专题15 认识二元一次方程组（期末培优，7个高频易错考点训练共21题）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末备考大讲堂

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了二元一次方程组的知识体系，将二元一次方程的定义、解、方程组的判断与解、参数问题、实际应用及几何应用等7个高频考点按“概念理解-基础应用-综合拓展”的逻辑组织，清晰呈现各考点的内在联系与重难点分布。 本讲义亮点在于分层设计21道高频易错训练题，涵盖选择、填空等题型，如结合篮球比赛得分情境列方程组培养模型意识，通过长方形分割几何问题发展几何直观。配套易错点梳理帮助学生规避思维误区，基础题巩固概念，综合题提升运算能力，既支持学生自主复习时查漏补缺，也为教师实施精准教学提供有效资源。

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为北师大版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题15 认识二元一次方程组 （期末培优，7个高频易错考点训练共21题） 目录 考点一二元一次方程的定义 3 考点二二元一次方程的解 4 考点三判断是否是二元一次方程组 5 考点四判断是否是二元一次方程组的解 8 考点五已知二元一次方程组的解求参数 10 考点六根据实际问题列二元一次方程组 12 考点七根据几何图形列二元一次方程组 14 考点一二元一次方程的定义 1．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【解答】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可求解． 本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【解答】解：A. ，是二元一次方程，故符合题意； B. ，最高次是二次，不是二元一次方程，故不符合题意； C. ，只含有一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题． D. ，不是整式方程，故不符合题意． 故选：A． 3．下列方程中，二元一次方程的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1，用排除法求出答案． 【解答】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意； ②符合二元一次方程的定义，故符合题意； ③不属于整式方程，故不符合题意； ④属于二元二次方程，故不符合题意； ⑤符合二元一次方程的定义，故符合题意； ⑥属于三元一次方程，故不符合题意． 故选． 【点评】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程． 考点二二元一次方程的解 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 5．若是关于的二元一次方程的解，则当时，的值是（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．将已知解代入方程求出a，再代入求解y的值即可． 【解答】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， 解得：， 故选：A． 6．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，将解代入方程得到，再将代数式变形为，利用整体代入法求解． 【解答】解：∵是方程的一组解， ∴代入方程得． 代数式可变形为： 将代入，得： ． 故选C 考点三判断是否是二元一次方程组 7．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义． 利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ④，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意； 故选：C． 8．下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判断即可； 【解答】解：A.中，x的次数是2，故A选项不符合题意； B.是二元一次方程组，故B选项符合题意； C.中y在分母上，故C选项不符合题意； D.中有3个未知数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键． 9．给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】① 是三元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③是二元一次方程组； ④是二元二次方程组； ⑤是分式方程组； ⑥是二元一次方程组 所以①④⑤不是二元一次方程组. 故选B. 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 考点四判断是否是二元一次方程组的解 10．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【解答】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 11．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【解答】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 12．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项中，的值代入原方程，取方程左边方程右边的选项即可． 【解答】、当时，方程左边右边，此选项符合题意； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 考点五已知二元一次方程组的解求参数 13．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【解答】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 14．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 15．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 【解答】解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 考点六根据实际问题列二元一次方程组 16．在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球，由题意知初二龚老师在一次比赛中14投10中得19分．若他投中了2个三分球，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球， 由题意得：， 故选：C． 17．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据根据得到电压表数量和电流表数量的等量关系，列出方程组即可． 【解答】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表， 根据题意有：， 故选：A． 18．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【解答】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 考点七根据几何图形列二元一次方程组 19．若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：与互补， ， ， ∴，解得：． 故选：B． 20．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【解答】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【解答】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为北师大版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题15 认识二元一次方程组 （期末培优，7个高频易错考点训练共21题） 目录 考点一二元一次方程的定义 3 考点二二元一次方程的解 3 考点三判断是否是二元一次方程组 4 考点四判断是否是二元一次方程组的解 5 考点五已知二元一次方程组的解求参数 6 考点六根据实际问题列二元一次方程组 6 考点七根据几何图形列二元一次方程组 7 考点一二元一次方程的定义 1．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，二元一次方程的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二二元一次方程的解 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若是关于的二元一次方程的解，则当时，的值是（    ） A． B．5 C． D．3 6．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 考点三判断是否是二元一次方程组 7．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 9．给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 考点四判断是否是二元一次方程组的解 10．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 11．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 考点五已知二元一次方程组的解求参数 13．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 14．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 15．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 考点六根据实际问题列二元一次方程组 16．在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 17．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 18．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 考点七根据几何图形列二元一次方程组 19．若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 20．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 21．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $