真实情境)小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，当投影线由生日蛋糕的前方射到后方时，它的正投影应该是(　　) B 2星题 中档练 13 9.如图，将一块含 角的三角尺 的直角顶点放置于直线 上， 点，在直线 上的正投影分别为 点，，若, ,则 在直线 上的正投影的长是___________. 14 10.如图，正方形纸板在投影面 上 的正投影为，其中边， 与 投影面平行，， 与投影面不平行.若 正方形的边长为5， ， 求其投影 的面积. 15 解：过点作于点 . , . ∵正方形纸板ABCD在投影面α上的 正投影为A1B1C1D1，CD与投影面平行， ， . 易知四边形 是矩形， 四边形 的面积 . 3星题 提升练 11.操作与研究：如图， 被平行于的光线照射， 于点， 在投影面上. （1）图①中的投影是____，的投影是_____， 的投 影是____； 点 18 (2)探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB, 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 19 证明： 在 中， ， ， ， ， . 又 是公共角， ， ， . 20 (3)运用：如图③，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF. ①试利用射影定理证明△BOF∽△BED； 21 证明： 四边形 是正方形， , ， . 在中， ， ， ，， 即 .又 ， . 22 ②若DE＝2CE，求OF的长． 23 解： ，且 ， ，则 . 在中， ， 24 在 中， ， ， ，即 . $第25章 25. 2 三视图 第1课时　三视图及其画法 1 核心必知 1. 三视图的画法 长 主 上 高 左 右 宽 虚线 实线 2．在画三视图时，看不见的轮廓线应画成______，看得见的轮廓线应画成________． 1星题 基础练 1.[2025·开封一模]米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．图①是一种无盖米斗，其示意图(不记厚度)如图②所示，则其俯视图为(　　) B 4 2．[2025·深圳模拟]景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中的瑰宝．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是(　　) A 5 3．[2025·马鞍山二模]葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是(　　) A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同 A 6 4．如图所示的几何体的俯视图为(　　) C 7 5．[2025·湖北中考]“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是(　　) B 8 6．[2025·天津中考改编]由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为(　　) A 9 7.(8分)在下面的方格中画出如图所示(图中单位：cm)的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表1 cm. 解：如图． 10 8.(数 学 文 化2025·安徽二模)中国古代数学家刘徽为了计算球体体积创造了一个独特的立体几何图形，称之为牟(mòu)合方盖．可以简化理解为由两个直径相等的圆柱体相互叠加，如图①中间重合的部分．图②即为一个牟合方盖．按图示箭头方向进行观察，则俯视图为(　　) D 2星题 中档练 11 9. (创新题·新题型)一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过如图所示的“墙”上的3个空洞，则该几何体为(　　) B 12 10．[2025·合肥模拟改编]如图是由四个相同的小正方体搭成的几何体，它的三视图中面积最大的是(　　) A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．一样大 A 13 11．(8分)画出如图所示的组合体的三视图. 解：如图． 14 12．(8分) (空间观念)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数. (1)请画出该几何体的主视图和左视图； 解：(1) 如图所示． 3星题 提升练 15 (2)若允许从该几何体中拿掉部分小立方块，使得其左视图和俯视图保持不变，则最多可拿掉________个小立方块． 3 16 $第25章 25. 2 三视图 第2课时　棱柱与有关三视图的计算 1 核心必知 1．棱柱的所有侧棱长都____________，棱柱上、下两个底面是全等的多边形，直棱柱的侧面都是________． 2．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 相等 矩形 1星题 基础练 1.［知识初练］下列几何体中，是棱柱的是( ) A A. B. C. D. 3 2. 下面四幅图中，是三棱柱的展开图的是( ) A A. B. C. D. 4 3．如图是一个几何体的三视图，该几何体是(　　) A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 D 5 4．[2025·宣城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(　　) B 6 5．[2025·安庆模拟改编]如图所示的是三棱柱的三视图，在△EFG中，EF＝6 cm，EG＝10 cm，∠EGF＝30°，则AB的长为______cm. 5 7 6．一个长方体的三视图如图所示，主视图的面积为x2＋2x，左视图的面积为x2＋x，则长方体的表面积用含x的式子表示为(　　) A．x2＋3x＋2 B．3x2＋6x＋2 C．6x2＋12x＋4 D．6x＋6 C 8 点拨：由图可知长方体的高为x， ∵主视图的面积为x2＋2x＝x(x＋2) ，左视图的面积为x2＋x＝x(x＋1) ， ∴长方体的长为x＋2，宽为x＋1， ∴长方体的表面积为2(x＋2) (x＋1) ＋2x(x＋2) ＋2x(x＋1) ＝6x2＋12x＋4. 7．(8分)如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积(结果保留π). 解：该立体图形为圆柱． 由题可知圆柱的底面半径为10÷2＝5，高为10， ∴圆柱的体积V＝π×52×10＝250π. 10 8.[2025·安庆期末]一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是________cm3. 48 2星题 中档练 11 9. 上下底面 为全等的正六边形礼盒，其 主视图与左视图均由矩形构 C A. B. C. D. 成，主视图中大矩形的边长如图所示，左视图中包含两个全 等的矩形，如果用彩色胶带按如图所示包扎礼盒，所需胶带 长度至少为（取 ，结果保留整数）( ) 12 10．(12分)某工厂要加工一批上下底密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①. (1)该密封纸盒的形状是__________； (2)根据该密封纸盒的三视图，在图②中补全它的表面展开图； 正六棱柱 13 解：（答案不唯一）如图. 14 (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积．(结果保留根号) 15 解：由题图中的数据可知，密封纸盒的高为 ，底面边 长为 ， 密封纸盒的侧面积为 . 又 密封纸盒的两个底面面积之和为 ， 密封纸盒的表面积为 . 16 1.如图是由几个相同的小立方体组成的几何体 的三视图，则组成该几何体的小立方体有___个. 6 即时练透 17 2.一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，其俯视图和 左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方体的个数最少 是___． 5 18 $第25章 25. 1 投影 25.1.1 平行投影与中心投影 1 核心必知 1.一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面 上留下它的影子，这个影子称为物体的投影. 2.由______的光线所形成的投影为平行投影. 3.由________________发出的光线所形成的投影为中心投影. 平行 一点（点光源） 1星题 基础练 1．下列现象是物体的投影的是(　　) A．灯光下小猫映在墙上的影子 B．小明看到镜子里的自己 C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D．树叶掉在地上 A 3 2．[2025·芜湖月考]下列光线所形成的投影是平行投影的是(　　) A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线 A 4 3．[2025·太原模拟]下列四幅图中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图可能是(　　) A A. B. C. D. 5 4. (创新题·新角度)如图是王老师昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是(　　) A．小丽说：“早上8点” B．小强说：“中午12点” C．小刚说：“下午3点” D．小明说：“哪个时间段都行” C 6 5．在有阳光的某天下午，小明在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lm>ln>lr，则m、n、r的先后顺序是(　　) A．m、r、n B．m、n、r C．r、m、n D．r、n、m D 7 6．下列现象属于中心投影的有(　　) ①小孔成像；②皮影戏；③手影；④放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 8 7．[2025·安庆期末]下列是两根木杆在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是(　　) D A. B. C. D. 9 8．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是______层. 3 10 9．(8分)画出图中两根木杆在灯光下的影子. 解：如图，影子分别为 ， . 11 10.[2025·合肥期末]如图所示的是大树的影子随太阳转动的情况(上午8时至下午5时)，按时间先后顺序排列正确的是(　　) A．②④①③⑤ B．①②③④⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④② A 2星题 中档练 12 点拨：太阳是从东方升起， 故影子指向的方向为西方，依次 为西、西北、北、东北、东；期间，影长由长变短，再变长.观 察所给图形可得：按时间先后顺序应该是②④①③⑤.故选A. 11. (真实情境)某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图①所示，护栏与其拐角处在地面上的部分影子的俯视图如图②，已知∠MAD＝21°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为(　　) A．44° B．45° C．46° D．47° A 14 12．[2025·苏州模拟]如图，在直角坐标系中，点P(3，6)是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为(0，2)，(6，2)，则木杆AB在x轴上的投影长为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 B 15 13. (真实情境)如图所示的分别是两棵树及小英在不同光源下的影子情形． (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图____(用“①”或“②”填空)； (2)若阳光下小英的影子长为1.2 m，大树的影子长为7.2 m，小英身高1.6 m，则大树的高度是________m. ② 9.6 16 14．(12分) (新课标·过程性学习)综合与实践： 【画图操作】 (1)如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法)； 3星题 提升练 17 解：如图①所示. 【数学思考】 (2)如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为(　　) D A. B. C. D. 19 【解决问题】 (3)如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到点F处时，测得自己的影长FG＝4 m．已知小明的身高为1.6 m，求灯杆AB的高度． 20 解：如图②所示. ， ， ， ， . ， . ， ， ，解得 ， ， ， ， 灯杆的高度为 . $