4.4 对数函数（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.4 对数函数 北师大版 基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 学习目标 1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域、值域； 2.熟练绘制对数函数的图象，能从图象中归纳出单调性等核心性质； 3.能将实际问题转化为对数函数模型，运用对数函数的性质解决问题，培养数学建模与应用意识。 教学引入 在对数的教学引入中，我们举例了细胞分裂：细胞由1个分裂为2个，2个分裂为4个……如果已知分裂次后对应细胞数量是1024个，那么如何求分裂的次数呢？ 教学引入 【解析】 设1个细胞经次分裂后得到个细胞，则与的函数关系式为，将此指数式写为对数式，得到 这个式子就是用分裂后的细胞数量来表示分裂的次数。 思考：通过以上例子，你能总结出什么是对数函数吗？ 导入新知 一般地，形如的函数叫作对数函数，其中是自变量，函数的定义域为(0,+∞)。 例如，，，都是对数函数。 导入新知 接下来，我们我们将按照列表、描点、连线几个步骤来绘制对数函数的图像。 举例函数：y= （1）列表 x ··· 1 2 4 8 ··· y= ··· 8 4 2 1 ··· ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· 导入新知 (2) 在平面直角坐标系内描点、连线： 导入新知 通过观察函数的对应值表和图象，可以发现 两个不同指数函数的图象有以下特征： （1）y=在(0，+∞)上是增函数; （2）在(0，+∞)上是减函数; （3）这两个函数的定义域相同， 且它们的图象都经过点(1, 0)。 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 深入理解 请同学们思考： 在了解对数函数的定义后，我们通过观察对数函数的图象，是否能总结出对数函数的一些性质呢？ 深入理解 利用同样的方法，我们还可以在同一个平面直角坐标系中画出 y=,y=,y=,y= 的图像，如下图所示。 深入理解 (1) 图中所有指数函数图像均在y轴的右侧（位置特征）； (2) 图中所有指数函数图像都经过定点(1, 0)（公共点特征）； (3) 在定义域内： ①对数函数y=，y=y=图像从左向右分别逐渐上升，在第四象限内向左与y轴无限接近； 深入理解 ②对数函数y=,y=,y=图像从左向右分别逐渐下降，在第一象 限内向右与y轴无限接近（变化趋势特征）. 类比指数函数的图像，对数函数y=,的图像按底数的取值，可分为0 < < 1和> 1 两种类型. 深入理解 一般地，对数函数y=,具有以下性质： (1) 函数的定义域为(0, +∞)，值域为R； (2) 当 =1时，函数值y = 0； (3) 当> 1 时，函数在(0, +∞)内是增函数； 当0 << 1 时，函数在(0, +∞)内是减函数. 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 背景：污水净化时，污染物浓度（mg/L）与净化时间（小时）的关系为 。 任务：①该函数是递增还是递减？说明理由； ②污染物浓度的下限是多少？（结合对数函数的定义域） 答案：①函数递减（底数，递减，整体递减）； ②下限为10 mg/L. 课堂小结 a > 1 0 < a < 1 定义域：(0,+∞)R 值域：R 过定点(1,0) 增函数 减函数 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】使式子有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 要使式子有意义， 可得，解得：且. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知函数的图像过点，则（ ） A．2 B．4 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为函数的图像过点， 代入得，即， 又因为,所以． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知 是对数函数，且函数 的图像经过点 ，则 （    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对数函数的一般形式为 .根据题意，函数经过点 ，代入得： 因此，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由的真数大于0，所以，即， 则的取值范围是. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为函数（，且）， 所以令，，则，即函数图象过定点． 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如果，那么（ ）． A． B． C． D．且 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，且， 所以函数在定义域上为减函数，则， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若函数在定义域上为增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由于函数在定义域上为增函数，所以，即. 则的取值范围是. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知函数且在上的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A． B．3或 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，函数在上单调递减， 由题意得，解得； 当时，函数在上单调递增， 由题意得，无解， 综上可知选项C正确. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于函数，定义域为，底数为， 故函数在单调递增. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，函数单调递增，当时，； 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由于，且函数在上单调递增， 所以，即：， 解得：，根据对数函数的定义域的要求，. 则实数的取值范围为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】函数的图像一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由于过定点，所以当，即：时，. 所以函数图像一定经过的点是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上，所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $