5.3实际问题与一元一次方程 (第4课时方案选择和分段计费问题）课件2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“方案选择和分段计费问题”，通过空调购买情境导入，引导学生分析电费与综合费用公式，抽象为一元一次方程模型，搭建从生活问题到数学建模的学习支架，衔接方程应用知识点。 其亮点是以空调、复印店、阶梯水电等真实生活实例为载体，发展模型观念与推理意识，通过分情况讨论培养运算能力，课堂小结提炼“分析信息—建模—分类讨论”策略，助力学生提升应用意识，为教师提供结构化教学流程与丰富实践素材。

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案选择和分段计费问题 素养目标 1.通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题,初步掌握选择解决方案问题的一般方法,提升模型观念,增强应用意识. 2.能利用一元一次方程解决有关分段计费的实际问题. 3.培养学生分析问题,解决问题的能力. 2 创设情境,初步认识 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台,如表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年 耗电量/(kW h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 探究3 耗能低 耗能高 中国能效标识 3 创设情境,初步认识 问题1:空调的电费和什么有关系?空调的综合费用包括什么? 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 探究3 (电价是0.5元/( kW h)) 两款空调的部分基本信息 =空调的售价 + 年耗电量 时间 电价 综合费用=空调的售价 + 电费 电费=年耗电量 时间 电价 已知 已知 已知 未知 4 抽象表示,问题转化 问题2:设空调的使用时间为t 年,你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗? 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 探究3 (电价是0.5元/( kW h)) 两款空调的部分基本信息 综合费用=空调的售价 + 年耗电量 时间 电价 1 级能效空调的综合费用=3000+0.5 640t 3 级能效空调的综合费用=2600+0.5 800t =3000+320t =2600+400t 5 抽象表示,问题转化 问题3:我们可以直接比较出上面两个式子的大小吗?如果不可以的话你有什么想法呢? 探究3 1 级能效空调的综合费用=3000+320t 3 级能效空调的综合费用=2600+400t 在无法直接比较的时候要进行分情况讨论,先考虑简单的情况,即 t 取何值时两款空调的综合费用相等. 3000+320t=2600+400t 解得 t=5 也就是当使用年数为 5 年时,两款空调的综合费用相等. 6 抽象表示,问题转化 问题4:在两款空调的综合费用不相等时,如何比较它们的大小关系呢? 你能想到什么办法? 探究3 1 级能效空调的综合费用=3000+320t 3 级能效空调的综合费用=2600+400t 3 级能效空调的综合费用=2600+400t =3000-400 + 320t+80t =3000+ 320t+80t -400 =3000+ 320t+80(t -5) 当 t<5 时,80(t-5)是负数,这表明 3 级能效空调的综合费用较低. 当 t>5 时,80(t-5)是正数,这表明 1 级能效空调的综合费用较低. =1 级能效空调的综合费用 + 80(t -5) 7 抽象表示,问题转化 思考5:如果根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年,购买哪种空调更划算? 探究3 当t<5 时, 3 级能效空调的综合费用较低. 当t>5 时, 1 级能效空调的综合费用较低. 当t = 5 时,两款空调的综合费用相等. 从以上的分析可以看出购买 1 级能效空调的综合费用较低. 1 级能效空调的综合费用=3000+320t 3 级能效空调的综合费用=2600+400t =3000+ 320t+80(t -5) 8 经典练习,巩固新知 练习1 在甲复印店用 A4 纸复印文件,复印页数不超过 20 时,每页收费 0.12元;复印页数超过 20 时,超过部分每页收费降为 0.09 元.在乙复印店用 A4纸复印文件,不论复印多少页,每页都收费 0.1 元.复印页数为多少时,两店的收费相同? 解:设复印页数是 x (x>0) 对于甲复印店,当x不超过 20 时,费用为 0.12x; 当 x>20 时,费用为 0.12 20+0.09(x-20),即 0.09x+0.6. 对于乙复印店,费用为 0.1x. 若两店费用相同,则有两种情况: ①当x不超过 20 时,0.12x=0.1x,解得 x=0,舍去. ②当 x>20 时,0.09x+0.6=0.1x,解得 x=60. 答:复印页数为 60 时,两店的收费相同. 经典练习,巩固新知 练习2 现有两种地铁机场线计次月票:第一种售价200元,每月包含10次;第二种售价300元,每月包含20次. 两种月票超出每月包含次数后,都需要另外购票,票价为25元/次.某人某月乘坐地铁机场线超过10次,他购买哪种月票比较节省费用? 解:设某人每月乘坐地铁机场线x次,其中 (x>10) 第一种购票的钱数: 200+25(x-10) =(25x-50)元 第二种购票的钱数: 当10< x ≤ 20时, 当x>20时,需要 300+25(x-20) =(25x-200)元 当每月乘坐地铁机场线超过10次低于14次时,第一种购票比较节省费用. 25x-50=300元 解得 需要300元 x=14 当10< x ≤ 20时, 当每月乘坐地铁机场线超过14次时,第二种购票比较节省费用. 当每月乘坐地铁机场线等于14次时,两种购票费用相同. 数学活动 活动1 居民生活用水通常按户计费.表格是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人),称这样的收费方式为阶梯计价. 收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3) 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 考虑如下问题: (1)设某户居民的年用水量为t m3(t是正整数),请你列表说明,当t在不同范围内取值时,如何计费. (2)已知某户居民一年的水费为930元,这户居民的年用水量是多少立方米? 数学活动 活动1 收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3) 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 考虑如下问题: (1)设某户居民的年用水量为t m3(t是正整数),请你列表说明,当t在不同范围内取值时,如何计费; 分析: 4.5t 180 4.5+6(t-180) =6t-270 180 4.5+6(240-180)+8(t-240) =8t-750 年用水量t(m3) 费用(元) 0~180 181~240 240以上 解: 4.5t 6t-270 8t-750 数学活动 活动1 收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3) 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 考虑如下问题: (2)已知某户居民一年的水费为930元,这户居民的年用水量是多少立方米? 年用水量t(m3) 费用(元) 0~180 181~240 240以上 解: 4.5t 6t-270 8t-750 4.5 180=810(元) 6 (240-180)=360(元), 810+360=1 170(元), 因为810<930<1 170, 所以该户居民的年用水量在第二阶梯, 所以6t-270=930, 解得t=200, 即这户居民的年用水量是200 m3. 经典练习,巩固新知 练习 某市对居民生活用电实行阶梯计价的收费方式,具体收费标准如下表所示.已知该市居民吴叔叔家10月用电200kW h,交电费120元;9月交电费157元。 收费方式 月用电量/(kW.h) 费用 [元/(kW.h))] 第一阶梯 0~240 a 第二阶梯 241~400 0.65 第三阶梯 400以上 a+0.3 ( 1 )表中a的值为_; ( 2 )求吴叔叔家9月的用电量; ( 3 )若8月吴叔叔家用电的平均费用为0.7元/(kW h),求吴叔叔家8月的用电量. 经典练习,巩固新知 练习 某市对居民生活用电实行阶梯计价的收费方式,具体收费标准如下表所示.已知该市居民吴叔叔家10月用电200kW h,交电费120元;9月交电费157元。 收费方式 月用电量/(kW.h) 费用 [元/(kW.h))] 第一阶梯 0~240 a 第二阶梯 241~400 0.65 第三阶梯 400以上 a+0.3 ( 1 )表中a的值为_; 分析:吴叔叔家10月的用电量200kW h,200<240,所以按第一阶梯收费,即 200a=120 0.6 解得:a=0.6 经典练习,巩固新知 练习 某市对居民生活用电实行阶梯计价的收费方式,具体收费标准如下表所示.已知该市居民吴叔叔家10月用电200 kW h,交电费120元;9月交电费157元. 收费方式 月用电量/(kW.h) 费用 [元/(kW.h))] 第一阶梯 0~240 0.6 第二阶梯 241~400 0.65 第三阶梯 400以上 0.6+0.3 ( 2 )求吴叔叔家9月的用电量; 解: 0.6 240=144(元) 0.65 (400-240)=104(元), 144+104=248(元), 因为144<157<248, 所以9月用电量在第二阶梯, 解得x=260 即这户居民9月份用电量是260 kW h. 设吴叔叔家9月用电量为x kW h, 144+0.65(x-240)=157 经典练习,巩固新知 练习 某市对居民生活用电实行阶梯计价的收费方式,具体收费标准如下表所示.已知该市居民吴叔叔家10月用电200kW h,交电费120元;9月交电费157元. 收费方式 月用电量/(kW.h) 费用 [元/(kW.h))] 第一阶梯 0~240 0.6 第二阶梯 241~400 0.65 第三阶梯 400以上 0.6+0.3 ( 3 )若8月吴叔叔家用电的平均费用为0.7元/(kW h),求吴叔叔家8月的用电量. 由第(2)问可知前400 kW h总费用248元. 设吴叔叔家8月用电量为y kW h, 248+0.9(y-400)=0.7y 解得y=560 故吴叔叔家8月用电量为560 kW h. 解:由题意可知8月用电量在第三阶梯, 经典练习,巩固新知 1.某市出租车收费标准:起步价6元,2 km后,超过2km的部分每千米1.8元.某人坐出租车后付款27.6元,则此人乘车的路程为( ) A. 10 km B. 12 km C. 13 km D. 14km 2.某服装商店出售一种优惠购物卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家商店按八折购物,下列情况买卡购物合算的是( ) A. 购物 900元 B. 购物 500元 C. 购物 1200元 D. 购物 1000元 D C 分析: 1.由题意得:此人乘坐的路程超过2 km,设此人乘坐的路程为x km 6+1.8(x-2)=27.6 解得 x=14 2.设购物y元时,直接购物和买卡购物所需费用相等. 200+0.8y=y 解得 y=1000 所以当购物超过1000元时,买卡购物更合算. 经典练习,巩固新知 3.按国家2021年9月1日起实施的有关个人所得税的规定,个人月工资(薪金) 中扣除国家规定的免税部分5000元后的剩余部分为应纳税所得额,全月应纳税所得额不超过3000元的税率为3%,超过3000元至12000元部分的税率为10%。若小明妈妈每月缴了145元的个人所得税,则她的月工资是( ) A. 8550元 B. 7500元 C. 6500元 D. 6000元 A 分析: 3000 3%+10%(m-5000-3000)=145 解得 m=8550 3000 3%=90元,90<145 3.由题意得:设小明妈妈的月工资是m 元. 所以小明妈妈的月工资超过8000 元. 课堂小结 回顾本节课所学内容,并请回答以下问题: 像上面这种复杂的实际问题,你从我们的探究过程中获得 了哪些经验和策略? (1)先充分分析题目中的信息; (2)寻找简单的相等关系,得到便于自己理解的文字形式的公式; (3)确定未知量; (4)转化为数学公式,建立模型进行求解; (5)方案选择问题中,要根据问题背景考虑是否需要分类讨论. 20 作业 教科书第 148页, 第 14 题. $