3.3.1抛物线及其标准方程【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦抛物线的定义、四种标准方程及p的几何意义等核心知识点，前承椭圆与双曲线的定义及方程，后续衔接抛物线几何性质与直线综合应用，通过知识梳理搭建从概念到应用的学习支架。 资料特色为题型分层递进，含定义求轨迹、最值等七类题型，结合太阳灶、拱桥等实际案例培养数学眼光。例题与变式题助力数学思维（推理、运算）与数学语言（模型表达）发展，课中便于系统授课，课后高分达标练习帮助学生查漏补缺。

3.3.1抛物线及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离． 【题型归纳】 题型一：抛物线的定义求轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 【变式1】．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式2】．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 题型二：抛物线的最值问题 【例2】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以，则的最小值是．    故答案为：. 【变式1】．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 题型三：抛物线焦半径的公式 【例3】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 【变式1】．（25-26高二上·广西柳州·期中）抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的方程为，， 设点的坐标为，，， ，代入抛物线方程，得，，， 则点的坐标是. 故选：D. 【变式2】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线，设，则， 该抛物线的准线方程为， 由， 所以， 故选：D 题型四：抛物线的四种标准方程 【例4】．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解即可. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得， 所以抛物线的标准方程是． 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点； (4)焦点为直线与坐标轴的交点. 【答案】(1) (2)和 (3)或 (4)或 【详解】（1）∵抛物线的准线交轴于正半轴，∴抛物线开口向下， 设方程为，由得，故所求抛物线的标准方程为. （2）由抛物线的焦点在轴上可设方程为， 由焦点到准线的距离为5得，， ∴抛物线的标准方程为或. （3）∵点在第三象限，∴抛物线开口向左或向下， 设所求抛物线的标准方程为或. 若抛物线的标准方程为，则，解得； 若抛物线的标准方程为，则，解得. ∴抛物线的标准方程为或. （4）∵直线与坐标轴交点坐标为或， ∴抛物线的焦点为或. 当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为， 当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为， ∴抛物线的标准方程为或. 题型五：抛物线在生活中的实际应用 【例5】．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 【变式1】．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 题型六：抛物线的参数问题 【例6】．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 【变式1】．（23-24高二上·福建·月考）抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 【答案】 【分析】利用抛物线方程可知坐标，再结合椭圆方程计算坐标，计算即可. 【详解】由，所以， 又在椭圆上，代入可得. 故答案为： 【变式2】．（23-24高二上·辽宁·期中）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作切线，切点为A，则的最小值 . 【答案】2 【分析】设，由切线长公式求得切线长后，结合二次函数知识得最小值． 【详解】由已知，圆半径为2， 设，， 所以时，， 故答案为：2. 题型七：抛物线的方程综合问题 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得：， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】(1)标准方程为.准线方程为 (2) 【详解】（1）由题可知：.当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2） 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线准线方程结构即可求解. 【详解】抛物线开口向上，， 所以准线方程为：， 故选：D 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案. 【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由抛物线定义即可求解. 【详解】由题可得点横坐标为4，点P到准线距离为， 所以点到该抛物线焦点的距离是. 故选：C 5．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由焦半径公式计算即可． 【详解】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程设坐标，然后根据列等式得到，最后利用抛物线定义和基本不等式求最小值. 【详解】设，， 因为，所以， 由题意知，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．（25-26高二上·江苏连云港·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（    ） A．米 B．米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】根据题意设,求出，进而求解增加水面宽度. 【详解】以水面为轴，过拱顶的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 根据题意设,当，则， 所以 当，则,解得, 所以水面下降米，水面宽度增加米. 故选：C 8．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用平面几何知识可求得点F到准线的距离，进而可求得. 【详解】作出示意图如图所示：    因为直线BF的倾斜角为，所以， 过作垂直准线于，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以. 故选：B. 9．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 二、多选题 10．（25-26高二上·陕西渭南·期中）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 【答案】AD 【分析】求出焦点坐标与准线方程，结合焦半径公式判断A，即可求出，从而判断B、C，根据抛物线的定义证明D. 【详解】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确； 对于B：由，即，解得，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为， 则，， 由梯形中位线定理知， 所以以为直径的圆与准线相切，故D正确.    故选：AD 12．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线交于，两点，过作的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，根据抛物线的定义判断；B选项，设直线的方程，然后联立，利用韦达定理得到，然后求最值即可；C选项，利用距离公式得到，并结合的范围求值即可；D选项，取，计算得到，，从而得到. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由抛物线的定义可知，故A正确； 由抛物线的方程可知，准线方程为， 设直线的方程为，，， 联立得， 由韦达定理可得，， 则， 所以当时，最小，所以，故B正确； 因为，所以直线的方程为，则， ， 同理可得， ，故C正确； 当时，，，，故D错误. 故选：ABC. 13．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C． D．点到的焦点的距离为5 【答案】BD 【分析】由双曲线离心率与渐近线方程定义计算可得A、B；由抛物线焦点与双曲线焦点定义可得C；借助抛物线定义可得D. 【详解】对A：的离心率，故A错误； 对B：的渐近线方程为，故B正确； 对C：的焦点为，的焦点为， 由，则有，故，故C错误； 对D：由抛物线定义可得，到的焦点的距离与其到准线的距离相等， 的准线方程为，则到的焦点的距离为，故D正确. 故选：BD. 14．（25-26高二上·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（   ） A．的最小值为4 B． C．以为直径的圆过点 D．以为直径的圆过点 【答案】BC 【分析】由抛物线的方程求得焦点，设直线的方程，联立抛物线的方程，得为定值.利用基本不等式可判断A；根据垂直直线斜率乘积为判断B；由圆周角为直角，根据向量垂直的坐标表示可判断C、D. 【详解】对于，由题得，设直线的方程为，与联立， 得，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，抛物线C的准线方程为，设，由， 得. 所以，即，故B正确； 对于C，由上述分析知，同理有， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以为钝角，点在以为直径的圆内，故D错误． 故选：BC.    三、填空题 15．（25-26高二上·广西河池·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得到点的横坐标，代入抛物线方程得到点的纵坐标，利用两点间距离公式求. 【详解】由抛物线方程可知，由抛物线的定义可得：，所以， 代入抛物线方程得，则. 故答案为：. 16．（25-26高二上·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 【答案】 【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 17．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    19．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 20．（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. 【详解】（1）设直线的方程为． 由消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． （2）设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由，解得，所以，即． 所以． 21．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 【答案】(1)离心率，渐近线方程； (2)； (3)9. 【分析】（1）根据给定的双曲线方程直接求出离心率及渐近线方程. （2）由（1）求出抛物线的顶点及焦点坐标，进而求出抛物线方程. （3）利用双曲线定义，结合垂直关系求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为. （2）由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为. （3）由（1）知，，， 由，得， 则， 所以的面积. 22．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【详解】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 23．（25-26高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)16 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）联立韦达代入即可； （3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件. 【详解】（1）不妨设，因为，可得，解得， 则的坐标为 或 ； （2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点， 联立得 则． （3）若三角形为等腰直角三角形， 不妨设，因为，且， 不妨设， 此时， 代入抛物线方程可得：， 解得， 所以 ， 整理得， 由于 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，时，三个顶点坐标为， 此时三角形面积的最小值为16． 24．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1抛物线及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离． 【题型归纳】 题型一：抛物线的定义求轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：抛物线的最值问题 【例2】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【变式1】．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 题型三：抛物线焦半径的公式 【例3】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广西柳州·期中）抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 题型四：抛物线的四种标准方程 【例4】．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点； (4)焦点为直线与坐标轴的交点. 题型五：抛物线在生活中的实际应用 【例5】．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【变式1】．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 题型六：抛物线的参数问题 【例6】．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【变式1】．（23-24高二上·福建·月考）抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 【变式2】．（23-24高二上·辽宁·期中）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作切线，切点为A，则的最小值 . 题型七：抛物线的方程综合问题 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏连云港·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（    ） A．米 B．米 C．米 D．4米 8．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 9．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·陕西渭南·期中）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 12．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线交于，两点，过作的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C． D．点到的焦点的距离为5 14．（25-26高二上·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（   ） A．的最小值为4 B． C．以为直径的圆过点 D．以为直径的圆过点 三、填空题 15．（25-26高二上·广西河池·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 16．（25-26高二上·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 17．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 19．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 四、解答题 20．（25-26高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求． 21．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 22．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 23．（25-26高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 24．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $