专题06 指数函数与对数函数（讲义）-2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据《天津市高职分类招生（面向中职毕业生）考试数学科目考试说明》及天津历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026年天津市（高职分类考试）《数学考纲专题练》 专题06 指数函数与对数函数 一、考纲解读 1. 指数与对数 · (1)指数及指数运算 · (2)对数及对数运算 2. 指数函数 3. 对数函数 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题、填空题 2、9 指数运算、对数运算 12 （1）题型：集中在选择题和填空题。 （2）分值：分值一般在12分。 （3）内容：指数运算与对数运算。 2024 选择题、填空题 2、9 指数运算、对数运算 12 2023 选择题、填空题 2、12 指数运算、对数运算 12 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年天津市对口招生考试依然有2道题目考查指数运算与对数运算，题型设置为选择题与填空题，分值12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数运算 · 对数运算 四、知识梳理 （1） 指数 1.n次方根与根式 （1）a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 [0，＋∞) （3）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （4）根式的性质：根式的性质是化简根式的重要依据 ①负数没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作. ③(n∈N*，且n>1)． ④(n为大于1的奇数)． ⑤(n为大于1的偶数)． 2.分数指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）有理数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． ④＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 3.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （二）对数 1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 概念理解：（1）a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. （2）a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定． （3）a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lgN 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e=2.71828 logeN记为lnN 3.对数的性质 （1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. （2）对数恒等式 ①＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （3）1的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1)． （4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1)． （5）零和负数没有对数． 4.对数的运算 （1）对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． （2）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 对数换底公式的重要推论： 推论1：logab＝logba，即logab=.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1)． 推论2：(a>0，且a≠1，b>0)． 推论3：logab·logbc＝logac． logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． （三）指数函数 1.一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图像和相关性质 （1）指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 （2）底数a对指数函数图像的影响 ①规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. ②在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. 3.幂的大小比较 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． （4） 对数函数 1.对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象和性质 （1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞). x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]. 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 （2）底数对对数函数图像的影响 底数a决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低： ①上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴. ②左右比较：比较图像与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 五、10分钟小测验 1．若，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（    ） A．8 B．4 C． D． 3．计算（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（   ） A． B． C．2 D． 9．（   ） A． B．0 C． D．1 10．（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案解析】 1．B 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 2．A 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：A 3．D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 4．A 【分析】利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由指数幂的运算性质得，故A正确. 故选：A 5．C 【分析】根据指对数运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 6．B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 7．A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 8．A 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 9．D 【分析】利用对数运算计算即得. 【详解】. 故选：D 10．C 【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算． 【详解】． 故选：C． 六、经典例题解析 （一）指数运算 【考试题型1】指数运算 例1． ． 【答案】3 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】因为. 故答案为：3 例2．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据指数的运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：3 （二）对数运算 【考试题型1】对数运算 例1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对数的运算性质判断. 【详解】选项A：，故选项A正确； 根据对数恒等式可知，选项B正确； 选项C：，故选项C错误； 根据换底公式可得：，故选项D正确， 故选：ABD． 例2．若函数，则 ． 【答案】7 【详解】. 故答案为7 七、专题归纳小结 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $