4.2 指数函数（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.2 指数函数 北师大版 基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 学习目标 1.能准确阐述指数函数的定义，明确其形式； 2.熟练绘制指数函数的图像，能从图像中归纳出指数函数的性质； 3.能将实际问题转化为指数函数模型，运用指数函数的性质解决问题，培养数学建模与应用意识。 教学引入 情境1：《庄子·天下篇》中有一段脍炙人口的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这里的“一尺之棰”，即一尺（长度单位，1尺约合0.33 m）长的木棍，“日取其半”即每天取它的一半。 教学引入 若一直“日取其半”，则每天剩下的木棍长度就是下面的一列数字： 记取到第x天时剩下的长度为，那么与x的函数关系是 ① 其中指数x是自变量，定义域是x。 教学引入 分裂次数 0次 1次 2次 3次 4次 5次 6次 7次 ... 细胞数量 1 2 4 8 16 32 64 128 ... 幂形式 ... 情境2： 细胞每分裂1次其数量变为原来的两倍，则每次分裂后的细胞数量如下表所示。 教学引入 如果设细胞分裂的次数为x，对应分裂后的细胞数量为y，那么y与x的函数关系是 y= ② 其中指数x是自变量，定义域是x。 如果用字母代替上述①②两式中的底数和2，那么函数和y= 就可以表示为y= 的形式，其中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量。 导入新知 一般地，形如且的函数叫做指数函数。其中x是自变量，定义域是R. 例如：，都属于指数函数。 导入新知 接下来，我们将按照列表、描点、连线几个步骤来绘制指数函数的图像。 举例函数：, （1）列表 ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· 1 2 4 8 ··· ··· 8 4 2 1 ··· 导入新知 (2) 在平面直角坐标系内描点、连线： 通过观察函数的对应值表和图像，可以发现两个不同指数函数的图象有以下特征： （1）在(∞，+∞)上是增函数; （2）y=在(∞，+∞)上是减函数; （3）这两个函数的任意函数值 都大于0，且它们的图象都经过点(0, 1)。 导入新知 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 学以致用 深入理解 利用同样的方法，我们还可以在同一个平面直角坐标系中画出 的图像，如下图所示。 观察指数函数的图像，我们可以如何描述这些图像在位置、公共点和变化趋势等方面的共性特征？ 深入理解 (1) 图中所有指数函数图像均在x轴的上方（位置特征）； (2) 图中所有指数函数图像都经过定点(0, 1)（公共点特征）； (3) 在定义域内： ①指数函数，图像从左向右分别逐渐上升，在第二象限 内向左与x轴无限接近； 深入理解 ②指数函数图像从左向右分别逐渐下降，在第一象限内向右与x轴无限接近（变化趋势特征）. 我们观察分析发现，指数函数 的图像按底数的取值，可分为0 < < 1和> 1 两种类型. 深入理解 一般地，指数函数具有以下性质： (1) 函数的定义域为R，值域为(0, +∞)； (2) 当 = 0时，函数值y = 1； (3) 当> 1 时，函数在(-∞, +∞)内是增函数； 当0 << 1 时，函数在(-∞, +∞)内是减函数. 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 某可降解塑料的降解率为每天10%，即剩余量是前一天的90%(0.9)。请结合本节课所学知识点计算下列问题： (1)设降解时间为天，剩余量为，写出指数函数解析式.(2)降解7天后，剩余量约是初始值的多少（保留两位小数）？(3)为什么要推广可降解塑料？ 答案：(1); (2)0.48(47.8%);(3)从指数递减的特点看,可降解塑料的剩余量随时间呈指数衰减，能快速减少环境中的塑料残留. 课堂小结 a > 1 0 < a < 1 定义域：R 值域：(0,+∞) 过定点(0,1) 增函数 减函数 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】以下各点在指数函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 选项A：，故A选项错误，D选项正确； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 选项A.中，不符合指数函数的定义. 选项B.的指数部分为，不符合指数函数的定义. 选项C.中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义. 选项D.中且中为指数函数. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列各点不在指数函数的图像上的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为指数函数，当时，，不在函数图像上，故选项C正确. 当时，.当时，，所以在函数图像. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列函数中为指数函数的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为形如的函数称为指数函数， 函数是反比例函数，不是指数函数，故选项A不符合题意； 函数是幂函数，不是指数函数，故选项B不符合题意； 函数含有常数项，不是指数函数，故选项C不符合题意； 函数 ，是指数函数，故选项D符合题意； 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列各指数函数中，在区间上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意得，指数函数，当底数时在上单调递减. 对A，B，D，因为，所以，，在上单调递增，故ABD错误.对C，因为，所以在上单调递减，故C正确.故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由指数函数在上单调递减，且，所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若指数函数的图像经过点，则其单调性为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上递增，在上递减 D．非单调函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为指数函数的图像经过点， 所以，即，又因为，所以； 因为，所以函数在上单调递减. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列各指数函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，由指数函数的性质可知， 在上单调递减， 在上单调递增， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】不等式的解集是（ ）. A． B． C． D．R 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为在上单调递增， ，可得，解得， 所以解集为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】若指数函数是R上的增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为指数函数是R上的增函数，因此底数，即. 则的取值范围是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】函数的图象一定经过（ ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为为指数函数，且底数， 所以函数在定义域上单调递减，且图像均在轴上方，经过第一、二象限； 将图像关于轴对称，得到， 此时的图像在轴下方，经过第三、四象限. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为函数， 其中，所以该函数在其定义域上是单调递减函数， 且过定点，只有D选项符合，选项ABC不符合. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $