4.2 指数函数（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “指数函数”是“指数函数与对数函数”章节的重要内容，是继“实数指数幂”后对“指数型变化”的具象化刻画。教材先通过“细胞分裂”等生活实例，引出指数函数的定义，再通过图像对比底数a>1（递增）与0<a<1（递减）的特征，总结指数函数的性质。这种设计既契合中职学生“从实例到抽象、从图像到性质”的认知规律，又深化了“数形结合”“数学建模” 的核心思想，帮助学生建立“用指数函数描述生活中‘倍数累积型变化’”的思维。。 五、学情分析 学生已掌握实数指数幂的运算，具备“指数表示倍数关系”的认知基础，但在指数函数的学习中可能存在短板：对“指数函数与幂函数的区别”易混淆，常误将指数函数的底数与指数颠倒；对“底数a的取值限制（且）” 理解模糊，易忽略实际意义中的底数约束；同时，学生将指数函数性质与生活场景结合的能力不足，难以识别“指数型变化”。因此，教学中需借助对比案例强化概念辨析，通过具象化场景明确底数的实际意义。 六、教学目标 1.能准确阐述指数函数的定义，明确其形式； 2.熟练绘制指数函数的图像，能从图像中归纳出指数函数的性质； 3.能将实际问题转化为指数函数模型，运用指数函数的性质解决问题，培养数学建模与应用意识。 七、教学重点 1.掌握指数函数的定义； 2.通过指数函数的图像归纳出指数函数的核心性质。 八、教学难点 理解“底数a的实际含义”，明确底数取值对函数变化趋势的影响。 九、教学方法 案例分析法：结合实例对指数函数进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 课堂练习：通过典型案例与练习帮助学生更好地掌握指数函数的定义与性质。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 情境1： 《庄子·天下篇》中有一段脍炙人口的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这里的“一尺之棰”，即一尺（长度单位，1尺约合0.33m）长的木棍，“日取其半”即每天取它的一半。 若一直“日取其半”，则每天剩下的木棍长度就是下面的一列数字： ，,,, 记取到第x天时剩下的长度为y，那么y与x的函数关系是 y=① 其中指数x是自变量，定义域是x∈。 情境2： 细胞每分裂1次其数量变为原来的两倍，则每次分裂后的细胞数量如下表所示。 如果设细胞分裂的次数为x，对应分裂后的细胞数量为y，那么y与x的函数关系是y=② 其中指数x是自变量，定义域是x∈。 如果用字母a代替上述①②两式中的底数和2，那么函数y=和y=就可以表示为y=的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量。 通过生活案例激发学生思考，引出指数函数的定义。 导入新知 一般地，形如y=(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数。其中x是自变量，定义域是R.例如：y=，y=都属于指数函数。 接下来，我们将按照列表、描点、连线几个步骤来绘制指数函数的图像。 举例函数：y=,y= （1）列表 (2)在平面直角坐标系内描点、连线： 通过观察函数的对应值表和图像，可以发现两个不同指数函数的图象有以下特征： （1）y=在(−∞，+∞)上是增函数; （2）y=在(−∞，+∞)上是减函数; （3）这两个函数的任意函数值y都大于0，且它们的图象都经过点(0, 1)。 师生共同总结指数函数的定义并画出指数函数的图像。 案例分析 【例题】以下各点在指数函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 【解析】选项A：，故A选项错误，D选项正确； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 故选：D. 【例题】下列是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】选项A.中，不符合指数函数的定义. 选项B.的指数部分为，不符合指数函数的定义. 选项C.中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义. 选项D.中且中为指数函数. 故选：D. 通过案例分析帮助学生理解指数函数的定义。 学以致用 【练习】下列各点不在指数函数的图像上的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为指数函数，当时，，不在函数图像上，故选项C正确. 当时，.当时，，所以在函数图像. 故选：C. 【练习】下列函数中为指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为形如的函数称为指数函数， 函数是反比例函数，不是指数函数，故选项A不符合题意； 函数是幂函数，不是指数函数，故选项B不符合题意； 函数含有常数项，不是指数函数，故选项C不符合题意； 函数 ，是指数函数，故选项D符合题意； 故选：D. 通过及时练习来加强学生对指数函数的定义的记忆。 深入理解 利用同样的方法，我们还可以在同一个平面直角坐标系中画出 y=,y=,y=,y=的图像，如下图所示。 观察指数函数的图像，我们可以如何描述这些图像在位置、公共点和变化趋势等方面的共性特征？ (1)图中所有指数函数图像均在轴的上方（位置特征）； (2) 图中所有指数函数图像都经过定点(0,1)（公共点特征）； (3)在定义域内： ①指数函数y=,y=,y=图像从左向右分别逐渐上升，在第二象限内向左与轴无限接近； ②指数函数y=,y=,y=图像从左向右分别逐渐下降，在第一象限内向右与轴无限接近（变化趋势特征）. 我们观察分析发现，指数函数y=(a>0,且a≠1)的图像按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型. 一般地，指数函数y=(a>0,且a≠1)具有以下性质： (1)函数的定义域为R，值域为(0,+∞)； (2)当=0时，函数值y=1； (3)当a>1时，函数在(-∞,+∞)内是增函数； 当0<a<1时，函数在(-∞,+∞)内是减函数. 通过再次举例指数函数并绘制图像来总结指数函数的性质。 案例分析 【例题】下列各指数函数中，在区间上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，指数函数，当底数时在上单调递减. 对A，B，D，因为， 所以，，在上单调递增，故ABD错误. 对C，因为，所以在上单调递减，故C正确. 故选：C. 【例题】设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由指数函数在上单调递减，且，所以. 故选：D. 通过案例分析帮助学生理解指数函数的性质。 学以致用 【练习】若指数函数的图像经过点，则其单调性为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上递增，在上递减 D．非单调函数 【解析】因为指数函数的图像经过点， 所以，即，又因为，所以； 因为，所以函数在上单调递减. 故选：B. 【练习】下列各指数函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 由指数函数的性质可知， 在上单调递减， 在上单调递增， 故选：B. 通过及时练习来加强学生对指数函数的性质的记忆。 课堂练习 【练习1】不等式的解集是（ ）. A． B． C． D．R 【解析】因为在上单调递增， ，可得，解得， 所以解集为. 故选：B. 【练习2】若指数函数是R上的增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为指数函数是R上的增函数， 因此底数，即. 则的取值范围是. 故选：A. 【练习3】函数的图象一定经过（ ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 【解析】因为为指数函数，且底数， 所以函数在定义域上单调递减，且图像均在轴上方，经过第一、二象限； 将图像关于轴对称，得到， 此时的图像在轴下方，经过第三、四象限. 故选：D. 【练习4】函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为函数， 其中，所以该函数在其定义域上是单调递减函数， 且过定点，只有D选项符合，选项ABC不符合. 故选：D. 某可降解塑料的降解率为每天10%，即剩余量是前一天的90%(0.9)。请结合本节课所学知识点计算下列问题： (1)设降解时间为天，剩余量为，写出指数函数解析式. (2)降解7天后，剩余量约是初始值的多少（保留两位小数）？ (3)为什么要推广可降解塑料？ 答案：(1)y=0.9^x; (2)x=7→y=0.9^7≈0.48(47.8%);(3)从指数递减的特点看,可降解塑料的剩余量随时间呈指数衰减，能快速减少环境中的塑料残留. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 指数函数：一般地，形如y=(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数。其中x是自变量，定义域是R. 指数函数y=(a>0,且a≠1)有以下性质： (1)函数的定义域为R，值域为(0,+∞)； (2)当=0时，函数值y=1； (3)当a>1时，函数在(-∞,+∞)内是增函数； 当0<a<1时，函数在(-∞,+∞)内是减函数. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 在本节课的教学过程中，通过“实例导入→定义总结→图像分析→课堂练习”的环节设计，帮助学生初步掌握了指数函数的概念与性质，多数学生能识别指数函数的增减类型。但教学中仍存在不足：部分学生对“指数函数与幂函数的区别”仍有混淆，出现“将y=误判为指数函数”的错误。后续教学中，需补充“指数函数与幂函数”的对比训练，强化概念辨析，兼顾不同层次学生的学习需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $