专题10 数列（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第10个专题，内容为数列。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题10 数列 · 一、课标解读 · 了解数列及数列通项公式的概念 · 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 · 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 填空题 14 通项求值 5 陕西职教单招真题中，数列考查呈现以下特点： （1）题型：集中在填空题与解答题，本节重点介绍填空题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在5分左右。 （3）内容：主要考查数列求值，难度系数中等，需加强公式及模型的记忆。 2022 填空题 14 通项求值 5 2021 填空题 19 递推关系求值 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道填空题考查，考查“数列求值”等，共5分。 具体考点： · 数列通项公式求值。 · 数列递推关系求值。 四、知识梳理 一、数列的基础概念 1. 数列的定义 按一定顺序排列的一列数称为数列，其中每一个数叫做数列的“项”。 表示方法：。 2. 数列的分类 分类标准 类型 定义与示例 项的个数 有穷数列 项数有限的数列， 无穷数列 项数无限的数列 项的变化趋势 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它前面的项 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它前面的项 常数列 所有项都相等的数列 说明：1.通项公式并非所有数列都存在，如摆动无规律的数列无法用单一函数式表示。 2.数列与函数的区别：数列的定义域是正整数集（或其有限子集），而函数定义域可更广泛（如实数集）。 3.判定数列类型时，需注意 “从第 2 项起” 的前提，仅前几项满足增减性不代表整个数列的类型。 3. 数列的通项公式 定义：如果数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个关于n的函数式表示，这个式子就叫做数列的通项公式，记为（n为正整数）。 作用：已知通项公式，可直接求出任意一项（代入项数n即可）。 （一）与Sn的关系 若数列{}的前n项和为Sn， 则＝ 说明：利用 ＝Sn－Sn－1（n≥2）求通项时，必须验证 n＝1 时是否满足，若不满足需分段表示（n＝1 和 n≥2 分开写）。 若 Sn＝0（n∈N*），则＝0（无需分段）；若 ≠，需以 n＝1 时的结果为准修正通项。 （二）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为－＝d(n∈N*) (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. (3)通项公式 ＝＋(n－1)d＝＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4) 前n项和公式：, 2. 等差数列的性质 已知数列{}是等差数列，是其前n项和． (1) 若＋＋…＋＝＋＋…＋，则特别地， (2)，，，，…仍是等差数列，公差为kd (3)数列，，，…也是等差数列． (4)数列{}，{}是公差分别为，的等差数列，则数列{p}，{＋p}，{p＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为p，，p＋q 说明：1、公差 d 可为正数、负数或 0，d＝0 时为常数列（既是等差数列也是等比数列，仅当各项非零）。 2、等差中项公式 ，需注意 的等差中项等价于成等差数列，缺一不可。 3、前 n 项和公式 与 可灵活选用，已知用前，已知、d 用后者。 4、性质应用需满足 “m、n、p、q∈N*”，若项数超出正整数范围，性质不成立。 （三）等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒＝ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：＝. (2)前n项和公式： 3.等比数列的主要性质 设数列{}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则＝，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(k，m∈N*)． (3)若数列{}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{b}，{p·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 说明：1、公比 q≠0，且所有项 ≠0（避免出现 0 项导致后续项无意义）。 2、等比中项存在的前提是 ab＞0（即 a、b 同号），此时有两个等比中项，异号两数无等比中项。 3、前 n 项和公式需分情况，切勿忽略 q＝1 的特殊情况。 4、设等比数列项时，若公比为负数，不可用 “a/q、a、aq” 形式（会出现正负项交替，与设定矛盾），需直接设为 五、10分钟小测验 1.数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列的前项和，那么等于(    ) A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知为等比数列的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查由数列的递推关系求数列的通项公式，属于基础题． 由，得，则是为首项，为公比的等比数列，求出通项，进而求． 【解答】 解：因为， 所以，， 则是为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选C． 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查数列的前项和与第项的关系，属于基础题． 由题意根据，计算求得结果． 【解答】 解：数列的前项和，， 故选：． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等差数列求和数列通项公式，是基础题． 根据前项和公式求出，再根据等差数列通项公式得出答案． 【解答】 解：由题意知，， 解得，， 所以． 故选C． 4.【答案】A  【解析】解：因为，所以， 而，因此，所以． 故选：． 5.【答案】A  【解析】解：设等比数列的公比为，显然， 由，即， 则，解得， 所以． 故选： 六、经典例题解析 （1） 通项公式直接代入求值 【例1】（2023·陕西对口升学高考）已知数列的通项公式为，则_________． 【解析】：已知数列通项公式只需将代入公式： （二）递推公式的逐项计算 【例2】已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，数列满足， 则 ． 【例3】.已知数列满足，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，属于基础题． 利用数列的递推关系式，依次求解数列的项即可． 【解答】 解：数列满足，， 则，， ，，． 故答案选：． 通项公式相关考点 直接代入求值：已知通项公式，只需将指定项数n代入公式，计算即可得对应项。 递推关系求项 / 通项： 形如通过构造等比数列（两边加常数转化为等比形式）求解通项，再求指定项。 形如：利用累加法，累加从的式子求通项。 形如：直接逐项递推，根据指数运算规律求指定项。 （三）延伸常见题型 考点1求简单数列的通项公式 【例1】.数列，，，，的一个通项公式是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了通过观察分析猜想归纳即可得出数列的通项公式，属于基础题． 利用由数列，，，，可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，其分母为奇数，分子为即可得出． 【解答】 解：由数列，，，， 可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”， 其分母为奇数，分子为． 此数列的一个通项公式为． 故选：． 【例2】.数列，，，，，的一个通项公式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 把数列中，，，，，符号与通项的绝对值分别考虑，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】 解：由数列中，，，，，可以看出：符号正负相间，通项的绝对值为，，，，为等差数列，其通项公式． 数列，，，，，的一个通项公式为． 故选C． 考点2前 n 项和与通项的关系 【例1】.已知数列的前项和，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查数列的前项和及与的关系，属于基础题． 由即可求解． 【解答】 解：由题意得，． 故选：． 【例2】.已知各项均不为的数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，则， 两式相减可得：，即， 令，可得， 且，所以． 故选：． （四）等差数列 / 等比数列性质应用 【例1】（2022·陕西对口升学高考）已知等差数列中，，，则______. 解析：这是等差数列性质应用（等差数列中，若。已知是等差数列，根据等差数列性质：，因此： 【例2】.已知等差数列的前项和为若，，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为等差数列的前项和为若，， 所以， 则． 故选：． 【例3】.已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，属于基础题． 由等差数列的性质得，利用等比数列的通项公式即可求解． 【解答】 解：设的公比为． 因为，，成等差数列， 所以， 所以，解得负值舍去． 等差数列性质： 项的性质：若 等比数列性质： 项的性质：若； 与等差数列结合：利用等差数列性质建立方程，求等比数列公比。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 （一）数列基础部分 定义：按一定顺序排列的一列数，每一个数为数列的 “项”，第 n 项记为 分类：按项数分为有穷数列、无穷数列；按项的变化趋势分为递增数列、递减数列、常数列。 通项公式：第，可直接求任意一项。 的关系，需验证 n=1 时是否满足 n≥2 的表达式。 （二）等差数列部分 定义： 核心公式：通项公式；前 n 项和公式。 关键性质：；间隔等项组成的数列仍为等差数列；前 n 项和的片段数列成等差数列。 （三）等比数列部分 定义： 核心公式：通项公式；前 n 项和公式。 关键性质：若；间隔等项组成的数列仍为等比数列；同项数的等比数列对应项乘积（或常数倍组合）仍为等比数列。 二、解题策略与方法 （一）通项公式求解 观察法：分析数列项的符号、分子分母规律，归纳通项。 递推公式法：可累加法求解。 前 n 项和法：。 （二）等差 / 等比数列运算 基本量法：紧扣首项、公差 d（或公比 q），列方程求解核心量，再代入公式计算。 性质法：灵活运用等差 / 等比数列的项与项、项与和的性质，简化计算。 前 n 项和公式选择：等等比需先判断 q 是否为 1，再选对应公式。 （三）综合题型突破 等差与等比结合题：分别明确两个数列的类型，提取已知条件，建立方程关联求解。 实际应用题型：转化为等差或等比数列模型，确定首项、公差（公比）和项数，代入公式计算。 三、易错点与避坑指南 通项公式求解遗漏验证：，未验证 n=1 是否满足，导致通项分段错误。 等比数列忽视特殊情况：忽略 q=1 的情况直接用 q≠1 的前 n 项和公式；忽略等比中项要求 a、b 同号，异号两数无等比中项。 性质应用条件混淆：运用等差 / 等比数列性质时，未确认 m、n、p、q 为正整数，或项数超出范围仍套用性质。 计算失误：前 n 项和公式中项数、指数运算出错，尤其是等比数列中高次幂的计算。 四、复习建议 基础巩固：牢记数列、等差 / 等比数列的定义、核心公式和性质，默写通项公式、前 n 项和公式及常用性质，确保公式应用准确。 题型专项突破：针对 “通项公式求解”“等差 / 等比数列基本量计算”“性质应用”“关系” 四类核心题型，进行专项练习，总结每种题型的解题模板。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $