6.1基本平面图形高频考点清单十八大题型（专项训练）2025-2026学年人教版七年级数学上学期

6.1基本平面图形【8知识6能力4拓展】 【题型一】常见几何体 【例1】下列说法错误的是（   ） A．三棱锥共有4个面 B．棱柱的棱长都相等 C．柱体的两个底面一样大 D．圆锥由两个面围成 【答案】B 【难度】0.85 【来源】广东省佛山市顺德区大良街道梁开中学、顺峰中学、凤城实验中学等公办中学2025-2026学年七年级上学期联考期中数学试题 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】此题考查立体图形．根据柱体，锥体的定义及组成作答，明确柱体包括圆柱、棱柱；棱锥的侧面都是三角形． 【详解】解：A、三棱锥共有4个面（一个底面和三个侧面），说法正确，该选项不合题意； B、棱柱的棱长中，侧棱相等，但底棱长度可能不等（如长方体），原说法错误，该选项符合题意； C、柱体的两个底面一样大，说法正确，该选项不合题意； D、圆锥由一个底面和一个侧面围成，说法正确，该选项不合题意； 故选：B． 【变式1--1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】陕西省西安市西安高新第一中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：、可以抽象为圆柱，故本选项不符合题意； 、可以抽象为圆锥，故本选项不符合题意； 、可以抽象为棱柱，故本选项符合题意； 、可以抽象为棱锥，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1--2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【难度】0.85 【来源】甘肃省 兰州市第十一中学2025-2026学年上学期七年级期中数学试卷 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据它们的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条， 故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意 ∴ 不正确的是B， 故选：B． 【变式1--3】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第一章 丰富的图形世界（B卷�能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年七年级数学上册分层训练AB卷（北师大版，广东专用） 【知识点】常见的几何体、组合几何体的构成 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 【题型二】立体图形分类 【例2】观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【难度】0.65 【来源】广东省深圳高级中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【变式2--1】下面物品的体积最接近1立方分米的是（ ） A．书包 B．雪梨 C．橡皮 D．荔枝 【答案】B 【难度】0.94 【来源】2025年七年级数学秋季开学摸底考（河北专用） 【知识点】正方体、长方体的体积与容积、立体图形的分类 【分析】此题考查体积单位的实际应用，需要结合生活中的常见物体理解1立方分米的大小 【详解】解：A．书包的体积比1立方分米大得多，排除； B．雪梨的体积大约是1立方分米； C．橡皮的体积比1立方分米小得多，排除； D．荔枝的体积比1立方分米小得多，排除． 最接近1立方分米的是雪梨． 故答案为：B 【变式2--2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了简单几何体的认识，根据四棱锥，圆柱，正方体，圆锥的定义及图形对各选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，图形是四棱锥，故选项A中的名称与图形相符； 对于选项B，图形是圆柱，故选项B中的名称与图形相符； 对于选项C，图形是正方体，故选项C中的名称与图形相符； 对于选项D，图形是圆锥，故选项D中的名称与图形不相符． 故选：D． 【变式2--3】如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【难度】0.65 【来源】3.1 生活中的立体图形&3.2 立体图形的视图-【追梦之旅�大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步训练方案 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 【题型三】几何体的点、棱、面 【例3】一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【难度】0.65 【来源】辽宁省丹东市东港市2025-2026学年七年级上学期期中教学质量监测数学试卷 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查了棱柱的构成，准确分析计算是解题的关键． 直棱柱的棱数公式为（为底面边数），由给定棱数可求出，再根据面数公式计算面数． 【详解】设直棱柱的底面边数为， 直棱柱的棱总数为， ， ， 又直棱柱的面数由两个底面和个侧面组成， 总面数为； 故这个棱柱的面数为7个． 故选． 【变式3--1】下列立体图形中，有六个面的是（    ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】C 【难度】0.65 【来源】人教版（五四制）六年级数学下册 第10章 几何图形初步 单元测试卷 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据各项中几何体的上下底面和侧面综合进行判断即可． 【详解】解：三棱柱有5个面，故A错误； 圆锥有一个曲面和一个平面组成，故B错误； 四棱柱有6个面，故C正确； 圆柱有一个曲面和两个平面组成，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的特征，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键． 【变式3--2】.如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】第1章 基础测试卷 -【千里马�单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键； 根据面与面相交成线即可求解； 【详解】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共条线； 故选：B 【变式3--3】以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025年四川省泸州市702教育集团中考三模冲刺数学试卷 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 【题型四】从不同方向看 【例4】小明在桌上用一些小正方体搭了一个立体图形，从正面看到的平面图形如图1所示，从上面看到的平面图形如图2所示，那么从左面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山东省枣庄市第二实验学校2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试题 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，解题的关键是数形结合．根据正面看到的图形和上面看到的图形，得到此立体图形为两层，三列，两行，进而得到左面看到的图形有两行，由此解答本题即可． 【详解】解：∵从正面看到的平面图形如图1所示，从上面看到的平面图形如图2所示， ∴这些小正方体搭建的立体图形如图所示： ∴从左面看到的图形如图所示： ， 故选：D． 【变式4--1】如图，是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市长安区2019-2020学年七年级上学期数学期中考试试题（扫描版） 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查的是从不同方向看几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 根据从上面看到的形状图（俯视图）可知，该几何体从正面看有3列，从左到右每列小正方形的个数（高度）分别为2、3、1（俯视图第一列数字最大为2，第二列最大为3，第三列最大为1）． 【详解】 解：这个几何体从正面看到的图形是， 故选：． 【变式4--2】如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体描述正确的是（　　） A．从正面看和从上面看形状改变 B．从正面看形状改变，从左面看形状改变 C．从上面看和从正面看形状不变 D．从上面看和从左面看形状不变 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山东省枣庄市峄城区东方学校2025-2026学年七年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了几何体的特征，掌握相关的知识点是解决本题的关键． 结合几何体的形状，可得出从上面看和从左面看没有发生变化． 【详解】解：根据几何体的形状可得，从上面看和从左面看形状没有发生变化，只有从正面看形状变了， 故选D． 【变式4--3】一个几何体是由一些大小相同的小立方块组成，从左面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为　　个，最多为　　个（   ） A．3，7 B．4，8 C．5，6 D．5，7 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南省平项山市一高附属初中教育集团2025-2026学年上学期七年级第一次月考数学试题 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体．根据从左面看与上面看到的图形，得到搭成这个几何体的小立方块的最小和最多个数即可． 【详解】解：根据从上面看到，这个几何体的底层有4个小正方体， 从左面看到有两层， 第二层最小有1个小正方体，最多有3个小正方体， 所以最小有个小正方体，最多有个小正方体， 故选：D． 【题型五】正方体展开图的识别 【例5】如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【来源】河北省 张家口市怀来沙城中学2020-2021学年 七年级上学期数学期末模拟试卷 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即： “1-4-1”结构； “2-2-2”结构； “3-3”结构； “1-3-2”结构． 根据正方体展开图的11种特征，选项C属于“2-2-2”型，其他均不符合． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，选项C属于“2-2-2”型，是正方体展开图． 故选：C． 【变式5--1】已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】2025年河北省邯郸市馆陶县二模数学试题 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】观察由平面图形转化为正方体的变化求解．本题考查了几何体的展开与折叠问题．培养观察能力和空间想象能力． 【详解】解：将图中的平面图折成正方体， 观察图形可知图中的棱在图中的对应线段是． 故选：． 【变式5--2】如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，则再涂黑的小正方形的位置一共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【难度】0.94 【来源】山西省晋中市榆次区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了几何图形的初步，熟练掌握正方体的平面展开图是解题的关键． 分析正方体展开图的结构，常见类型如 “3-3”“--” 等，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断空白小正方形的位置． 【详解】解：如图，经过对网格中空白位置的分析，添加后能构成正方体展开图的位置共有4处，因此，再涂黑的小正方形的位置一共有4种． 故选：B． 【变式5--3】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河北省张家口市桥西区2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】根据正方体展开图分析即可求解． 本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键． 【详解】如图所示， 根据正方体展开图得，④的对面是⑤， ∴不能裁掉④． 故选：D． 【题型六】正方体相对面上的数字 【例6】亚太经合组织是亚太地区层级最高、领域最广、最具影响力的经济合作机制．2026年，中国将第三次担任亚太经合组织东道主，举办地花落深圳．将“相约深圳”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圳”字所在面相对的面上的是（   ） A．2026 B． C．相 D．约 【答案】B 【难度】0.94 【来源】广东省深圳高级中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：与“圳”字所在面相对面上的是“”， 故选：B． 【变式6--1】如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（    ） A．追 B．逐 C．梦 D．想 【答案】D 【难度】0.94 【来源】宁夏银川外国语实验学校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了几何体的展开图还原，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】解：根据正方体的展开图，将其折叠成正方体后，“追”字作为底面，“勇”是后面、“想”是前面，则与“勇”相对的字是“想”， 故选：D． 【变式6--2】亲爱的同学们，这是你进入中学后的首次大考，老师送给你一个正方体礼品盒（如图），六面上各有一字，连起来是“预祝考试成功”．其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】甘肃省兰州市五校联考2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟记正方体表面展开图的结构特点是解题的关键．根据正方体侧面展开图的结构特点，即每行或每列相邻的正方形代表正方体中相邻的面，相对的面在展开图中不相邻，对各个选项进行逐项分析即可． 【详解】A. 因为“成”的对面是“功”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“成”和“功”两字不相邻，故A选项错误； B. 因为“预”的对面是“考”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“预”和“考”两字不相邻，故B选项错误； C.因为“预”、“祝”、“成”三字相邻，代表正方体中三个相邻的面，且相对的面“预”和“考”、 “成”和“功”、 “祝”和“试”在展开图中都不相邻，故C选项正确； D. 因为“成”的对面是“功”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“成”和“功”两字不相邻，故D选项错误． 故选C． 【变式6--3】一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【答案】C 【难度】0.85 【来源】四川省嘉祥教育集团2025-2026学年七年级上学期期中质量监测数学试题 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．根据与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”，判断出“我”的对面文字是“嘉”； 与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”，判断出“是”的对面文字是“祥”． 【详解】解：由图可知，∵与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”， ∴“我”的对面文字是“嘉”； ∵与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”， ∴“是”的对面文字是“祥”， 故选：C． 【题型七】含图案的正方体的展开图 【例7】如图，正方体（被遮挡的面均未涂色）的展开图可能是下面的图形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】山东省临沂市河东区2024--2025学年上学期七年级数学期末试卷 【知识点】正方体几种展开图的识别、含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查正方体的侧面展开图，A属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，折成正方体后，两涂色面相对，排除；图形B属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，圆点所在面与正方形涂色面相对，排除；图C属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，涂色面相对，排除；图形D属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，三角形涂色面、正方形涂色面、圆点所在面都相邻，符合题意，从而确定答案，解题的关键是抓住这个正方体三角形涂色面积、正方形涂色面、圆点所在面相邻． 【详解】解：如图所示： 正方体（被遮挡的面均未涂色）的展开图可能是， 故选：D． 【变式7--1】表面带有图案的正方体展开图正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了立正方体展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 根据正方体上的图案，逐项判断即可． 【详解】解：先看A，C选项，假设带有●的面作为前面，带有■的面作为上面进行展开，展开后带有★的面应该在带有●的面的右方，所以A选项不对，C选项符合； 再看B，D选项，假设带有●的面作为前面，带■的面作为左面，展开展开后带有★的面应该在带有●的面的上方，所以B，D选项都不符合； 综上，所述选项C符合， 故选： C． 【变式7--2】如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】福建省三明市永安市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字、含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查立体图形平面展开图还原，熟记正方体的平面展开图，运用空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，若底面是4点，则上面是3点，就是面；后面是1点，则前面是6点，就是面；右面是2点，则左面是5点，就是面， 面应该是3点， 故选：B． 【变式7--3】小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市城阳第十七中学2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试题 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【详解】 解：由正方体的平面展开图可知，礼物所在的盒子是． 故选：B． 【题型八】平面图形旋转后所得的立体图形 【例8】如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式8--1】将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识，掌握常见几何体的形成是解题的关键．根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可． 【详解】解：A、平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体，故本选项符合题意； B、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； C、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； D、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式8--2】如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 【变式8--3】如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体，是基础考点，难度较易，考查学生的空间学习能力，掌握相关知识是解题关键． 根据平面图形旋转轴的定义及题目中的立体图形解题． 【详解】据所给的几何体，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是： 故选：B． 【题型九】几何体展开图的认识 【例9】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】 2025年山西省晋文源中考百校联考三数学试题 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 【变式9--1】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【来源】江西省2025年初中学业水平考试样卷（六）数学试题 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】此题主要考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】解：由侧面是3个矩形，上有1个三角形， 它的平面展开图可能为  ， 故选：B． 【变式9--2】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市虹桥初级中学2024-2025学年上学期七年级10月份月考数学试卷 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 【变式9--3】如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【答案】 14 14 【难度】0.65 【来源】第五章 走进几何世界（章节检测卷）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024） 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查长方体的相关知识．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可．能判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置是解决本题的关键． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 【题型十】由展开图计算几何体的表面积 【例10】如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市市南区部分学校2024-2025学年七年级上学期分班数学试题 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 【变式10--1】.如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山西省临汾市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】列代数式、由展开图计算几何体的表面积 【分析】该题考查了列代数式，根据长方体盒子的表面积纸片的面积四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方体盒子的表面积为， 故选：A． 【变式10--2】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【难度】0.85 【来源】山东省淄博市博山中学（五四制）2024-2025学年六年级上学期期中考试数学试题（五四学制） 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 【变式10--3】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛七年级试题 D卷 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 【题型十一】由展开图计算几何体的体积 【例11】综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市华英学校2025-2026学年 七年级 上学期期中段考数学试题 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长求解即可； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （2）解：根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． ∴长方体纸盒的体积为． 【变式11--1】如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【答案】785 【难度】0.85 【来源】第02讲 从立体图形到平面图形（5个知识点 8种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024） 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查的是长方形的面积与圆柱的体积公式，解题的关键是知道拼后的图形与圆柱的关系，再利用相应的公式解答．根据题意，知道长方体表面积增加的，是2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，由此即可求出圆柱的高，再利用圆柱的体积公式：求出这个圆柱的体积即可． 【详解】解：， ， 答：这个圆柱的体积是． 故答案为：785． 【变式11--2】同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)，； (2)这个纸盒的体积为． 【难度】0.65 【来源】福建省漳州第一中学2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了正方体展开图的折叠以及长方体体积的计算，熟练掌握正方体展开图的特征和长方体体积公式是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒展开图的折叠特征，分析点和边的重合情况． （2）先确定折成的无盖长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体体积公式计算体积． 【详解】（1）解：观察展开图折叠情况，可得与点重合的是点，与边重合的是边, 故答案为：，； （2）解：因为纸盒的长：， 纸盒的宽：， 纸盒的高：， 所以体积：， 答：这个纸盒的体积为． 【变式11--3】（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3） ① 8条棱，② 【难度】0.65 【来源】山东省青岛市城阳区景明学校2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试题 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、由展开图计算几何体的体积、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了几何展开图，一元一次方程的应用； （1）①画出示意图即可；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （2）根据长方形的面积减去4个边长为的正方形的面积即可得出盒子的表面积； （3）①根据平面图形得出剪开棱的条数； ②设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 纸盒的体积为 （2） 盒子的表面积为 （3）①小明共剪了8条棱， 故答案为：8． ②∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为，则长与宽相等为， ∵长方体纸盒所有棱长的和是， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为（）． 【题型十二】平面图形旋转后所得立体图形的体积 【例12】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体， （1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． 故答案为：小红 （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 【变式12--1】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 【变式12--2】如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 【变式12--3】已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 【题型十三】求展开图上两点折叠后距离 【例13】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【难度】0.65 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 【变式13--1】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2020-2021学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 【变式13--2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2025年河南省焦作市焦作中考二模数学试题 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式13--3】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【难度】0.85 【来源】2020-2021学年青岛版七年级数学上册第一单元 基本的几何图形 提升卷 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 【题型十四】用七巧板拼图形 【例14】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025年河北省唐山市迁安市中考二模数学试题 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 【变式14--1】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025年福建省宁德市宁德地区毕业毕班二模数学试题 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 【变式14--2】七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】上海市梅陇实验中学2024-2025学年六年级上学期数学12月月考试卷 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】此题主要考查了七巧板问题，分数的定义，解答此题的关键是要明确七块板的图形的特征．把整个图形的面积看作单位“1”，图中①号部分和②号部分的面积占整个图形面积的，图中①号部分和②号部分的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 【变式14--3】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年上学期七年级数学期末模拟试卷（二） 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第③块的倍，A选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，B选项不符合题意； 第①块的面积是整个面积的，C选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，D选项不符合题意， 故选∶C． 【题型十五】组合几何体的构成综合探究 【例1】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【难度】0.65 【来源】山东省青岛市市北区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】组合几何体的构成 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 【变式15--1】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【难度】0.85 【来源】第01讲 生活中的立体图形（3个知识点 5种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024） 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【变式15--2】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【难度】0.65 【来源】山东省青岛市市北区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】组合几何体的构成 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答 【变式15--3】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市2022-2023学年第3届超常（思维）竞赛七年级下学期数学试卷 【知识点】组合几何体的构成、平面图形形状的识别 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 【题型十六】从不同方向看几何体综合探究 【例16】阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正四面体 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市顺德区2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】常见的几何体、组合几何体的构成、几何体中的点、棱、面 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 【变式16--1】一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这个立体图形，最多用( )个小正方体，最少用( )个小正方体． 【答案】 7 5 【难度】0.65 【来源】陕西省咸阳市三原县2024-2025学年六年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从三个方面看立体图形，根据从正面及左面看得到的平面图形，运用空间想象能力构建出立体图形即可得到答案，能通过三个方面的平面图形尝试构建立体图形是解决问题的关键 【详解】 解：从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 首先可以确定这个立体图形底层有4，5或6个小正方体构成，而上层最只能有1个小正方体， 这个立体图形最多由7个小正方体搭成，立体图形最少由5个小正方体搭成， 故答案为：7，5． 【变式16--2】【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．如图1，你觉得图案 ___________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (2)小辰刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．如图2，设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ___________，高是 ___________（用含x的代数式表示）．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (3)小颖所在的综合实践小组折叠得到了6个棱长都为的无盖正方体纸盒，将它们摆成如图3所示的几何体． (4)①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 ___________个正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） 【答案】(1)②③ (2)，； (3)①；②3 【难度】0.65 【来源】山东省济南市槐荫区2024-2025学年上学期期中测试七年级数学卷 【知识点】列代数式、正方体几种展开图的识别、从不同方向看几何体 【分析】本题考查正方体的展开图，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的11种展开图，良好的空间想象能力，是解题的关键： （1）根据正方体的11种展开图，以及展开图中不能出现凹字形，田字形，进行判断即可； （2）观察图形可知，长方体的底面为边长为的正方形，高为cm，作答即可； （3）①用一个小正方体的体积乘以小正方体的数量，进行求解即可； ②根据保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，可以在第二层第一行的第1，第3，第4列各添加一个小正方形，即可得出结果． 【详解】（1）解：观察可知：第①个图形不能围成正方体，第②和第③个图形可以围成正方体； 故答案为：②③； （2）观察可知：长方体的底面为边长为的正方形，高为cm， ∴长方体的底面面积为：， 故答案为：，； （3）①几何体的体积为：； ②保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以在第二层第一行的第1，第3，第4列各添加一个小正方形，共3个； 故答案为：3． 【变式16--3】在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能进行统一研究，这时就需要对研究对象按照某个标准进行适当的归类划分，然后根据分类的情况逐类讨论汇总，得出问题的最终答案．这就是数学的一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论．请试用这个策略解决下面的问题． 用多个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．这样的几何体共有多少种摆法？各需要多个小立方体？请简要说明理由． 【答案】见解析 【难度】0.65 【来源】山东省烟台市栖霞市2024-2025学年六年级上学期数学期末试题 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从三个不同方向看几何体，熟练掌握作图，表面积的求解是解题的关键．根据从上面看的图形可得底面有5个小正方体，结合从正面和从上面看到的图形可得第二层“田”字上可能有2个或3个或4个或5个，进而可得答案． 【详解】根据从上面看的图形可得底面有5个小正方体，结合从正面和从上面看到的图形可得第二层可能有2个或3个或4个或5，共有7个、8个或9个或10个． 第二层可能有2个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要7个小立方体，有种摆法； 第二层可能有3个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要8个小立方体，有种摆法； 第二层可能有4个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要9个小立方体，有种摆法； 第二层可能有5个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要10个小立方体，有种摆法； 综上所述，共有种摆法， 【题型十七】几何体展开图的综合探究 【例17】综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 【答案】（1）表格见详解，图1；（2）共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 【难度】0.65 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年七年级上学期月考数学试题 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． 长() 宽() 高() 表面积() 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：； ； 第二类有三种情况，表面积分别为：； ； ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 【变式17--1】我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)如图①所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ． (2)图②中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第（1）题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长． (3)第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长． 【答案】(1) (2)58 (3)图见解析，外围周长为70 【难度】0.65 【来源】5.3 转化 表达（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂） 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据长方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6画出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有， 故答案为：； （2）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴圆B的外围周长； （3）解：观察展开图可知，外围周长为． 【变式17--2】国家为改善中小学生营养状况、促进中小学生发育成长、助力青少年健康成长，实施了“学生饮用奶计划”．学校积极响应国家政策，对寄宿生配置免费午餐奶．在数学活动课上，老师组织同学们对奶盒包装进行了以下探究活动． (1)活动一观察奶盒外包装： 如图是学校最终采用某小组设计的奶盒包装盒，在数学活动中，有四个小组提交了如下四种平面展开图，其中“学”、吸管孔以及条形码的相对位置符合包装盒的是（   ） (2)活动二  计算奶盒包装面积： 活动小组测量的奶盒长为，宽为长的一半，高为，则制作这样一个奶盒所需要的外包装纸的面积是___________．（用含a的代数式表示） (3)活动三  预算奶盒费用： 通过调查了解，制作这样一个奶盒需要费用元，现有两家工厂有意向制作奶盒并提出了两种优惠方案．甲厂方案：超过500个，超过部分的奶盒打8折；乙厂方案：超过1000个，超过部分的奶盒打6折；假设学校制作的奶盒数量为x个，且． ①若按甲厂方案，需要付款_______元；若按乙厂方案，需要付款________元．（用含x的代数式表示） ②若学校需要加工2000个奶盒，选择那个厂家制作更合适? 【答案】(1)C (2) (3)①；；②选择乙厂家制作更合适 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市平遥县2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】列代数式、整式加减的应用、几何体展开图的认识、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了展开与折叠，列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方体展开图的特征进行解答即可； （2）根据长方形的面积公式，进行解答即可； （3）①根据两个工厂的优惠方案列出代数式即可； ②将代入代数式，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：A．将展开图折叠成一个包装盒后，图中吸管孔的位置正好和“学”字在一端，不符合题意； B．将展开图折叠成一个包装盒后，图中条纹的位置与奶盒上的位置不同，不符合题意； C．将展开图折叠成一个包装盒后，符合题意； D．将展开图折叠成一个包装盒后，图中吸管孔的位置正好和“学”字在一端，不符合题意； 故选：C． （2）解：制作这样一个奶盒所需要的外包装纸的面积是： ； （3）解：①甲厂方案，需要付款元； 按乙厂方案，需要付款元； ②把代入得： 甲厂方案需要的费用为（元）， 乙厂方案需要的费用为（元）， ∵， ∴选择乙厂家制作更合适． 【变式17--3】项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． 【答案】(1)①481，②9 (2)D (3)①，②160 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市榆次区2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】几何体展开图的认识、有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了正负数应用，展开图折叠成几何体．解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，根据展开图确定出立体图形． （1）①80乘6甽超过与不足标准质量的总和；②比较超过或不足标准质量的大小，用最大数减去最小数； （2）能制作无盖的长方体画的展开图只有D； （3）①梱扎长方体礼盒的丝带构成两个长方形，周长分别为 ，，再加上打蝴蝶结要的丝带，即得丝带总长；②当时，代入①中结果，计算即得． 【详解】（1）①（g）； ②∵， ∴（g）； 故答案为：①487；②9； （2）A、可以做一个有盖长方体盒子； B、做不了无盖长方体盒子； C、只能做一个无盖三棱柱盒子； D、可以做一个无盖长方体盒子； 故答案为：D； （3）①（）； ②当时，（）． 故答案为：①；②160． 【题型十八】制作无盖长方体纸盒问题 【例18】【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【答案】（1）①；②；（2），见解析；（3）①见解析；② 【难度】0.65 【来源】福建省龙岩市上杭县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】列代数式、几何体展开图的认识、已知字母的值 ，求代数式的值、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查列代数式，几何体的展开与折叠； （1）①根据题意得底面是正方形，得到边长为，根据面积公式列出代数式即可；②先表示出底面长方形的宽，再根据周长的公式列出代数式即可； （2）依题意，得到，，再求出比值即可； （3）根据两种不同的设计图分别求出长方形纸板的面积，进行比较即可求出． 【详解】（1）①底面是正方形，边长为， ∴面积为：； ②底面长方形的宽为： 底面周长为：． （2）解：，理由如下 依题意，得 ∴ ∴ （3）①两种不同的设计图如下 ②图3中长方形纸板的面积为： 图4中长方形纸板的面积为： ∵ ∴厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【变式18--1】创意包装盒设计 活动任务 在手工制作课上，老师将同学们分成四组，分别给每组提供了一张边长为的正方形卡纸，要求大家通过裁剪、拼接的方式，将它制作成体积至少达到的无盖包装盒（卡纸厚度、剪切及接缝损耗均忽略不计）． 活动过程 素材1 勤学小组设计了一个如图1所示的方案，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒，（图中阴影部分为裁去的余料，下同．） 素材2 乐学小组准备在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的正方形，如图2，再沿虚线折合起来设小正方形的边长为，小组发现，如果剪去的小正方形的边长x的值改变，那么制成的无盖长方体包装盒的体积也会随之改变．当时，长方体的体积最大． 素材3 善学小组为了增加包装盒的体积，改进了勤学小组的方案，将裁剪下来的余料充分利用，重新拼接，得到新无盖长方体的设计方案，并出色地完成了任务． 素材4 创学小组考虑到包装盒作为吸引顾客的第一个惊喜，顾客也很愿意购买其他造型美观的包装盒，他们计划设计无盖圆柱体包装盒． 任务1：请你通过计算分析勤学小组与乐学小组的方案是否符合要求． 任务2：请在图3中画出善学小组的方案示意图，并求出包装盒的体积． 任务3：创学小组能完成任务吗？若能，请在图4中画出示意图，并通过计算说明方案的合理性；若不能，请说明理由，（半径取整数，取3.14） （要求：本任务将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“体积的最大值”给分，设计出体积最大的方案才可得满分） 【答案】任务1：不符合要求，见解析；任务2：；任务3：见解析 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市晋江市2024--2025学年七年级上学期期末质量抽测数学试卷 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体、圆柱的体积公式及长方体，圆柱的展开图及一元一次方程的应用，熟知常见几何体的展开图是解题的关键． 任务1：根据图形，结合长方体的体积公式分别计算比较即可解答； 任务2：根据长方体展开图，将减下的纸片如图拼接上去，再根据长方体的体积公式计算计较即可， 任务3：在正方形的一个角处裁剪一个直径为的圆作为圆柱体的底面，再沿虚线将剩下的部分裁剪成两个长方形，将其拼成一个长为、宽为的长方形作为圆柱体的侧面，根据将圆柱侧面展开长方形的长等于底圆周长，列出方程，求解出半径即可解题． 【详解】解：任务1：勤学小组的方案： ∵包装盒底面为正方形， ∴每个小长方形的宽为 ∴ ∵， ∴不符合要求； 乐学小组的方案： 当时， ． ∵， ∴不符合要求； 任务2：善学小组的方案： 阴影代表原裁下的余料，重新拼接后如图1所示， ． 答：包装盒的体积为 任务3：能，理由如下： 如图2，在正方形的一个角处裁剪一个直径为的圆作为圆柱体的底面，再沿虚线将剩下的部分裁剪成两个长方形，将其拼成一个长为、宽为的长方形作为圆柱体的侧面． ∵直径为， ∴圆柱的高为． 当时， 解得：， 根据实际，直径不超过，且为偶数， ∵半径取整数，即直径为整数， ∴底面圆的半径不超过， 当时， 则， 方案是合理的， 当时， 则， 方案是合理的， 当时， 则， 方案是不合理的， ∵， ∴当时，即半径为时，“体积最大”． 【变式18--2】综合与实践 七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面中，边______，边______（用含、的式子表示）． (2)“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为，且宽小于长．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况） (3)“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，组成的大长方体体积不变，但由于摆放位置的不同，使得表面积又不一样．请分别计算甲、乙两种方式组成的大长方体表面积，并比较哪一种方式的表面积更小，说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)甲种方式的表面积更小，理由见解析 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市南海区2024-2025学年上学期期末监测七年级数学试卷 【知识点】列代数式、整式加减的应用、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了列代数式、几何体的展开图、整式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由长方体展开图以及长方体即可得解； （2）根据长方体展开图即可得解； （3）分别根据图形表示出甲、乙的面积，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由图形可知，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图所示， （3）解：甲种方式的表面积更小，理由是： ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 【变式18--3】【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【难度】0.65 【来源】广东省河源市龙川第一实验学校2025-2026学年上学期七年级数学第一次月考试卷 【知识点】几何体展开图的认识、正方体几种展开图的识别、由展开图计算几何体的体积 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 试卷第2页，共54页 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1基本平面图形【8知识6能力4拓展】 【题型一】常见几何体 【例1】（25-26七年级上广东省佛山市顺德区.·期中）下列说法错误的是（   ） A．三棱锥共有4个面 B．棱柱的棱长都相等 C．柱体的两个底面一样大 D．圆锥由两个面围成 【变式1--1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 【变式1--2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【变式1--3】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【题型二】立体图形分类 【例2】（25-26学年七上广东省深圳.期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【变式2--1】（25年七年级上河北秋季开学）下面物品的体积最接近1立方分米的是（ ） A．书包 B．雪梨 C．橡皮 D．荔枝 【变式2--2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． 【变式2--3】如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【题型三】几何体的点、棱、面 【例3】（25-26学年七年级上辽宁省丹东期中）一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式3--1】下列立体图形中，有六个面的是（    ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 【变式3--2】.如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【变式3--3】（2025年四川省泸州市三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【题型四】从不同方向看 【例4】（25-26学年七年级上山东省枣庄市.月考）小明在桌上用一些小正方体搭了一个立体图形，从正面看到的平面图形如图1所示，从上面看到的平面图形如图2所示，那么从左面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式4--1】（2019-2020学年西安市长安区七年级上期中）如图，是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式4--2】（25-26七年级上山东省枣庄市峄城区.月考）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体描述正确的是（　　） A．从正面看和从上面看形状改变 B．从正面看形状改变，从左面看形状改变 C．从上面看和从正面看形状不变 D．从上面看和从左面看形状不变 【变式4--3】（25-26学年河南省平项山市七上.月考）一个几何体是由一些大小相同的小立方块组成，从左面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为　　个，最多为　　个（   ） A．3，7 B．4，8 C．5，6 D．5，7 【题型五】正方体展开图的识别 【例5】如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5--1】已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是（    ） A． B． C． D． 【变式5--2】如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，则再涂黑的小正方形的位置一共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式5--3】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型六】正方体相对面上的数字 【例6】亚太经合组织是亚太地区层级最高、领域最广、最具影响力的经济合作机制．2026年，中国将第三次担任亚太经合组织东道主，举办地花落深圳．将“相约深圳”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圳”字所在面相对的面上的是（   ） A．2026 B． C．相 D．约 【变式6--1】如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（    ） A．追 B．逐 C．梦 D．想 【变式6--2】亲爱的同学们，这是你进入中学后的首次大考，老师送给你一个正方体礼品盒（如图），六面上各有一字，连起来是“预祝考试成功”．其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6--3】一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【题型七】含图案的正方体的展开图 【例7】如图，正方体（被遮挡的面均未涂色）的展开图可能是下面的图形（   ） A． B． C． D． 【变式7--1】表面带有图案的正方体展开图正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式7--2】如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 【变式7--3】小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【题型八】平面图形旋转后所得的立体图形 【例8】如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式8--1】将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【变式8--2】如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 【变式8--3】如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型九】几何体展开图的认识 【例9】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式9--1】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式9--2】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【变式9--3】如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【题型十】由展开图计算几何体的表面积 【例10】如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【变式10--1】.如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10--2】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【变式10--3】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型十一】由展开图计算几何体的体积 【例11】综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【变式11--1】如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【变式11--2】同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 【变式11--3】（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【题型十二】平面图形旋转后所得立体图形的体积 【例12】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【变式12--1】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【变式12--2】如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【变式12--3】已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【题型十三】求展开图上两点折叠后距离 【例13】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【变式13--1】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【变式13--2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式13--3】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【题型十四】用七巧板拼图形 【例14】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式14--1】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【变式14--2】七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【变式14--3】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【题型十五】组合几何体的构成综合探究 【例1】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【变式15--1】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【变式15--2】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【变式15--3】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【题型十六】从不同方向看几何体综合探究 【例16】阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【变式16--1】一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这个立体图形，最多用( )个小正方体，最少用( )个小正方体． 【变式16--2】【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．如图1，你觉得图案 ___________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (2)小辰刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．如图2，设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ___________，高是 ___________（用含x的代数式表示）．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (3)小颖所在的综合实践小组折叠得到了6个棱长都为的无盖正方体纸盒，将它们摆成如图3所示的几何体． (4)①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 ___________个正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） 【变式16--3】在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能进行统一研究，这时就需要对研究对象按照某个标准进行适当的归类划分，然后根据分类的情况逐类讨论汇总，得出问题的最终答案．这就是数学的一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论．请试用这个策略解决下面的问题． 用多个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．这样的几何体共有多少种摆法？各需要多个小立方体？请简要说明理由． 【题型十七】几何体展开图的综合探究 【例17】综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 【变式17--1】我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)如图①所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ． (2)图②中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第（1）题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长． (3)第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长． 【变式17--2】国家为改善中小学生营养状况、促进中小学生发育成长、助力青少年健康成长，实施了“学生饮用奶计划”．学校积极响应国家政策，对寄宿生配置免费午餐奶．在数学活动课上，老师组织同学们对奶盒包装进行了以下探究活动． (1)活动一观察奶盒外包装： 如图是学校最终采用某小组设计的奶盒包装盒，在数学活动中，有四个小组提交了如下四种平面展开图，其中“学”、吸管孔以及条形码的相对位置符合包装盒的是（   ） (2)活动二  计算奶盒包装面积： 活动小组测量的奶盒长为，宽为长的一半，高为，则制作这样一个奶盒所需要的外包装纸的面积是___________．（用含a的代数式表示） (3)活动三  预算奶盒费用： 通过调查了解，制作这样一个奶盒需要费用元，现有两家工厂有意向制作奶盒并提出了两种优惠方案．甲厂方案：超过500个，超过部分的奶盒打8折；乙厂方案：超过1000个，超过部分的奶盒打6折；假设学校制作的奶盒数量为x个，且． ①若按甲厂方案，需要付款_______元；若按乙厂方案，需要付款________元．（用含x的代数式表示） ②若学校需要加工2000个奶盒，选择那个厂家制作更合适? 【变式17--3】项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． 【题型十八】制作无盖长方体纸盒问题 【例18】【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【变式18--1】创意包装盒设计 活动任务 在手工制作课上，老师将同学们分成四组，分别给每组提供了一张边长为的正方形卡纸，要求大家通过裁剪、拼接的方式，将它制作成体积至少达到的无盖包装盒（卡纸厚度、剪切及接缝损耗均忽略不计）． 活动过程 素材1 勤学小组设计了一个如图1所示的方案，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒，（图中阴影部分为裁去的余料，下同．） 素材2 乐学小组准备在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的正方形，如图2，再沿虚线折合起来设小正方形的边长为，小组发现，如果剪去的小正方形的边长x的值改变，那么制成的无盖长方体包装盒的体积也会随之改变．当时，长方体的体积最大． 素材3 善学小组为了增加包装盒的体积，改进了勤学小组的方案，将裁剪下来的余料充分利用，重新拼接，得到新无盖长方体的设计方案，并出色地完成了任务． 素材4 创学小组考虑到包装盒作为吸引顾客的第一个惊喜，顾客也很愿意购买其他造型美观的包装盒，他们计划设计无盖圆柱体包装盒． 任务1：请你通过计算分析勤学小组与乐学小组的方案是否符合要求． 任务2：请在图3中画出善学小组的方案示意图，并求出包装盒的体积． 任务3：创学小组能完成任务吗？若能，请在图4中画出示意图，并通过计算说明方案的合理性；若不能，请说明理由，（半径取整数，取3.14） （要求：本任务将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“体积的最大值”给分，设计出体积最大的方案才可得满分） 【变式18--2】综合与实践 七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面中，边______，边______（用含、的式子表示）． (2)“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为，且宽小于长．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况） (3)“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，组成的大长方体体积不变，但由于摆放位置的不同，使得表面积又不一样．请分别计算甲、乙两种方式组成的大长方体表面积，并比较哪一种方式的表面积更小，说明理由． 【变式18--3】【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 试卷第2页，共54页 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $