第七章 相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦相交线中的邻补角和对顶角，通过剪刀模型、量角器测量等生活实例导入，衔接直线与角的基础概念，为后续平行线学习铺垫，以例题、变式题和中考题构建学习支架。 其亮点在于结合实际情境培养数学眼光，通过角度推理计算发展数学思维，借助规律探究提升抽象能力与创新意识。包含教材变式题和中考题，帮助学生巩固应用知识，教师使用可系统覆盖知识点，提升教学效率。

第七章　相交线与平行线 7．4 平移 1 返回 B 1. 下列生活现象中，属于平移的是(　　) A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉 C．方向盘的转动 D．钟摆的摆动 2 返回 2. C 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　) 返回 3. D 如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，下列结论中不一定成立的是(　　) A．AA′∥BB′ B．BB′∥CC′ C．AA′＝BB′ D．BC＝A′C′ 返回 4. D 如图，三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，已知BC＝5，EC＝1，则平移的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 返回 5. 150° 如图，将三角尺ABC沿BC方向平移，得到三角尺A′CC′.已知∠B＝30°，∠ACB＝90°，则∠BAA′的度数为________. 返回 6. 如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2 cm到三角形DEF的位置，连接CF. (1)图中所有平行线有__________________________； (2)图中与AD相等的线段有________，它们的长度为________. AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF CF，BE 2 cm 返回 7. C 下列平移作图错误的是(　　) 返回 8. 解：平移后的四边形A′B′C′D′如图所示． (4分)[教材P29练习T2变式] 如图，平移四边形ABCD，使点A移动到点A′，画出平移后的四边形A′B′C′D′. 9. 解：如图，三角形 A1B1C1即为所求． (8分)[教材P29练习T1变式] 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个三角形ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合． (1)将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形A1B1C1，请在方格纸中画出三角形A1B1C1； 10 (2)求出三角形A1B1C1的面积. 返回 11 返回 10. C 如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3等于(　　) A．70°　　 B．100° C．110°　　 D．80° 12 返回 11. C 如图，三角形ADE是由三角形DBF沿BD所在的直线平移得到的，AE，BF的延长线交于点C，若∠BFD＝45°，则∠C的度数是(　　) A．43° B．44° C．45° D．46° 13 返回 12. 30 如图，将三角形DEF沿FE方向平移3 cm得到三角形ABC，如果三角形DEF的周长为24 cm，那么四边形ABFD的周长为________cm. 14 返回 13. 16 如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，再将4个图④拼成图⑤，则图⑤的面积是________. 返回 14. 32.5 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，DF与BC交于点G.已知BE＝5，EF＝8，CG＝3，则图中阴影部分的面积为________. 15. 解：如图，三角形A′B′C′， AA′，BB′即为所求． (12分)[教材P29练习T1变式]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，点A′如图所示，连接AA′，BB′. (1)根据题意，补全图形； (2)图中∠A′AB和∠ABB′的数量关系是_______________________； (3)在BB′上画出一点P，使得∠PA′B′＝∠ABC． 互补 解：如图，根据网格特点，过点A′作A′P∥B′C′， 交BB′于点P，点P即为所求． 返回 18 解：S三角形A1B1C1＝2×4－×1×2－×1×4－×2×2＝8－1－2－2＝3. $第七章　相交线与平行线 7．2 平行线 7．2.3 平行线的性质 第2课时　平行线的性质与判定的综合运用 1 返回 B 1. [教材P36复习题T8(2)变式] 如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为(　　) A．75° B．105° C．115° D．130° 2 返回 2. C 如图，已知∠1＝∠2，∠ABC＝125°，则∠C的度数为(　　) A．62.5° B．65° C．55° D．125° 返回 3. B 一个由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案如图所示．若∠1＝135°，∠2＝45°，∠3＝140°，则∠4的度数是(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° 返回 4. C 如图，AD∥BC，E是线段CD的延长线上一点，∠1＋∠B＝180°，则下列结论正确的是(　　) A．∠1＝∠B B．∠A＝∠B C．AB∥CD D．∠ADC＝∠C 返回 5. 72 如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝________°. 返回 6. 75° 如图，直线AB∥CD，∠1＝∠3，∠C＝50°，∠2＝25°，则∠BED的度数是________. 7. CE 同旁内角互补，两直线平行 把下面的说理过程补充完整： 已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠C＝∠D． 试说明：∠A＝∠F. 解：∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴BD∥____(___________________________)． ∴∠C＝∠ABD(___________________________)． ∵∠C＝∠D(已知)， 两直线平行，同位角相等 返回 ABD 等量代换 ∴∠D＝∠________(___________________________)． ∴AC∥DF(______________________________)． ∴∠A＝∠F(____________________________________)． 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 返回 8. 解：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2，∴AC∥DE， ∴∠EBC＝∠E，∴∠A＝∠E. (4分)如图，AD∥BE，∠1＝∠2，试说明：∠A＝∠E. 返回 9. 解：∵AC∥EF， ∴∠1＋∠FAC＝180°. ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠BDC. (4分)如图，已知AC∥EF，∠1＋∠2＝180°，试说明：∠FAB＝∠BDC． 11 返回 10. D 如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A＝90°，若∠1＝25°，则∠2等于(　　) A．70° B．65° C．25° D．20° 12 返回 11. 60 如图，点D为三角形ABC外一点，连接AD，BD，∠ABC＋∠DAB＝180°，AC平分∠DAB，∠CBD＝3∠ABD，若∠C＝50°，则∠CBD的度数为________°. 13 返回 12. 73 [咸宁期末]为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．如图是一辆共享单车放在水平地面上的简易示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝55°，∠BAC＝52°.当∠MAC＝________° 时，AM与BC平行. 14 13. 解：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠AMN＝∠MNF＝90°， ∴AE∥FG，∴∠2＝∠A. 又∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1，∴AB∥CD. (8分)如图，AE⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为M，N，∠1＝∠2，∠D－40°＝∠3，∠CBD＝80°. (1)试说明：AB∥CD； 解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3，∠ABD＋∠D＝180°. ∵∠D－40°＝∠3，∴∠D＝∠3＋40°， ∴∠3＋∠CBD＋∠3＋40°＝180°. 又∵∠CBD＝80°，∴∠3＝30°， ∴∠C＝30°. (2)求∠C的度数. 返回 16 14. (12分)老师在课上提出了一个问题：“如图①，已知AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P.当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．”   　甲、乙、丙三名同学分别用如图②、图③、图④所示的不同的方法添加辅助线解决问题． (1)补全甲同学的分析思路．辅助线：过点F作MN∥CD． 分析思路： ①欲求∠EFG的度数，由图可知，只需转化为求________与________的度数之和； ②由辅助线作图可知，∠2＝∠1； ③由AB∥CD，MN∥CD可以推出______________，由此可推出∠3＝∠4； ④由EF⊥AB，可得∠4＝90°，则可得∠3的度数，从而可求∠EFG的度数． ∠2 ∠3 AB∥MN 18 (2)请根据乙同学所作的辅助线，补全求解过程． 解：过点P作________，交AB于点N. ∴________＝∠EFG(两直线平行，同位角相等)． ∵EF⊥AB，∴∠BOF＝90°. ∴∠BNP＝∠BOF＝90°(_______________________)． ∵AB∥CD，∴∠NPD＋∠BNP＝180°(__________________________)．∴∠NPD＝90°. ∴∠EFG＝∠NPG＝∠NPD＋∠1＝____． NP∥EF ∠NPG 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同旁内角互补 120° 19 解：∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON， ∠ONC＝∠1＝30°. ∵AB∥CD，∴∠BON＝∠ONC＝30°. ∵EF⊥AB，∴∠EOB＝90°， ∴∠EFG＝∠EON＝∠EOB＋∠BON＝90°＋30°＝120°. (3)请根据丙同学所作的辅助线，求∠EFG的度数. 返回 20 $第七章　相交线与平行线 7．2 平行线 7.2.1 平行线的概念 1 返回 D 1. 下列生活实例中不存在平行线的是(　　) A．斑马线 B．百米跑道线 C．铁轨 D．彩虹 2 返回 2. D 下列表示方法正确的是(　　) A．a∥A　 B．AB∥cd　 C．A∥B　 D．a∥b 返回 3. C [保定月考]如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　) A．a B．b C．c D．d 返回 4. D 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 返回 5. D 下列说法中，正确的是(　　) A．在同一平面内，没有公共点的两条线段平行 B．在同一平面内，没有公共点的两条射线平行 C．没有公共点的两条直线互相平行 D．互相平行的两条直线没有公共点 返回 6. B 如图，利用三角尺和直尺可以准确地画出直线AB∥CD，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是(　　) ①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线CD； ④作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 返回 7. 解：(1)如图①.　 (2)如图②. (8分)用直尺和三角尺画平行线． (1)如图①，O是直线AB外一点，过点O画直线DE∥AB； (2)如图②，在∠AOB内有一点P，过点P分别画l1∥OA，l2∥OB． 返回 8. C 如图，在同一平面内，经过一点作已知直线l的平行线，可作(　　) A．1条 B．2条 C．0条或1条 D．无数条 返回 9. B 三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是　(　　) A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b或a∥b D．无法确定 10 返回 10. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 如图是一个可折叠晾衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一条直线上，这样判定的依据是___________________________________________. 11 返回 11. ∥ 如图，已知AB∥CD，过点F作EF∥AB． 因为AB∥CD，所以EF________CD (__________________________________________). 如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行 12 返回 12. C 如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m和n，则m＋n的值为(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．无法确定 13 返回 13. A [淄博张店区期末]如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 返回 14. 相交 如图是一个风车示意图，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD所在直线与地面MN________(填“平行”或“相交”)，理由是___________________________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 返回 15. 平行 在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上. (1)a与b没有公共点，则a与b________； (2)a与b有且只有一个公共点，则a与b__________； (3)a与b有无数个公共点，则a与b__________. 相交 重合 返回 16. ∥ [教材P21习题T13变式]观察如图所示的长方体． (1)用符号表示下列两条棱的位置关系： AB____EF，DA____AB，HE____HG，AD____BC；(填“∥”或“⊥”) (2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们________平行线(填“是”或“不是”)，由此可知，在________内，两条不相交的直线才能叫作平行线. ⊥ ⊥ ∥ 不是 同一平面 17. 解：(1)过点P作AB的平行线交AC于点T，如图． (2)过点C作MN∥AB，如图． (12分)如图． (1)过BC上一点P作AB的平行线交AC于点T； (2)过点C作MN∥AB； 返回 解：MN∥PT.理由如下： 因为PT∥AB，MN∥AB， 所以MN∥PT. (3)直线PT，MN有何种位置关系？试说明理由. 18. (8分)问题：两条直线可以将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想(填“转化”“分类”或“整体处理”)； (2)三条直线可以将平面分成几部分？ 分类 解：如图所示． 由图可知，三条直线可以将平面 分成四部分或六部分或七部分． 返回 21 $第七章　相交线与平行线 7．1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 1 返回 B 1. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是(　　) A．∠2　 B．∠3　 C．∠4　 D．以上都不对 2 返回 2. A 如图，∠B与∠1是一对(　　) A．内错角 B．同旁内角 C．同位角 D．对顶角 返回 3. C 下列各图中，∠1和∠2是同旁内角的是(　　) 返回 4. D 数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示(两只大拇指代表被截直线，食指代表截线)． 从左至右依次表示(　　) A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 返回 5. ∠2 根据图形填空： (1)若ED，BC被AB所截，则∠1和________是同位角； (2)若ED，BC被AF所截，则∠3和________是内错角； (3)∠1和∠3是AB，AF被________所截形成的内错角； (4)∠2和∠4是AB，________被BC所截形成的________角. ∠4 ED AF 同位 6. (4分)[教材P9习题T7变式]如图，∠1与∠D，∠1与∠B，∠3与∠4，∠B与∠BCD，∠2与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们分别是什么位置关系的角？ 返回 解：∠1与∠D是直线BA和直线CD被直线AD所截得到的内错角；∠1与∠B是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的同位角；∠3与∠4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角；∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所截得到的同旁内角；∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线AC所截得到的同旁内角． 返回 7. 80° 如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于________，∠1的内错角等于________，∠1的同旁内角等于________. 80° 100° 返回 8. C 如图，若∠1＝∠2，则下列各对角：①∠3和∠2； ②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8，其中相等的有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9. 解：∠1与∠4是同位角； ∠1与∠2是内错角；∠1与∠5是同旁内角． (8分)[教材P7例3变式]如图，直线CD与∠AOB的边OB相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角； 11 解：∠1与∠4相等，∠1与∠5互补． 理由如下：因为∠1＝∠2，∠2＝∠4， 所以∠1＝∠4. 因为∠2＋∠5＝180°，∠1＝∠2， 所以∠1＋∠5＝180°，即∠1与∠5互补． (2)如果∠1＝∠2，那么∠1与∠4相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？ 返回 12 返回 10. A 阳江风筝是流传于广东省阳江市的传统手工技艺，已有1 400余年的历史．如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是(　　) A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 13 返回 11. D 如图，下列说法正确的是(　　) A．∠1与∠2是对顶角 B．∠2与∠6是同位角 C．∠2与∠4是内错角 D．∠3与∠5是同旁内角 14 返回 12. A 英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角(不考虑字母宽度)，下列字母中含同旁内角最多的是(　　) 15 返回 13. ① 如图，有下列结论： ①能与∠DEF构成内错角的角有2个； ②能与∠BFE构成同位角的角有2个； ③能与∠C构成同旁内角的角有4个． 其中正确结论的序号是________. 14. 解：画图如图所示． (8分)两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角． (1)根据上述条件，画出符合题意的示意图； (2)若∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数. 返回 18 15. (8分) 如图是一个跳棋棋盘示意图，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如：以下路径是从起始角∠1跳到终点角∠3的其中两种路径： (1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8的一种路径：______________________________； (2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出其路径. 返回 20 解：因为∠2＝3∠3，所以∠3＝∠2. 又因为∠1＋∠3＝180°，∠1＝3∠2， 所以3∠2＋∠2＝180°，所以∠2＝54°， 所以∠1＝3∠2＝162°. 路径1：∠1∠9∠3； 路径2：∠1∠12∠6∠10∠3. ∠1∠12∠8(答案不唯一) 解：从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8.其路径如下： ∠1∠10∠5∠8. $第七章　相交线与平行线 7．1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 1 返回 B 1. 如图，已知OC⊥OA，若∠1＝25°，则∠2的度数为(　　) A．55° B．65° C．75° D．155° 2 返回 2. B 如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若 ∠AOC＝58°，则∠EOB的度数为(　　) A．29° B．32° C．45° D．58° 返回 3. C 如图，已知直线AB，CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是(　　) A．∠BOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＋∠BOD＝180° 返回 4. C [教材P5探究变式]下列选项中，用三角尺过点P画AB的垂线CD，放法正确的是(　　) 返回 5. 解：画图如图所示． (4分)[教材P5例2变式]如图，已知∠AOB和一点P，过点P画∠AOB两边的垂线. 返回 6. A 在同一平面内，经过直线l外一点画l的垂线，能画出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 返回 7. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 如图，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会与AE重合，否则AB与AE不重合． 请你用所学的数学知识说明道理：______________________________________________________. 返回 8. B 如图，点P到直线AD的垂线段是(　　) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 返回 9. 垂线段最短 在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是______________. 10 返回 10. C [教材P6练习T2变式]下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(　　) 11 返回 11. EO [教材P6练习T3变式] 如图，已知点O在直线AB上，EO⊥OF， EM⊥AB于点M，连接EF，则点E到OF的距离是线段______的长度. 12 返回 12. C [教材P6练习T3变式]如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列关系式中一定成立的是(　　) A．AD＞CD B．CD＞BD C．BC＞BD D．AC＞BC 13 返回 13. D 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 返回 14. 30° 如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，OM分别是入射光线、反射光线和法线，AB为反射面(提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角，法线垂直于反射面)．若∠POM＝2∠POB，则∠AOQ的度数为______. 15. 解：如图，点H即为蓄水池的位置． (8分)[教材P6思考变式]如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小； 如图，GH即为所求．理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？画图并说明理由. 返回 17 16. 解：因为AB，CD相交于点O， 所以∠AOC＝∠BOD＝36°. 因为OG⊥CD，所以∠COG＝90°， 即∠AOC＋∠AOG＝90°， 所以∠AOG＝90°－∠AOC＝54°. (8分)如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD，且OG平分∠AOF，∠BOD＝36°. (1)求∠AOG的度数； 解：OC是∠AOE的平分线，理由： 因为OG是∠AOF的平分线，所以∠AOF＝2∠AOG＝108°. 又因为∠AOC＝36°， 所以∠COE＝180°－∠AOF－∠AOC＝180°－108°－36°＝36°， 所以∠AOC＝∠COE，所以OC是∠AOE的平分线． (2)OC是∠AOE的平分线吗？说明你的理由． 返回 19 17. (12分) 按如图的方法折纸，然后回答问题：   (1)AE与EF垂直吗？为什么？ 解：AE⊥EF.理由如下： 由折叠可知∠1＋∠3＝∠2. 又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°， 所以2∠2＝180°， 即∠2＝90°.所以AE⊥EF. 由(1)知∠1＋∠3＝∠2＝90°， 故∠1与∠3互余． (2)∠1与∠3有何关系？ ∠1与∠AEC互补，∠3与∠BEF互补． (3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？ 返回 22 $第七章　相交线与平行线 7．2 平行线 7．2.3 平行线的性质 第1课时　平行线的性质 1 返回 70° 1. [重庆中考]如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F.若∠1＝70°，则∠2的度数是______. 2 返回 2. D [湖北中考]数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是(　　) A．34° B．44° C．46° D．56° 返回 3. 解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠2＝50°. ∵AC∥DF，∴∠1＝∠A＝50°. (4分)如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2＝50°，求∠1的度数. 返回 4. B 如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(　　) A．60° B．50° C．40° D．30° 返回 5. C 一条木杆秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝(　　) A．20° B．80° C．100° D．120° 返回 6. B [教材P17练习T3变式]如图，把一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放置在直尺的对边上，若∠1＝15°，则∠2的度数是(　　) A．10° B．45° C．20° D．25° 返回 7. (4分)如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠ACB，∠DCB，∠EDC的度数. 返回 8. C [河北中考]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为(　　) A．70° B．100° C．110° D．130° 返回 9. B [教材P25习题T3(1)变式]如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　　) A．25° B．35° C．45° D．55° 10 返回 10. 解：∠A＝∠C，∠B＝∠D. 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180°， ∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D. (4分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，那么∠A与∠C，∠B与∠D的关系如何？请说明理由. 11 返回 11. B [长沙中考]如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为(　　) A．50° B．60° C．65° D．70° 12 返回 12. C [扬州中考]如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 13 返回 13. B 如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A(不包括∠A)相等的角有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 返回 14. 112° 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在M，N的位置上，EM与BC交于点G，若∠EFG＝56°，则∠1＝________. 返回 15. 解：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCA＝∠DCE. ∵AC∥DE，∴∠DCA＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE. ∵CD∥EF，∴∠DEF＝∠CDE，∠DCE＝∠BEF. ∴∠DEF＝∠BEF，∴EF平分∠DEB. (8分)如图，已知CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，试说明：EF平分∠DEB． 16. (12分) 【提出问题】 若两个角的两边分别平行， 则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】 分两种情况进行探究，请结合图①②探究这两个角的数量关系. (1)如图①，AB∥EF，BC∥DE，试说明：∠1＝∠2； 解：∵AB∥EF，∴∠1＝∠3. ∵BC∥DE，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2. ∵AB∥EF，∴∠1＝∠4. ∵BC∥DE，∴∠2＋∠4＝180°. ∴∠1＋∠2＝180°. (2)如图②，AB∥EF，BC∥DE，试说明：∠1＋∠2＝180°； 18 相等或互补 【得出结论】 由(1)(2)我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为____________________； 19 设其中一个角的度数为x，则另一个角的度数为2x－60°， 当x＝2x－60°时，解得x＝60°. 此时两个角的度数分别为60°，60°； 当x＋2x－60°＝180°时，解得x＝80°.则2x－60°＝100°. 此时两个角的度数分别为80°，100°. 综上，这两个角的度数分别是60°，60°或80°，100°. 【拓展应用】 (3)若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数． 返回 20 解：∵DE∥BC，∴∠ACB＝∠AED＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝40°. ∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝40°. $第七章　相交线与平行线 7．3 定义、命题、定理 第2课时　定理与证明 1 返回 C 1. 命题“对顶角相等”是(　　) A．假命题　 B．定义　 C．定理　 D．基本事实 2 返回 2. C 下列说法错误的是(　　) A．命题不一定是定理，定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题是定理 返回 3. A [教材P24习题T1(4)变式]下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是错误的是(　　) A．∠A＝30°，∠B＝50° B．∠A＝30°，∠B＝70° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝30°，∠B＝110° 返回 4. C 判断命题“如果x2＞0，那么x＞0”是错误的，只需举出一个反例，则所举反例中x的值可以为(　　) A．15 B．0.8 C．－2 D．0 5. ∠1＝∠2 [教材P25习题T3变式]把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．求证：DF∥AB． 证明：∵BE是∠ABC的平分线， ∴____________(角平分线的定义)． 又∵∠E＝∠1， 返回 等量代换 ∴∠E＝∠2(__________________)． ∴________(_____________________________)． ∴∠A＋∠ABC＝180°(_____________________________)． 又∵∠3＋∠ABC＝180°， ∴__________(同角的补角相等)． ∴DF∥AB(__________________________)． AE∥BC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 ∠3＝∠A 同位角相等，两直线平行 返回 6. ①③④ 关于“垂线段最短”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理．其中正确的是________(填序号). 返回 7. 0 能够说明命题“如果a＞b＋1，那么a2＞b2＋1”是假命题的一组反例是：a＝________，b＝________. －2 (答案不唯一) 8. (4分)[青岛月考]如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明. 返回 解：假命题，添加BE∥DF，理由如下： ∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠FDN. ∵∠1＝∠2， ∴∠EBD－∠1＝∠FDN－∠2， 即∠ABD＝∠CDN.∴AB∥CD. 9. (8分) 如图，AB，CD被AE所截，AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为题设，另一个作为结论，得出一个正确的命题． (1)请按照“如果……，那么……”的形式，写出所有正确的命题； 12 解：a.如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM＝∠CEN. b．如果AB∥CD，∠BAM＝∠CEN，那么AM∥EN. c．如果AM∥EN，∠BAM＝∠CEN，那么AB∥CD. 解：选择命题a. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CEA. ∵AM∥EN，∴∠EAM＝∠NEA. ∴∠BAE－∠EAM＝∠CEA－∠NEA， 即∠BAM＝∠CEN. (答案不唯一) (2)在(1)的命题中选择一个加以证明，写出推理过程. 返回 14 $第七章　相交线与平行线 7．3 定义、命题、定理 第1课时　定义与命题 1 返回 D 1. 下列语句中，是定义的是(　　) A．点A到点B的距离是3 cm B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 2 返回 2. C 下列语句是命题的是(　　) A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗 返回 3. D 下列命题中，是真命题的是(　　) A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．互补的两个角为邻补角 D．同角的余角相等 返回 4. 假 命题“若a>b，则|a|>|b|”是________命题(填“真”或“假”). 返回 5. 解：①是假命题．因为0的绝对值是0，0不是正数； ②是真命题．设两个奇数分别为2m＋1和2n＋1(m，n为整数，且m≠n)，则它们的和为(2m＋1)＋(2n＋1)＝2m＋2n＋2＝2(m＋n＋1)，是偶数． (4分)[教材P24习题T1变式] 下列两个命题： ①一个数的绝对值是正数； ②两个奇数的和是偶数． 哪个是真命题？哪个是假命题？说明你的理由. 返回 6. C 命题“邻补角的和为180°”的题设是(　　) A．两个角的和是180° B．和为180°的两个角为邻补角 C．两个角是邻补角 D．邻补角的和是180° 返回 7. 解：(1)题设：一个数能被2整除；结论：它能被4整除． (2)题设：xy＝0；结论：x＝0. (8分)下列命题的题设是什么？结论是什么？ (1)能被2整除的数也能被4整除； (2)若xy＝0，则x＝0. 返回 8. B 交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是(　　) A．若a2＝b2，则a＝b B．所有的直角都相等 C．若x2＝4，则x＝2 D．若m＝n，则－3m＝－3n 返回 9. a⊥n [广州花都区期末]如图，平面内有两条直线m，n与直线a相交，已知a⊥m，根据图形，以a，m，n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下：∵a⊥m，________，∴________. m∥n (答案不唯一) 10 10. (4分)下列各语句中，哪些是命题？哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再判断其是真命题还是假命题． ①同号两数的和一定不是负数； ②若x＝2，则1－5x＝0； ③延长线段AB至点C，使B是AC的中点； ④互为倒数的两个数的积为1. 11 返回 解：①是命题．如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．是假命题．②是命题． 如果x＝2，那么1－5x＝0.是假命题．③不是命题．④是命题．如果两个数互为倒数， 那么这两个数的积为1.是真命题． $第七章　相交线与平行线 7．2 平行线 7.2.2 平行线的判定 1 返回 D 1. 如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是(　　) A．60° B．80° C．100° D．120° 2 返回 2. C [教材P14练习T1变式]如图，已知∠B＝∠AEF，则下列结论正确的是(　　) A．AD∥BC B．AD∥EF C．BC∥EF D．AB∥CD 返回 3. AB DE 如图，若∠1＝∠2，则________∥________； 若∠2＝∠3，则________∥________. BC EF 返回 4. 根据要求完成下面的填空： 如图，已知∠1＝∠2，试说明：AB∥CD． 解：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(_____________)， ∴∠2＝∠______(________________)， ∴AB∥CD(_______________________)． 对顶角相等 3 等量代换 同位角相等，两直线平行 返回 5. B 如图，下列条件中，能判定直线a∥b的是(　　) A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 返回 6. 内错角相等，两直线平行 如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是________________________. 返回 7. AD BC 如图，若∠1＝∠2，则________∥________； 若∠3＝∠4，则________∥________. AB CD 返回 8. 解：∵CE平分∠ACD， ∴∠2＝∠ECD. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ECD， ∴AB∥CD. (4分)如图，已知CE平分∠ACD，∠1＝∠2.试说明：AB∥CD． 返回 9. 如图，若∠1＝100°，∠4＝80°，则____∥____，理由是_____________________________；若∠3＝70°，则当∠2＝________时，可推出AB∥CD． AB CD 同旁内角互补，两直线平行 110° 10 返回 10. 合格 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________ (填“合格”或“不合格”). 11 返回 11. 解：∵∠2＝∠3， ∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴∠1＋∠3＝180°(等量代换)． ∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)． (4分)如图，已知∠2＝∠3，∠1＋∠2＝180°.试说明：AB∥EF. 12 返回 12. C [教材P15练习T3变式]如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　　) A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 13 返回 13. B 如图，下列不能判定AB∥EF的条件是(　　) A．∠B＝∠5　　　　 B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4　　　 D．∠B＋∠BFE＝180° 返回 14. [教材P13思考变式]在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角尺画平行线AB，CD，并说出自己画法的依据． 小琛、小萱、小冉三名同学的 画法如下： 小琛说：“我的画法的依据是内错角相等，两直线平行．” 小萱画法的依据是____________________________．小冉画法的依据是________________________________． 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 (后一空答案不唯一) 15. 解：AB∥CD，EG∥FH. 理由如下：∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，且∠1＝∠2， ∴∠AEF＝∠EFD，∠GEF＝∠2， ∴AB∥CD，GE∥FH. (8分)(1)如图①，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，∠1＝∠2，找出图中的平行线，并说明理由； 解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠ABD＝2∠α，∠BDC＝2∠β. ∵∠α＋∠β＝90°， ∴∠ABD＋∠BDC＝2∠α＋2∠β＝180°，∴AB∥CD. (2)如图②，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明：AB∥CD． 返回 17 16. (8分) [新乡期末]平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图①，一束光线AB射向一块水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时∠1＝∠2. 解：AB∥CD.理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4， ∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD. (1)如图②，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若∠1＝∠4，请判断光线AB与光线CD是否平行，并说明理由． 19 解： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴∠ABD＋∠BDE＝180°，∴AB∥DE. (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图③中的方式制作一个装置，若∠1＋∠4＝90°，试说明：AB∥DE. 返回 20 $第七章　相交线与平行线 7．1 相交线 7.1.1 两条直线相交 1 返回 B 1. 下列各图中，∠1和∠2互为邻补角的是(　　) 2 返回 2. D 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　) A．①④ B．②④ C．①③ D．④ 返回 3. 解：∠AOE的邻补角是∠BOE， ∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD. (8分)如图，直线AB与CD相交于点O，OE是以O为顶点的一条射线． (1)写出∠AOE和∠AOC的邻补角； (2)写出图中所有的对顶角. ∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD. 返回 4. 144 [广州中考]如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝36°，则∠2的度数为______°. 返回 5. C [教材P20习题T9变式][河南中考]如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 返回 6. B [教材P3练习T2变式] 如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB＋∠COD＝76°，则∠AOB＝(　　) A．36° B．38° C．52° D．46° 返回 7. B 如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为(　　) A．70° B．80° C．90° D．100° 返回 8. C 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠BOD＝35°，则∠BOE的度数为(　　) A．95° B．100° C．110° D．145° 返回 9. B [教材P3练习T2变式]如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当∠1增大4°时，下列说法正确的是(　　) A．∠2增大4° B．∠3增大4° C．∠4增大4° D．∠4减小2° 10 返回 10. 解：因为∠1与∠2互为邻补角， 所以∠2＋∠1＝180°. 因为∠2＝3∠1，所以3∠1＋∠1＝180°，解得∠1＝45°.所以∠3＝∠1＝45°，∠2＝3×45°＝135°. 所以∠4＝∠2＝135°. (4分)[教材P3例1变式]如图，a，b两条直线相交．若∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数. 11 返回 11. B 下列结论错误的是(　　) A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．对顶角的平分线在同一条直线上 D．互为邻补角的两角一定互补，互补的两角不一定互为邻补角 12 返回 12. A 如图，三条直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3＝(　　) A．180° B．150° C．120° D．90° 13 返回 13. A 如图，一束光线AO从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中AO为入射光线，OB为折射光线，直线DE为法线，点A，O，C在同一条直线上．若∠AOD＝50°，∠BOE＝35°，则∠BOC的度数为(　　) A．15° B．16° C．17° D．18° 返回 14. A [邯郸期中]要测量一个古城墙墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案． 下列判断正确的是(　　) A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行 C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 方案Ⅰ： ①延长AO到点C； ②测出∠COB的度数，即可得到∠AOB的度数.  方案Ⅱ： ①延长AO到点C，延长BO到点D； ②测出∠COD的度数，即可得到∠AOB的度数. 15. (8分)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°. (1)如图①，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数； (2)如图②，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数. 17 返回 16. 2 3 4 2 6 12 4 12 24 (8分)下列各图中的直线都相交于一点．   (1)请观察图形并填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 直线条数       … 对顶角的对数       … 邻补角的对数       … 对顶角共有n(n－1)对，邻补角共有2n (n－1)对． (2)若n条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？共有多少对邻补角？ 返回 20 解：因为∠AOM＝90°，OC平分∠AOM， 所以∠AOC＝∠AOM＝×90°＝45°. 因为∠AOC＋∠AOD＝180°， 所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°. 解：因为∠BOC＝4∠NOB，所以设∠NOB＝x°，则∠BOC＝4x°，所以∠CON＝∠COB－∠BON＝4x°－x°＝3x°. 因为OM平分∠CON，所以∠MON＝∠CON＝x°. 因为∠AOM＋∠BOM＝180°，∠AOM＝90°，所以∠BOM＝∠MON＋∠NOB＝x°＋x°＝90°，所以x＝36， 所以∠MON＝x°＝×36°＝54°. $