专题05 函数的性质（讲义）-2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据《天津市高职分类招生（面向中职毕业生）考试数学科目考试说明》及天津历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为函数的性质。 2026年天津市（高职分类考试）《数学考纲专题练》 专题05 函数的性质 一、考纲解读 1. 函数单调性、奇偶性及图像特征 · (1)单调性 · (2)奇偶性 2.一次函数、二次函数及反比例函数的图像与特征 · (1)一次函数 · (2)二次函数 · (3)反比例函数 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题、解答题 7、15 奇偶性、二次函数单调性与最值 11 （1）题型：集中在选择题和解答题。 （2）分值：分值一般在11分。 （3）内容：函数的单调性奇偶性、二次函数的性质。 2024 选择题/解答题 4、15 奇偶性、二次函数单调性与最值 11 2023 解答题 3、15 单调性、二次函数的性质与最值 15 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年天津市对口招生考试依然有2道题目考查函数的性质，题型设置为选择题和解答题，分值11分。 具体考点可能涉及如下内容： · 奇偶性 · 单调性 · 二次函数的性质 四、知识梳理 （1） 函数单调性、奇偶性及图像特征 1.单调性 （1）函数的单调性 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. （2）函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. （3）函数单调性的判断方法 ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. 2.最值 （1）函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. （2）．求函数最值的三种基本方法： ①单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. ②图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. ③基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 3.奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 几何意义 奇函数：关于原点中心对称； 偶函数：关于Y轴对称 （二）一次函数、二次函数及反比例函数的图像与特征 1.一次函数的图象及性质： 一次函数(是常数，)的图象是一条直线，称为直线.当时，直线从左向右上升，即随着的增大而增大；当时，直线从左向右下降，即随着的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 2.反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： （） （） 3.二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 五、10分钟小测验 1．函数，（   ） A．最大值为5 B．最大值为-6 C．最大值为1 D．无最大值 2．下列函数中，在区间上单调增的是（   ）. A． B． C． D． 3．下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（   ） A． B． C． D． 5．下列函数是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数是偶函数的是（    ）. A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．A 【分析】根据为一次函数，分析可得当x=1时有最大值，代入即可得答案. 【详解】因为，为一次函数，在R上单调递增， 所以最大值为. 故选：A 2．C 【分析】根据反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质知：在上单调递减，A错误； 对于B，由二次函数性质知：在上单调递减，B错误； 对于C，由指数函数性质知：在上单调递增，C正确； 对于D，由对数函数性质知：在上单调递减，D错误. 故选：C. 3．A 【分析】根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 4．A 【分析】根据常见函数的单调性依次判断即可. 【详解】根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确； 因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减， 但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误； 根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误； 根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误. 故选：A. 5．D 【分析】根据奇函数的定义直接判断. 【详解】A选项：的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，A选项错误； B选项：的定义域为，且， 即函数为偶函数，B选项错误； C选项：的定义域为，且， 即函数为非奇非偶函数，C选项错误； D选项：，定义域为，且， 即函数为奇函数，D选项正确； 故选：D. 6．A 【分析】根据常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】为偶函数，为非奇非偶函数， 为奇函数，为非奇非偶函数. 故选：A. 7．B 【分析】函数的奇偶性单调性判断即可. 【详解】为偶函数，故A错；为奇函数且单调递增，故B正确； 是奇函数，在和单调递减，故C错；是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 8．B 【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数. 故选：B. 9．B 【分析】利用二次函数的性质即可得出递减区间. 【详解】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下， 可知该函数的单调递减区间是. 故选：B． 10．C 【分析】①由抛物线开口向上可得出的正负，可对①进行判断； ②由抛物线与轴的交点在轴负半轴可得出的正负，可对②进行判断； ③由抛物线与轴有两个交点，可得出的正负，可对③进行判断； ④由抛物线的对称轴在轴右侧，可得出，可对④进行判断. 【详解】①∵抛物线开口向上，∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴的交点在轴负半轴，∴，结论②错误； ③∵抛物线与轴有两个交点，∴，结论③正确； ④∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，结论④错误. 故选：C. 六、经典例题解析 （一）奇偶性、单调性 【考试题型1】奇偶性 例1．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，即函数是奇函数. 故选：A. 例2．已知函数为奇函数，，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质作答. 【详解】函数为奇函数，有, 因为，所以. 故选：C. 【考试题型2】单调性 例3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性逐项分析即可得解. 【详解】选项A：是一次函数，,在上是减函数，不符合题意； 选项B：是二次函数，开口向上，对称轴为，故在上是增函数，符合题意； 选项C：是反比例函数，在上是减函数，不符合题意； 选项D：，当时，函数可化为,，在上是减函数，不符合题意； 故选：B. 例4．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数单调性即可求解. 【详解】对于选项A：函数在上单调递增，在上单调递减，故A选项正确； 对于选项B：一次函数，由于其在上单调递增； 对于选项C：反比例函数，由于其在上单调递增； 对于选项D：二次函数，开口向上，对称轴为，所以其在上为增函数. 故选：A. （二）二次函数的性质 【考试题型1】求二次函数最值 例1．已知函数，求 (1)函数图象与坐标轴的交点坐标 (2)不等式的解集 (3)函数的单调递减区间 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）令，求出对应的x的值,，令代入函数解析式中求出函数的值即可求解. （2）根据一元二次不等式的解法即可求解. （3）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）在函数中，令，则，解得或， 所以函数图象与x轴的交点坐标为； 在函数中，令，则， 所以函数图象与y轴的交点坐标为. （2）由，则，解得或， 所以不等式的解集为. （3）函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 例2．已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 七、专题归纳小结 1.函数单调性的判定方法 （1）定义法，步骤：取值、作差、定号、判断（同增异减）； （2）图象法，根据函数图象的升降情况进行判断； （3）直接法，运用已知的结论，直接得到函数的单调性． 2．函数奇偶性的判定方法 （1）定义法：首先确定函数的定义域，验证函数定义域是否关于原点对称．若否，函数是非奇非偶函数，若是，继续判断． 若则为偶函数， 若则为奇函数， 若都不成立，则函数是非奇非偶函数， 若都成立，则函数既是奇函数，又是偶函数． （2）图象法：图像关于原点对称是奇函数；图像关于y轴对称是偶函数． （3）性质法：在定义域的公共部分内： 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数偶函数=奇函数（注：取商时应使分母不为0）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $