第七章 相交线与平行线专项培优习题课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中的拐点问题，通过例题引入作辅助线转化角度关系的方法，结合变式题从单个到多个拐点、内部到外部拐点逐步深化，构建递进式学习支架，衔接平行线性质与复杂角度计算。 其亮点在于以“作辅助线”为核心方法，通过实例（如环形公路拐弯角度和问题）培养学生几何直观与推理意识，规范解题步骤训练数学语言表达。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助分层例题高效开展教学，落实核心素养。

第七章　相交线与平行线 阶段练习(7.1—7.2) 1 返回 D 1. [广州期末]下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是(　　) 一、选择题(每题5分，共40分) 2 返回 2. [浙江中考]如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则(　　) A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91° B 返回 3. 如图，A，B，C三点在直线l上，点M在直线l外，若MA＝6 cm，MB＝4 cm，MC＝3 cm，则点M到直线l的距离可能是(　　) A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．6 cm A 返回 4. 如图①是小强奶奶编的竹篓，图②是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判定直线a∥b的是(　　) A．∠1＋∠4＝180° B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5 B 返回 5. [深圳中考]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　) A．22° B．32° C．35° D．122° B 返回 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOD＝32°，则∠EOF的度数为(　　) A．26° B．28° C．32° D．58° A 返回 7. 随着人工智能技术的进步，机器狗正变得越来越“聪明”．它们不仅能完成预设任务，还能通过机器学习不断优化自身行为．如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠CDE＝145°，此时∠BED的度数为(　　) A．80° B．85° C．90° D．95° C 返回 8. 将一副透明直角三角尺按如图方式放置，已知∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°. 下列结论：①∠1＝∠3； ②若∠2＝30°，则有AC∥DE； ③若∠2＝30°，则有BC∥AD； ④若∠2＝30°，则有∠4＝∠C． 其中正确的有(　　) A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ D 返回 9. [青岛市南区月考]如图，直线BF，DE被直线AC所截，则图中∠FAE的内错角是________. ∠AED 二、填空题(每题5分，共20分) 10 返回 10. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝30°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为________. 120° 11 返回 11. 如图，已知∠1＝∠2，还需要再添加一个条件：____________，可得AB∥EF. ∠D＝∠DGF (答案不唯一) 12 返回 12. [聊城期末]如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，现调节台灯使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝________. 68° 13 13. (12分)如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C． (1)指出DE，BG被BF所截形成的 同位角、内错角、同旁内角； (2)指出DE，BG被AC所截形成的内错角； (3)指出FB，BG被AC所截形成的同旁内角． 三、解答题(共40分) 解：(1)同位角：∠FAE和∠B；内错角： ∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B. (2)∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是内错角． (3)∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁内角． 返回 15 14. (14分)如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD． (1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数； 解：∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°. 又∵∠AOC＝36°， ∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝54°. (2)若∠BOD∶∠BOC＝2∶7，求∠AOE的度数. 解：∵∠BOD∶∠BOC＝2∶7，∠BOD＋∠BOC＝180°， ∴∠BOD＝40°. ∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝40°. 又∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝130°. 返回 17 15. (14分)如图，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3. (1)判断AB与CD是否平行，并说明理由； 解：AB∥CD.理由如下： ∵∠2＝∠3，∴CP∥FN， ∴∠C＝∠FND. 又∵∠C＝∠1，∴∠1＝∠FND，∴AB∥CD. (2)若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数. 解： ∵CP∥FN， ∴∠2＝∠EMF＝80°. ∵AB∥CD，∴∠FED＝∠D＝40°， ∴∠BEC＝∠2＋∠FED＝80°＋40°＝120°， ∴∠AEP＝∠BEC＝120°. 返回 19 $第七章　相交线与平行线 章末整合练 1 返回 A 1. [厦门期末]如图，直线a，b被直线c所截，下列角中，大小与∠1相等的是(　　) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2 返回 2. 如图，下列结论正确的是(　　) A．∠3与∠4是邻补角 B．∠1与∠4是同位角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠1与∠5是内错角 B 返回 3. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两个村庄，下面的四个方案中，管道长度最短的是(　　) A 返回 4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠DOE＋∠FOE＝90°.若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，则∠EOF的度数为(　　) A．30° B．60° C．45° D．75° B 返回 5. [苏州中考]如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为(　　) A．100° B．105° C．110° D．115° C 返回 6. 如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为(　　) A．45° B．55° C．60° D．65° B 返回 7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是(　　) A．∠1＝∠2 B．∠4＋∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 A 返回 8. 光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4＝______. 105° 9. (4分)中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字，如图②是由图①抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN.求证：∠EFN＝∠G. 10 返回 证明：延长EF交CD于点P. ∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EPD. 又 ∵∠AEF＝∠GHD， ∴∠EPD＝∠GHD，∴EP∥GH， ∴∠EFN＋∠FNG＝180°. 又∵GM∥FN，∴∠FNG＋∠G＝180°， ∴∠EFN＝∠G. 返回 10. 下列命题中，是真命题的是(　　) A．相等的两个角是对顶角 B．同位角相等 C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 D．若一个数能被2整除，则它也能被4整除 C 12 返回 11. 如图，已知AB∥CD，直线AD与直线BC有交点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是(　　) A．∠1与∠4 B．∠1与∠3 C．∠2与∠4 D．∠2与∠3 D 13 返回 12. 如图，已知线段DE是由线段AB平移得到的，且AB＝DC＝4 cm，EC＝3 cm，则三角形DCE的周长是(　　) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm D 14 返回 13. 如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH，HG＝12 m，WG＝4 m，WC＝2 m，则阴影部分的面积是________. 44 m2 14. (4分)如图，已知FC∥AB∥DE，∠α:∠D:∠B＝2:3:4.求∠α，∠D，∠B的度数. 返回 解：设∠α＝2x°，则∠D＝3x°，∠B＝4x°. ∵FC∥AB∥DE， ∴∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°， ∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x°，∠1＝180°－∠D＝180°－3x°. 又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°， ∴(180°－3x°)＋(180°－4x°)＋2x°＝180°，解得x＝36， ∴∠α＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°. 返回 15. 在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的2倍多30°，则∠B的度数是(　　) A．130° B．30°或150° C．30°或110° D．50° D 16. (12分)已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F. (1)如图①，若∠E＝80°，则∠BFD＝________； 140° 20 ∴∠ABE＝2∠ABF＝6∠ABM， ∠CDE＝2∠CDF＝6∠CDM， 易知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°， ∴6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°. 易证∠M＝∠ABM＋∠CDM， ∴6∠M＋∠E＝360°. 返回 22 (2)如图②，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； 解： 6∠M＋∠E＝360°. 证明如下：∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF， ∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM. ∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F， (3)若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，则∠M＝________．(用含有n，m的式子表示) $第七章　相交线与平行线 专项突破2　平行线性质与判定中的综合运用 1 返回 B 1. 如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG平分∠AEF，若∠1＝∠2＝80°，则∠3＝(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° 2 返回 2. 如图，AC⊥CD于点C，ED⊥CD于点D，AB∥EF，∠CAE＝25°，∠BAE＝10°，则∠DEF的度数为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° B 返回 3. 把一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° B 4. (4分)三角尺ABC(其中∠A＝30°，∠C＝90°)和三角尺DEF(其中∠E＝45°，∠EDF＝90°)按照如图所示的位置摆放，点D在边AC上，若AB∥EF，求∠FDC的度数. 返回 解：如图，过点D作DK∥AB. ∵AB∥EF，∴DK∥EF. ∠ADK＝∠A＝30°，∴∠EDK＝∠E＝45°， ∴∠ADE＝∠ADK＋∠EDK＝30°＋45°＝75°. ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDF＝180°－90°－75°＝15°. 返回 5. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角40°，书本与课桌的角度要保持在25°至40°，其几何示意图如图所示，其中AB∥ED，∠ABC＝40°，∠CDE＝35°，则视线BC和书本所在平面CD所成的角度∠BCD是(　　)   A．55° B．65° C．75° D．85° C 6. (4分) 高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板(如图①)．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图②所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，请计算这个定值. 返回 解：如图，过点B作BF∥AE， ∵CD∥AE，∴BF∥CD， ∴∠BCD＋∠CBF＝180°. ∵AB⊥AE，∴∠EAB＝90°. ∵BF∥AE，∴∠ABF＋∠EAB＝180°. ∴∠ABF＝180°－90°＝90°， ∴∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠CBF＋∠BCD＝270°. 7. (4分)如图，MN，EF分别表示两个互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 返回 解：AB∥CD，理由如下： ∵MN∥EF，∴∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4. ∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°， ∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD. 8. (8分)如图，AD∥EF，点B，C分别在EF和AD上， ∠A＝∠ABC，BD平分∠CBF. (1)试说明：AB⊥BD； 解：∵AD∥EF，∴∠ABE＝∠A. 又∵∠A＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC. ∵BD平分∠CBF，∴∠CBD＝∠FBD. 又∵∠ABE＋∠ABC＋∠CBD＋∠FBD＝180°， ∴∠ABC＋∠CBD＝90°， 即∠ABD＝90°，∴AB⊥BD. (2)过点B作BG⊥AD于点G，试说明：∠ACB＝2∠ABG. 解：∵BG⊥AD，AD∥EF， ∴∠EBG＝∠BGC＝90°，∠ACB＝∠CBF， ∴∠EBA＋∠ABG＝90°，∴∠ABG＝90°－∠EBA. 由(1)可得∠ABD＝90°，∴∠EBA＋∠DBF＝90°， ∴∠DBF＝90°－∠EBA，∴∠ABG＝∠DBF. ∵BD平分∠CBF，∴∠CBF＝2∠DBF， ∴∠ACB＝∠CBF＝2∠DBF＝2∠ABG. 返回 14 9. (12分)【问题情境】在综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动．已知直线AB∥CD，E是AB和CD之间的任意一点，连接BE，CE，请完成下面的任务． 【任务1】(1)如图①，若∠B－∠C＝90°， 则线段BE与CE的位置关系是__________． 垂直 15 【任务2】(2)如图②，延长CE至点F，试说明：∠1＝∠B－∠C(提示：过点E作EH∥AB)． 解：过点E作EH∥AB(H在E的右侧)， 则∠B＋∠BEH＝180°. ∵∠1＋∠BEH＋∠CEH＝180°， ∴∠1＋∠BEH＋∠CEH＝∠B＋∠BEH.∴∠1＋∠CEH＝∠B. ∵AB∥CD，∴EH∥CD. ∴∠CEH＝∠C. ∴∠1＋∠C＝∠B，即∠1＝∠B－∠C. 16 【任务3】(3)如图③，连接BD，AC，E是∠ABD和∠ACD的平分线的交点．若∠1＝54°，∠2＝66°，请直接写出∠E的度数. ∠E＝150°. 返回 17 $第七章　相交线与平行线 微专项1 利用平移的性质解决周长或面积问题的基本模型 1 B 1. [天津期末]如图，在一块长为11 m、宽为6 m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，则这块草地青草覆盖的面积是(　　) A．66 m2 B．60 m2 C．55 m2 D．50 m2 2 2. 小明家新建了一栋楼房，装修时准备在楼梯上铺设地毯，已知这种地毯每平方米的售价为50元，楼梯宽 1 m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要_____元． 160 3. 如图①，从一个边长为4的正方形纸片上剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图②所示的图形．若图②中图形的周长为22，则a的值是________． 1.5 4. 邢台月考]如图，一块长为18 m、宽为12 m的草地上有一条宽为2 m的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是______________m2. 160 $第七章　相交线与平行线 专项突破1　平行线中的拐点问题 1 例 如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝(　　) A．180° B．270° C．360° D．540° C 变式1 (4分)如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的数量关系，并说明理由. 解：∠BED＝∠B＋∠D.理由如下： 过点E向右作EF∥AB，则∠B＝∠BEF. ∵AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠DEF＝∠D. ∵∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠BED＝∠B＋∠D. 返回 C 1. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝35°，∠3＝155°，则∠2的度数为(　　) A．50° B．55° C．60° D．65° 4 返回 2. D 返回 3. (4分)如图，已知∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°.请问：AB与CD平行吗？请说明理由. 解：AB∥CD.理由如下： 如图，过点E作EF∥CD， ∴∠FEC＝∠DCE＝35°. ∵∠BEC＝95°，∴∠BEF＝95°－35°＝60°. ∵∠ABE＝120°，∴∠ABE＋∠BEF＝180°， ∴AB∥EF. 又∵EF∥CD，∴AB∥CD. 变式2 (8分)已知AB∥CD，E为AB，CD外部的任意一点． (1)如图①，探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，并说明理由． 解：∠BED＝∠B－∠D. 理由如下： 过点E向右作EF∥AB，∴∠BEF＝∠B. ∵AB∥CD，∴EF∥CD. ∴∠D＝∠DEF. ∵∠BED＝∠BEF－∠DEF，∴∠BED＝∠B－∠D. (2)如图②，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，并说明理由. 解：∠CDE＝∠B＋∠BED. 理由如下：过点E向右作EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF. ∵AB∥CD，∴EF∥CD. ∴∠CDE＝∠DEF. ∵∠DEF＝∠BEF＋∠BED， ∴∠CDE＝∠B＋∠BED. 8 返回 4. 如图，AB∥CD，则下列各式等于180°的是(　　) A．∠1＋∠2＋∠3 B．∠2－∠1＋∠3 C．∠1－∠2＋∠3 D．∠1＋∠2－∠3 D 返回 5. (4分)如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数. 解：如图，过点C作CF∥AB. ∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF，∠ABC＝∠BCF. ∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°. ∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°. ∴∠ABC＝∠BCF＝72°. 变式3 (4分)如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数. 解：如图，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 由题意知AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°， ∠HDE＋∠E＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋ ∠HDE＋∠E＝180°×3＝540°， 即∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°. 返回 6. 如图，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝(　　) A．180° B．360° C．450° D．540° D 返回 7. 如图，AB∥EF，∠C＝90°，那么x，y和z的关系是(　　) A．y＝x＋z B．x＋y－z＝90° C．x＋y＋z＝180° D．y＋z－x＝90° B 8. (4分)如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 返回 解：如图，过点B作BM∥OA，延长BC到点P. ∵BM∥OA，OA∥CN，∴BM∥CN. ∵第一次向右拐75°，∴∠A＝105°， ∴∠ABM＝∠A＝105°. ∵∠ABC＝135°，∴∠MBC＝30°. 又∵BM∥CN，∴∠NCP＝∠MBC＝30°. ∴第三次应向左拐30°. 返回 9. (8分)(1)如图①，若AB∥CD，则∠E＋∠G________∠B＋∠F＋∠D (填“>”“<”或“＝”)． (2)如图②，若AB∥CD，则能得到什么结论？请直接写出结论. ＝ 解：∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝ ∠E1＋∠E2＋…＋∠En. 17 如图，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，若∠E＝66°，则∠F的度数为(　　) A．22° B．30° C．33° D．44° $