4.1 实数指数幂（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.1 实数指数幂 北师大版 基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 学习目标 1.理解并掌握有理数指数幂推广到实数指数幂的过程； 2.熟练运用整数指数幂、实数指数幂的运算法则并能正确进行指数幂的化简、计算； 3.具备运用实数指数幂的知识分析、解决简单实际问题或数学问题的意识。 教学引入 同学们，在初中阶段我们学习过平方根与立方根，大家还记得它们的定义以及计算方法吗？ 教学引入 (1)如果，那么就叫作的平方根（或二次方根）。因为≥0， 故当时，在实数范围内没有平方根； 当时，的平方根有两个，它们互为相反数，分别为和； 当时，。 例如，±3就是9的平方根。 教学引入 (2)如果，那么就叫作的立方根（或三次方根）。 在实数范围内只有一个立方根，记为。 例如，2就是8的立方根。 思考： 那如果把“2 次”、“3 次”拓展到任意的正整数次，比如 4 次、5 次、n 次呢？大家猜猜：正数的 4 次方根会有几个？负数有没有 5 次方根？ 导入新知1 一般地，如果，那么就叫作的次方根。 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。这时，的次方根用符号表示。 例如，，，。 导入新知1 当是偶数时，的次方根有两个，两数互为相反数。这时，正数的 方根用符号表示，负数的次方根用符号表示。正的次方根与负的次方根可以合并写成±(. 例如，，，±。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 深入理解 形如的式子叫作根式，叫作根指数，叫作被开方数。 根据次方根的定义，根式具有下列性质： (1) 。 (2) 当为奇数时， ； 当为偶数时， 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 在初中，我们曾学习过整数幂的相关知识。（∈）称为 的 次幂，叫做底数，叫做指数。 (1) =× ×......× （个连乘，）; (2) ； (3) . 试想，如果幂指数是分数时，此时的指数幂应该如何表示呢？ 导入新知2 为此，我们现将整数指数幂的概念进行推广，利用刚学习过的根式来表示分数指数幂，规定分数指数幂的意义如下： ，时，有。 这样，幂指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。 导入新知2 只要每一个有理数指数幂有意义，整数指数幂的运算性质对有理数指数幂就同样适用。因此，我们初中学习过的整数指数幂的运算性质就可以推广到有理数指数幂。 设，则： （1）=； （2）=； （3） = 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 小学我们学习了自然数，初中从自然数拓展到整数、有理数乃至实数。 类似地，在学习有理数指数幂的基础上，我们可以将中指数的取值范围从有理数拓展到全体实数，此时，的意义是什么呢？ 如，它们是一个确定的数吗？能否计算出结果呢？ 导入新知3 事实上，我们可以通过科学计算器算出的值，即表明这些无理数指数幂都是一个确定的实数。 这样，我们将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到有理数、无理数，乃至实数。当为任意实数时，实数指数幂表示一个确定实数。 导入新知3 有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂的运算性质，即 当，则： （1）=； （2）=； （3） = 注意：运算性质成立的条件是每个实数指数幂都有意义。 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 同学们，手机是我们日常生活中非常实用的物品。据了解，手机存储容量常用 “2 的整数幂” 表示。请同学们结合本节课知识点思考： ①128G 对应的指数幂是多少？ ②若某软件安装包大小是MB，手机剩余 128G 空间，最多能存多少个这样的安装包？ 答案：①128G=G；②最多存==16个 课堂小结 有理数指数幂运算性质： 设，则： （1）=； （2）=； （3） = 实数指数幂的运算性质： 当，则： （1）=； （2）=； （3） = 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】以下说法正确的是（ ） A．正数的次方根是正数 B．负数的次方根是负数 C．0的次方根是0（其中且） D．负数没有次方根 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 A，正数的偶次方根中有负数，故A错误；B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，故B错误；C，当且时，0的次方根是0，故C正确；D，为奇数时，负数的奇次方根是负数，故D错误． 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列根式中无意义的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据偶次根式的被开方数为非负数，奇次根式的被开方数为全体实数可知， 无意义，其它选项均有意义. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列根式无意义的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵要使有意义，则有，无意义，； 都是有意义的，∴只有A符合题意． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】将根式化为分数指数幂是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根式化为分数指数幂是， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，，故D错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，则等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，那么等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，，，此时； 当时，，，此时. ，因此，. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】计算：（ ） A．6 B．7 C．8 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】计算（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，，， ∴原式. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】的化简结果为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】下面各式．计算正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据指数幂的运算法则可知， ，，，， 所以ACD错误，B正确. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】化简的结果为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 项A：，A错误；B：，B错误； C：，C错误；D：，D正确. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 原式， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $