4.3 对数（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.3 对数 北师大版 基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 学习目标 1.理解并掌握对数的定义，能熟练进行指数式与对数式的互化； 2.掌握对数的运算性质，能运用换底公式及对数恒等式进行对数的化简与计算； 3.能运用对数知识解决生活中的实际问题，初步形成用对数分析专业问题的能力. 教学引入 在指数函数的情境2中，我们举例了细胞分裂。在生物科学中，常常要研究某种细胞的分裂问题： 某种细胞分裂时，1个细胞经过1次分裂后得到2个细胞，经过2次分裂后得到4个细胞，经过3次分裂后得到8个细胞…… ...... 教学引入 这样分裂下去，则经过第8次分裂后共有多少个细胞？ 容易知道，这时共有个细胞。求2的8次方的运算为我们上一章节所学习的关于指数函数的运算。 但在实际问题与科学研究中，有时还要求解上述问题的逆问题：经过多少次分裂，细胞总数为4096个？ 这样我们就要研究指数函数的逆运算：对数的运算。 导入新知1 一般地，如果( > 0，且 ≠1 )，那么数叫作以为底的对数，记作 = (> 0，且≠1 ). 其中叫作对数的底数（简称底），叫作真数. 例如，所以3就是以2为底8的对数，记作 = ；再如，所以是以2为底的对数，记作 = . 导入新知1 式子叫作指数式，叫作对数式. 它们的关系如下： 底数 指数 对数 幂 真数 导入新知1 通常，我们把以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数简记作。例如，简记作。 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数e，它的值2.71828...，以e为底的对数叫作自然对数。N的自然对数简记作。例如，简记作。 导入新知1 根据对数的定义，对数有以下性质： (1) 零和负数没有对数； (2)= 0 （ a > 0 ，且a ≠ 1 ），即1的对数为0； (3) = 1 （ a > 0 ，且a ≠ 1 ），即底的对数等于1。 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 导入新知2 (1)积的对数： 两个正数积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即 = + 我们可以得到两个正数的积、商、幂的对数运算性质： (2) 商的对数： 两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即 = -,且 (3) 幂的对数： 一个正数幂的对数，等于幂指数乘这个数的对数，即 = 导入新知2 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 导入新知3 设,则,两边取以为c底的对数，得,于是,即,所以= 于是，我们有对数的换底公式： = 特别地，; 案例分析 学以致用 导入新知4 设( > 0，且 ≠1 )①,由对数定义得②.把②代入①中，得 且 ≠1) 这个式子叫对数恒等式. 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 “指数谜题・对数来解” 场景1：某病毒每2天感染人数翻倍（指数增长），若感染人数从1变到16，用了几天？ 场景2：手机电池剩余电量（为小时），剩余电量为初始值的10%时， 用了多久？ 答案：场景1：求时间即解=16，对数=，得天； 场景2：解=0.1，用常用对数得小时 课堂小结 1.对数的定义 一般地，如果( > 0，且 ≠1 )，那么数叫作以为底的对数， 记作 = (> 0，且≠1 ). 2.对数的性质 (1) 零和负数没有对数； (2)= 0 （ a > 0 ，且a ≠ 1 ），即1的对数为0； (3) = 1 （ a > 0 ，且a ≠ 1 ），即底的对数等于1。 课堂小结 3.两个正数的积、商、幂的对数运算性质 (1)= + (2) = -,且 (3)= 4.对数的换底公式 = 5.对数恒等式 且 ≠1) 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 A，将化为对数式为，故正确； B，将化为对数式为，故正确； C，将化为对数式为，故错误； D，将化为对数式为，故正确； 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，则（ ） A．125 B．250 C．128 D．32 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为， 则. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列等式中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 选项，，故正确，选项，，故错误， 选项，若，得，故错误，选项，若，则，故错误，故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若且，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由得，因为，即 由得， 故. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于A，因为，，所以，所以A错误.对于B，因为，，所以，所以B错误.对于C，因为，所以C正确.对于D，因为，，所以，所以D错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】计算的解是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】计算：（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】（ ） A． B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】若，则等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】设，则等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，则， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】对数恒等式（ ） A．7 B．10 C． D．70 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直接应用恒等式，底数10与对数底数一致，则7. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求下列各式的值. (1) ；(2) ；(3) . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 (1) ； (2) ； (3) . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知，，则（ ） A．8 B．11 C．12 D．18 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，，所以， 则， 所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知，，则 （ ） A．5 B．7 C．8 D．9 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，， 所以， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】下列各运算式中正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 选项A，，故错误； 选项B，，故错误； 选项C，，故错误； 选项D，，故正确； 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】已知，则用表示为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，可得：， 所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $