4.3 对数（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “对数”是“指数函数与对数函数”章节的核心内容，是解决“指数逆运算”问题的关键工具。教材先通过“已知底数和幂值求指数”的实际需求引出对数的定义，再推导对数的运算性质（积、商、幂的对数），进而拓展换底公式与对数恒等式。这种设计既契合中职学生“从实际需求到数学工具”的认知规律，又深化了“互逆运算”“转化化归”的数学思想，帮助学生建立“用对数简化指数型运算”的思维。 五、学情分析 学生已掌握指数函数与实数指数幂的运算，具备“指数表示倍数关系”的认知基础，但在对数学习中存在短板：对“对数是指数的逆运算”理解模糊，易混淆指数式与对数式的互化规则；对对数运算性质的推导逻辑掌握不牢，同时难以将不同底数的对数运算转化为常用对数/自然对数，且将对数与生活场景结合的能力不足。因此，教学中需借助互逆案例强化概念关联，通过正误对比训练规范运算逻辑。。 六、教学目标 1.理解并掌握对数的定义，能熟练进行指数式与对数式的互化； 2.掌握对数的运算性质，能运用换底公式及对数恒等式进行对数的化简与计算； 3.能运用对数知识解决生活中的实际问题，初步形成用对数分析专业问题的能力. 七、教学重点 1.掌握对数的定义，能熟练进行指数式与对数式的互化； 2.掌握对数的运算性质，能运用换底公式及对数恒等式。 八、教学难点 准确理解 “对数与指数的互逆性”，避免指数式与对数式的转化错误。 九、教学方法 案例分析法：结合实例对对数的定义、运算性质等内容进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 课堂练习：通过典型案例与练习帮助学生更好地掌握对数的定义、运算性质等内容。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 在指数函数的情境2中，我们举例了细胞分裂。在生物科学中，常常要研究某种细胞的分裂问题： 某种细胞分裂时，1个细胞经过1次分裂后得到2个细胞，经过2次分裂后得到4个细胞，经过3次分裂后得到8个细胞…… 这样分裂下去，则经过第8次分裂后共有多少个细胞？ 容易知道，这时共有个细胞。求2的8次方的运算为我们上一章节所学习的关于指数函数的运算。 但在实际问题与科学研究中，有时还要求解上述问题的逆问题：经过多少次分裂，细胞总数为4096个？ 这样我们就要研究指数函数的逆运算：对数的运算。 通过生活案例激发学生思考，引出对数的定义。 导入新知 一般地，如果=N (>0，且≠1 )，那么数x叫作以为底N的对数，记作x=(> 0，且≠1 ).其中叫作对数的底数（简称底），N叫作真数. 例如=8，所以3就是以2为底8的对数，记作3=；再如=N，所以x是以2为底N的对数，记作=. 式子=N叫作指数式，=叫作对数式. 它们的关系如下： 通常，我们把以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数简记作。例如，简记作lg5。 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数e，它的值2.71828...，以e为底的对数叫作自然对数。N的自然对数简记作。例如，简记作ln8。 根据对数的定义，对数有以下性质： (1)零和负数没有对数； (2)=0(>0，且≠1)，即1的对数为0； (3)= 1(>0，且≠1)，即底的对数等于1。 师生共同总结对数的定义与性质。 案例分析 【例题】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】A，将化为对数式为，故正确； B，将化为对数式为，故正确； C，将化为对数式为，故错误； D，将化为对数式为，故正确； 故选：. 【例题】已知，则（ ） A．125 B．250 C．128 D．32 【解析】因为， 则. 故选：. 通过案例分析帮助学生理解对数的定义与性质。 学以致用 【练习】下列等式中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解析】选项，，故正确， 选项，，故错误， 选项，若，得，故错误， 选项，若，则，故错误， 故选：A. 【练习】若且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由得，因为，即 由得， 故. 故选：C. 通过及时练习来加强学生对对数的定义与性质的记忆。 导入新知 我们可以得到两个正数的积、商、幂的对数运算性质： (1)积的对数： 两个正数积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即 =+(>0，且≠1) (2) 商的对数： 两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即 =-(>0，且≠1) (3)幂的对数： 一个正数幂的对数，等于幂指数乘这个数的对数，即 =q(>0，且≠1,q∈R) 师生共同总结两个正数的积、商、幂的对数运算性质。 案例分析 【例题】下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为，， 所以，所以A错误. 对于B，因为，，所以，所以B错误. 对于C，因为，所以C正确. 对于D，因为， ，所以，所以D错误. 故选：C. 【例题】计算的解是（ ） A． B． C． D． 【解析】由. 故选：B. 通过案例分析帮助学生理解两个正数的积、商、幂的对数运算性质。 学以致用 【练习】计算：（ ） A． B． C． D． 【解析】由. 故选：B. 【练习】（ ） A． B． C．2 D． 【解析】. 故选：C. 通过及时练习来加强学生对两个正数的积、商、幂的对数运算性质的记忆。 导入新知 设==x,则=N,两边取以为c底的对数，得=,于是=,即x=,所以= 于是，我们有对数的换底公式： =(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1) 特别地，=(a>0,且a≠1);=(a>0,且a≠1) 师生共同总结对数的换底公式。 案例分析 【例题】若，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】由. 故选：D. 通过案例分析帮助学生理解对数的换底公式。 学以致用 【练习】设，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】，则， 故选：. 通过及时练习来加强学生对对数的的换底公式的记忆。 导入新知 设=(a>0，且a≠1)①,由对数定义得②.把②代入①中，得 =(a>0,且a≠1) 这个式子叫对数恒等式. 师生共同总结对数恒等式。 案例分析 【例题】对数恒等式（ ） A．7 B．10 C． D．70 【解析】直接应用恒等式，底数10与对数底数一致，则7. 故选：A. 通过案例分析帮助学生理解对数恒等式。 学以致用 【练习】求下列各式的值. (1)；(2)；(3). 【解析】(1)； (2)； (3). 通过及时练习来加强学生对对数恒等式的记忆。 课堂练习 【练习1】已知，，则（ ） A．8 B．11 C．12 D．18 【解析】因为，，所以， 则， 所以. 故选：D. 【练习2】已知，，则 （ ） A．5 B．7 C．8 D．9 【解析】，， 所以， 故选：. 【练习3】下列各运算式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】选项A，，故错误； 选项B，，故错误； 选项C，，故错误； 选项D，，故正确； 故选：D 【练习4】已知，则用表示为（ ） A． B． C． D． 【解析】由，可得：， 所以. 故选：A. “指数谜题・对数来解” 场景1：某病毒每2天感染人数翻倍（指数增长），若感染人数从1变到16，用了几天？ 场景2：手机电池剩余电量（x为小时），剩余电量为初始值的10%时， 用了多久？ 答案：场景1：求时间即解=16，对数=，得x=8天； 场景2：解=0.1，用常用对数得x==≈10.3小时 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 1.对数的定义 一般地，如果=N(>0，且≠1 )，那么数x叫作以为底N的对数，记作x=(> 0，且≠1 ). 2.对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)=0(>0，且≠1)，即1的对数为0； (3)= 1(>0，且≠1)，即底的对数等于1。3.两个正数的积、商、幂的对数运算性质 (1)=+(>0，且≠1) (2)=-(>0，且≠1) (3)=q(>0，且≠1,q∈R) 4.对数的换底公式 =(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1) 5.对数恒等式 =(a>0,且a≠1) 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.对数的定义 一般地，如果=N(>0，且≠1 )，那么数x叫作以为底N的对数，记作x=(> 0，且≠1 ). 2.对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)=0(>0，且≠1)，即1的对数为0； (3)= 1(>0，且≠1)，即底的对数等于1。3.两个正数的积、商、幂的对数运算性质 (1)=+(>0，且≠1) (2)=-(>0，且≠1) (3)=q(>0，且≠1,q∈R) 4.对数的换底公式 =(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1) 5.对数恒等式 =(a>0,且a≠1) 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 在本节课的教学过程中，通过“实际需求导入→互逆概念关联→运算性质推导→课堂练习”的环节设计，帮助学生初步掌握了对数的概念与运算工具，多数学生能完成指数式与对数式的互化。但教学中仍存在不足：部分学生对“对数运算性质的适用条件”理解不深，仍出现性质滥用的错误。后续教学中，需补充“对数运算性质的正误辨析”训练，强化规则理解，帮助学生从“会运算”向“会应用”过渡。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $