4.4 对数函数（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “对数函数”是“指数函数与对数函数”章节的核心内容，是对数概念与函数思想结合的具象化体现。教材先通过细胞分裂的经典案例引出对数函数的定义，再通过图像对比底数a>1（递增）与0<a<1（递减）的特征来总结对数函数的性质。这种设计既契合中职学生“从函数定义到图像性质”的认知规律，又深化了“数形结合”的数学思想，帮助学生建立“用对数函数描述‘先快后慢’型变化”的思维。 五、学情分析 学生已掌握对数的概念、运算及指数函数的性质，具备“函数与图像对应”的认知基础，但在对数函数学习中可能存在短板：易混淆对数函数与指数函数两者的图像与性质；对“对数函数的变化趋势（先快后慢）”感知不足，难以区分其与指数函数、线性函数的差异；同时，学生将对数函数性质与生活场景结合的能力不强，难以识别“趋近极限”的对数型变化。因此，教学中需借助反函数案例强化关联，通过具象化场景明确对数函数的变化特征。 六、教学目标 1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域、值域； 2.熟练绘制对数函数的图象，能从图象中归纳出单调性等核心性质； 3.能将实际问题转化为对数函数模型，运用对数函数的性质解决问题，培养数学建模与应用意识。 七、教学重点 1.掌握对数函数的概念、图象和性质,并会简单的应用。 2.利用对数函数的图象和性质比较两个值的大小,会求对数函数的定义域。 八、教学难点 如何区分指数函数与对数函数的性质。 九、教学方法 情境教学法：通过创设丰富的实际生活情境，激发学生学习兴趣，让学生感受到对数运算法则与生活的紧密联系，引导学生主动思考。 问题驱动教学法：提出一系列具有启发性的问题，引导学生逐步深入分析问题，培养学生的思维能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 在对数的教学引入中，我们举例了细胞分裂：细胞由1个分裂为2个，2个分裂为4个......如果已知分裂次后对应细胞数量是1024个，那么如何求分裂的次数呢？ 【解析】 设1个细胞经次分裂后得到个细胞，则与的函数关系式为x=，将此指数式写为对数式，得到y=，这个式子就是用分裂后的细胞数量来表示分裂的次数。 思考：通过以上例子，你能总结出什么是对数函数吗？ 通过生活举例来引出对数函数的概念，有利于学生思考。 导入新知 一般地，形如y=(>0,且≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+∞)。 我们我们将按照列表、描点、连线几个步骤来绘制对数函数的图象。 举例函数：y=与y= （1）列表 (2) 建立平面直角坐标系、描点、连线： 通过观察函数的对应值表和图象，可以发现两个不同指数函数的图象有以下特征： （1）y=在(0，+∞)上是增函数; （2）y=在(0，+∞)上是减函数; （3）这两个函数的定义域相同，且它们的图象都经过点(1,0)。 通过写出对数函数的表达式，并通过举例对数函数来绘制图象，帮助学生更好地理解。 案例分析 【例题】使式子有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【解析】要使式子有意义， 可得，解得：且. 故选：D. 【例题】已知函数的图像过点，则（ ） A．2 B．4 C． D． 【解析】因为函数的图像过点， 代入得，即， 又因为,所以． 故选：A． 通过案例分析来深入学生对对数函数的理解。 学以致用 【练习】已知 是对数函数，且函数 的图像经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【解析】对数函数的一般形式为 . 根据题意，函数经过点 ，代入得： 因此，. 故选：B. 【练习】已知有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由的真数大于0，所以，即， 则的取值范围是. 故选：C. 通过及时练习来巩固对数函数的定义和图像。 深入理解 请同学们思考： 在了解对数函数的定义后，我们通过观察对数函数的图象，是否能总结出对数函数的一些性质呢？ 利用同样的方法，我们还可以在同一个平面直角坐标系中画出 y=,y=,y=,y= 的图像，如下图所示。 (1)图中所有指数函数图像均在y轴的右侧（位置特征）； (2)图中所有指数函数图像都经过定点(1,0)（公共点特征）； (3)在定义域内： ①对数函数y=，y=,y=图像从左向右分别逐渐上升，在第四象限内向左与y轴无限接近； ②对数函数y=,y=,y=图像从左向右分别逐渐下降，在第一象 限内向右与y轴无限接近（变化趋势特征）. 类比指数函数的图像，对数函数y=(>0,且≠1)的图像按底数的取值，可分为0<<1和>1两种类型. 一般地，对数函数y=(>0,且≠1)具有以下性质： (1)函数的定义域为(0,+∞)，值域为R； (2)当=1时，函数值y=0； (3)当>1时，函数在(0,+∞)内是增函数； 当0<<1时，函数在(0,+∞)内是减函数. 通过分点陈列出对数函数的性质，便于学生们记忆与理解。 案例分析 【例题】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为函数（，且）， 所以令，，则，即函数图象过定点． 故选：B 【例题】如果，那么（ ）． A． B． C． D．且 【解析】因为，且， 所以函数在定义域上为减函数，则， 故选：. 通过案例分析来深入学生对对数函数的性质的思考。 学以致用 【练习】若函数在定义域上为增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由于函数在定义域上为增函数，所以，即. 则的取值范围是. 故选：C. 【练习】已知函数且在上的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A． B．3或 C． D． 【解析】当时，函数在上单调递减， 由题意得，解得； 当时，函数在上单调递增， 由题意得，无解， 综上可知选项C正确. 故选：C. 通过及时练习来加强学生对对数函数性质的运用。 课堂练习 【练习1】函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【解析】对于函数，定义域为，底数为， 故函数在单调递增. 故选：A. 【练习2】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【解析】当时，函数单调递增， 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选：C. 【练习3】若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由于，且函数在上单调递增， 所以，即：， 解得：，根据对数函数的定义域的要求，. 则实数的取值范围为. 故选：B. 【练习4】函数的图像一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【解析】由于过定点，所以当，即：时，. 所以函数图像一定经过的点是. 故选：A. 【练习5】函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【解析】因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上， 所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 背景：污水净化时，污染物浓度（mg/L）与净化时间（小时）的关系为 y=50log_1/2(x+1)+10。 任务：①该函数是递增还是递减？说明理由； ②污染物浓度的下限是多少？（结合对数函数的定义域） 答案：①函数递减（底数，递减，整体递减）； ②下限为10 mg/L. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成对应的课后练习； (3)回顾课堂内容并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 对数函数： 一般地，形如y=(>0,且≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+∞)。 对数函数y=(>0,且≠1)的性质： (1)函数的定义域为(0,+∞)，值域为R； (2)当=1时，函数值y=0； (3)当>1时，函数在(0,+∞)内是增函数；当0<<1时，函数在(0,+∞)内是减函数. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 在对数函数的教学中，通过细胞分裂这一实际问题情境，引导学生构建对数函数概念，有效激发了学生的学习内驱力。教学过程中，从函数的定义本质出发，结合图像探究逐步分析对数函数的性质，培养了学生的数形结合和逻辑推理能力。但在对数函数的性质总结部分，部分学生对对数函数的增减性理解不足，说明后续需加强“概念建构—性质探究”的链条训练，提升学生对对数函数本质的把握及数学应用意识。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $