4.4.1 对数函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“对数函数的概念”核心知识点，以考古年代估算等实际情境引入，引导学生抽象出对数函数形式特征，系统讲解定义域求解及模型应用，构建“情境—概念—性质—应用”的完整学习支架。 资料特色在于融合多领域实际案例，如药物衰减、火箭速度问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链驱动思维，结合分层练习与迁移运用，助力教师课堂教学，也便于学生课后查漏补缺，提升数学抽象与建模素养。

4．4　对数函数 4．4.1　对数函数的概念　　　　　　► 对应学生用书P110 学习目标　1.理解对数函数的概念，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.会求与对数函数有关的定义域问题，提升数学运算素养．(重点)　3.了解对数函数在生产实际中的简单应用，提升数学建模素养．(重点) 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t. 问题1　t是P的函数吗？为什么？ 提示：t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P130，分析思考：对数函数在形式上的特点． 提示：对数函数的系数为1，真数只能是一个x，底数a>0，且a≠1，真数x>0. (2)请认真阅读教材P130，对数型函数的定义域是什么？为什么？ 提示：定义域为(0，＋∞)，因为真数大于0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)对数函数的定义域为R.(　　 ) (2)y＝log3x与y＝logx3都是对数函数．(　　 ) (3)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 　对数函数的概念 问题2　函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？ 提示：两个函数都是对数的真数作为函数的自变量． 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 温馨提示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，故对数函数的定义域是(0， +∞ )，底数a>0， 且a ≠ 1. 例1　(1)已知函数①y＝4x；②y＝logx2；③y＝－log3x；④y＝log0.2；⑤y＝log3x＋1；⑥y＝log2(x＋1).其中是对数函数的是(　　 ) A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 解析：选C.根据对数函数的定义，只有符合y＝logax(a>0且a≠1)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数． 易知①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中y＝－log3x＝logx，是对数函数；④中y＝log0.2＝log0.04x，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数． (2)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f()＝________． 解析：设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f()＝log2＝－1. 答案：－1 类题通法 　 判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如y＝logax； (2)底数a满足a>0，a≠1； (3)真数为x，而不是x的函数； (4)定义域为(0，＋∞). 【迁移运用】 1.若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________． 解析：因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4. 答案：4 　与对数函数有关的定义域 问题3　对数的概念中，真数N需满足什么条件？为什么？ 提示：真数N需满足N>0.由对数的定义：ax＝N(a>0，且a≠1)，知总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 问题4　对数函数的概念中，自变量x的取值范围是什么？对数型函数需要满足什么条件呢？ 提示：对数函数中的自变量x>0，对数型函数需要满足真数大于0. 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 例2　(链接教材：人教A版P130例1)函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域为________． 解析：由题意得，－x2＋2x＋3>0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3， 所以函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域为(－1，3). 答案：(－1，3) 名师点睛 使解析式有意义，列关于自变量的不等式（组）求定义域，注意不要遗漏。 【迁移运用】 2.(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　 ) A．(－2，－1)∪(－1，1] B．(－2，1) C．[－2，－1)∪(－1，1) D．(－2，1] 解析：选A.由题得解得－2<x≤1且x≠－1. (2)函数f(x)＝lg (2kx2－kx＋)的定义域为R，则实数k的取值范围是________． 解析：依题意，得2kx2－kx＋>0的解集为R， 即不等式2kx2－kx＋>0恒成立， 当k＝0时，>0恒成立，所以k＝0满足条件； 当k≠0时，则 解得0<k<3. 综上，k的取值范围是[0，3). 答案：[0，3) 　对数函数模型的应用 例3　(链接教材：人教A版P131例2)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)若该药物在病人血液中的量低于0.3个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时(精确到整数).(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了1个单位的该药物，经过y个小时后，药物在病人血液中的量x＝1×(1－20%)y＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x(0<x≤1). (2)若该药物在病人血液中的量低于0.3个单位，病人就有危险，故x≥0.3时，病人才不会有危险， 因为log0.8x≤log0.80.3＝＝≈≈5， 故再次注射该药物的时间不能超过5个小时． 类题通法 　　 利用对数函数解决应用问题 (1)列出与对数有关的函数并根据实际问题确定变量的范围． (2)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【迁移运用】 3.2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系为v＝2ln (1＋).若已知火箭的质量为3 100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量约为(　　 ) (参考数值：ln 2≈0.69，ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01 t，1 t＝1 000 kg) A．890.23 t B．755.44 t C．244.69 t D．243.69 t 解析：选B.根据题意，m＝3 100， 令v＝2ln (1＋)＝11，则ln (1＋)2＝ln e11， 所以(1＋)2＝e11，则1＋＝e5.5， 即＝e5.5－1≈eln 244.69－1＝244.69－1＝243.69. 所以M＝3 100×243.69＝755 439 kg≈755.44 t. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数中，是对数函数的是(　　 ) A．y＝logxa(x>0，且x≠1) B．y＝log2x－1 C．y＝lg x2 D．y＝log5x 解析：选D.A、B、C都不符合对数函数的定义． 2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　 ) A．y＝log2x B．y＝log3x C．y＝logx D．y＝logx 解析：选B.设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x. 3．函数y＝＋lg (2x＋1)的定义域为(　　 ) A．(，3] B．(，3) C．(－，3] D．(－，3) 解析：选D.由题意得 ∴－<x<3. 4．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　 ) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 解析：选A.由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 两个重要的对数型函数 (链接教材：人教A版P161复习参考题4T11) 结论1：函数f(x)＝loga或f(x)＝loga是单调的奇函数． 结论2：函数f(x)＝loga(±x)是单调的奇函数． [课后分层练(三十六)]　对数函数的概念 =(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(　　 ) A．[－3，1] B．(－3，1) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：选D.由题意，得x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞). 2．下列函数中，定义域为R的是(　　 ) A．y＝ B．y＝log2x C．y＝x3 D．y＝ 解析：选C.函数y＝的定义域为[0，＋∞)，函数y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝的定义域为{x|x≠0}． 3．“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　 ) A．y＝log1.05x B．y＝log1.005x C．y＝log0.95x D．y＝log0.995x 解析：选B.y天后，x＝1.005y，即y＝log1.005x. 4．下列函数是对数函数的是(　　 ) A．y＝loga2x B．y＝log22x C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 解析：选D.由对数函数的定义知，形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，则函数为对数函数，只有D符合． 5．(多选)下列点中，既在指数函数y＝ax图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点可以是(　　 ) A．(1，1) B．(2，2) C．(2，4) D．(，) 解析：选BD.对于A中，若点(1，1)在函数y＝ax图象上，解得a＝1，此时对数函数y＝logax不成立，不符合题意； 对于B中，若点(2，2)在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx也过点(2，2)，符合题意； 对于C中，若点(2，4)在函数y＝ax图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不过点(2，4)，不符合题意； 对于D中，若点(，)在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx也过点(，)，符合题意． 6．对数函数的图象过点(16，2)，则对数函数的解析式为________． 解析：设对数函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知有2＝loga16，则a2＝16.又a＞0，所以a＝4，故函数解析式为y＝log4x. 答案：y＝log4x 7．若函数f(x)＝则f(8)＝________，f(f(8)－f(－2))＝________． 解析：由题意得f(8)＝1＋log28＝4，f(－2)＝－(－2)＋2＝4，所以f(f(8)－f(－2))＝f(0)＝4－20＝3. 答案：4　3 8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元. 解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128. 答案：128 9．求下列函数的定义域． (1)y＝log2|x|； (2)y＝loga(4－x)＋lg (x－2)； (3)y＝loga(4－x)＋； (4)y＝log(x＋1)(16－4x)； (5)y＝. 解：(1)由|x|>0得x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (2)由得2＜x＜4，故定义域为(2，4). (3)由得x＜4且x≠3，故定义域为(－∞，3)∪(3，4). (4)由得故定义域为(－1，0)∪(0，4). (5)由得 则－3<x<－2或－2＜x≤1， 故函数的定义域为(－3，－2)∪(－2，1]. 【综合运用】 10．函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　　 ) A．(2，3) B．(2，4] C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6] 解析：选C.依题意知，即即函数的定义域为(2，3)∪(3，4]. 11．已知不等式log2(ax2－2x＋5)>1的解集为R，则a的取值范围是________． 解析：所给条件等价于的解集为R，即ax2－2x＋3>0的解集为R，由此可得解得a>. 答案：(，＋∞) 12．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a lg (a是常数)，其中I0＝1×10-12 瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10-11 瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝．已知生活中几种声音的强度如下表： 声音大小 声音来源 风吹落叶 沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的 马路 强度I (瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3 强弱等级 L(分贝) 10 m 90 求a和m的值． 解：将I0＝1×10-12 瓦/平方米，I＝1×10-11 瓦/平方米，代入L＝a lg ， 得10＝a lg ＝a lg 10＝a，即a＝10， 所以m＝10lg ＝10lg 100＝20. 13．(1)若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，求实数a的取值． (2)若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，求实数a的取值范围． (3)若函数f(x)＝lg (x2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)， 即a－4x＞0的解集为(－∞，1)， 即x＝1是a－4x＝0的根，故a＝4. (2)由题意得4x－a＞0对∀x∈R都成立， 则a＜4x恒成立，故a≤0. (3)只要u＝x2＋ax＋1＞0恒成立， 则Δ＝a2－4＜0，故－2＜a＜2. 【创新探索】 14．(新定义)若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形函数”的是(　　) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 解析：选A.因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)的图象先沿着x轴向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $