大题专题04 数列（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

公共基础课考纲专题练 AI职教 》 编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标 !准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，！ !助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和B卷习题，满足多样化1 1学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第4个大题专题，内容为数列。1 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 大题专题04数列 坐一、课标解读 了解数列通项公式及数列求和的概念。 > 能根据求通项公式及求和基本题型进行计算。 二、考情聚焦 分 年份 题型 题号 考查内容 考情总结 值 陕西职教单招真题中数 2023 解答题 19 等差数列及数列求和 列考查呈现以下特点： (1)题型：集中在选择 题解答题、本节重，点介 绍解答题。 (2)分值：几乎每年都 2022 解答题 18 等差数列及数列求和 有涉及，分值一般在12 分左右。 (3)内容：主要考查求 数列的通项公式、数列 2021 解答题 19 数列求通项及数列求和 求和等，难度系数中等 以上，学生需掌握基本 的计算模型，并加以运 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9AI职教 》 用。 奥三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道解答题考查，考查“通项公式及求和”等，共12 分。 具体考点： >数列求通项公式。 >数列求和。 工四、 知识梳理 知识点一、数列求通项公式常用方法 一、观察法（归纳法） 推导步骤 (1)罗列特殊项：写出n=1,2,3,…,k对应的项ay2a3,ak,建立项与n的直观对应； (2)分析共性特征： 符号特征：若项的符号交替，推测符号(-1或-)*1控制，奇数项正肌-1)1： 数值特征：若数值为n的倍数、平方、线性组合是2n;,直接建立数值与n的关系； 分数特征：分子、分母分别分析与n的关系，分子是n,分母是2n+1; (3)猜想通项表达式：基于上述分析，写出an的猜想式； (4)验证规律：将=1,2,3代入猜想式，若与已知项-致，则猜想成立。 二、公式法一一基于等差/等比数列定义的推导 (一)等差数列通项公式推导 1.定义前提 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 今AI职教 》 数列驯ad满足an-an-1=dn≥2)，d为常数，即公差。 2.推导过程（叠加法） 由定义展开递推关系：a2-a1=d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3十d=a1+3d;…以此类推， 第n项此首项多n-1个公差d;归纳通项：an=a1+(a-1)d。 说明：等差数列需先确认公差d为常数，等比数列需确认公比q为非零常数，避免误判数列类型。 (二)等比数列通项公式推导 1定义前提 数列刚a满足器=g(n≥2,9≠0为常数，即公比)。 2.推导过程（叠乘法）】 由定义展开递推关系：a2=a19(n=2)时，号=9；a3=a29=a19q=a192;a4=a39=a192q=a193; 以此类推，第n项是首项的g-1倍； 归纳通项：an=a19r-1(q≠0）。 说明：严格遵循“分情况讨论”原则：n=1时a1=S1,n≥2时an=Sn-S-1,不可省略n=1的验证步 骤。 若n=1时的结果不满足n≥2时的通项公式，需分段表示通项，避免合并导致错误。 三、利用前n项和Sn求通项 1.核心定义 前n项Sn=a1十a2十a3十…十am-1十arn≥1 前n-1项和S-1=a1十a2十…+ar-1(n≥2)， 因n=1时n-1=0,S0无意义。 2推导过程 当n≥2时，用Sn减去Sm-1,消去前n-1项：Sn-Sm-1=(a1十a2十…+am-1十an-(a1+a2十…+am-=an; 即得an=Sn-Sr-1(n≥2)； 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·考纲专题练 9AI职教 》 当n=1时，S1=a1 (n=1 综上，推导得到核心关系：an= lsn-Sm-1(a≥2) 说明：构造常数k=号需准确计算，确保新数列an十K为等比数列，后续还原通项时不可遗漏k,取倒数构 1.推导前提 递推公式为an-a-1=f(n≥2，且f(2+f3)+…+f(可求和。 2推导过程（消元思想） Step1:展开递推式从(a=2)到n:a2-a1=f(2)①；a3-a2=f3)②；a4-a3=f4)③；…；an-am-1=f() tep2:叠加所有式子（左右两边分别相加）：左边：(a2-a+(a3-a2+(a4-a)+…+(an-am-);剩余an Step3:整理得通项：an=a1+T人Tn为从2到n的和)。 五、累乘法（叠乘法） 1.推导前提 递推公式为器=(n(n≥2，a-1≠0)，且2)×f(3)×…×f(a)可约分。 2推导过程 Step1:展开递推式从a=2如：=f2)①：=f(3)②；=f(4)③；…；=f(n)氟n-1式； Step2:叠乘所有式子（左右两边分别相乘）：左边：斋×爱×器×…×器；中间项a2a3,a-1分子分母抵消， Step3:整理得通项：an=a1×P(Pn为fn)从2到n的积)。 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9AI职教 说明：累加法要求f2)+f(3)+…+fn)可求和，累乘法要求f2)×f3)×…×f(n)可约分，需先判断是 否满足前提条件，再展开递推式。 展开递推式时，注意项数对应（从n=2共一1个式子），叠加或叠乘后需准确消去中间项，避免漏项 或多算项。 六、构造法一一转化为等差/等比数列的推导 1.推导前提 递推公式为an=pam-1十g(n≥2，p≠1,9≠0，线性非齐次递推)， 无法直接用上述方法推导，需构造新的等差/等比数列。 2推导过程（转化思想）】 Step1:设定构造目标：希望将递推式转化an+k=p(am-1+k)(k为常数)，使an+k}为等比数列（公比为p); Step2:求解常数k:展开构造式：an+k=pan-1十pk→an=pam-1+(pk-k;与原递推式an=pam-1十g对比 Step3:证明新数列为等比数列：由a+k=P(a1十，得监=p(常数)，的an+是公比为p的等比数列： Step4:求新数列通项：新数列首项为a1十k,故am+k=(a1十kpr1; Step5:还原原数列通项：an=(a1+kpr-1-k(代入k=号). 知识点二、数列求和的常用方法 一、公式法一一等差/等比数列求和公式推导 (一)等差数列求和公式 1定义前提 数列a为等差数列，首项a1,公差d,前n项和Sn=a1十a2十…十an。 2.推导过程（倒序相加法） Step1:写出正序和倒序的和：正序：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)++[a1+(n-1)d①：倒序：Sn=an+(an 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9AI职教 Step2:两式相加，利用等差数列性质a1十an=a2十am-1=…=a十am-k+1:①+②得：2Sn=(a1十an; Step3:整理得核心公式：Sn=@;代入等差数列通项an=a1十(a-)a,推导得第二公式：Sn=na1+e 2 说明：等差数列求和需明确已知条件，避免公式混用。 等比数列案和高现先判晰Q1，若q+1再选网。-，注意分1-g与分子1一9的特号对应，避 免计算错误。 (二)等比数列求和公式 1定义前提 数列a为等比数列，首项a1,公比q(g≠0），前n项和Sn=a1十a2十…十an 2.推导过程（错位相减法） 当g=1时：数列各项均归1，放Sn=na1 当q≠1时： Step1:写出求和式及q倍求和式：Sn=a1+a19+a192+…+a19r1①；qSn=a19+a192+…+a191+a1g Step2:两式相减，消去中间相同项：①-②得：S1-q)=a(1-q; Sep3:整理得校心公式S。-(或变形加。-42，方>1时计算. 1-9 二、分组求和法一一分解数列的推导 1.适用前提 数列可分解为两个或多个等差、等比数列（或可直接求和的简单数列）的和，如an=bn+c{b}为等差数列，{cn小为等 2.推导过程（加法分配律）】 Step1:拆分通项：将an分解为多个简单数列的通项之和an=bn+cn+.十kn; Step2:拆分和式：根据加法分配律，前如项a=2马，=b,+2S+…+∑k 6 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ d 公共基础课考纲专题练 9AI职教 》 Step3:分别求和：对每个简单数列用对应公式求和； Step4:合并结果：将各部分和相加，得到原数列的和。 三、错位相减法一一等差×等比数列求和推导 1适用前提 数列通项为等差数列×等比数列的形式，即an=bmc《bn}为等差数列，{c}为等比数列，q≠1)。 2推导过程 Step1:写出求和式及g倍求和式：Sn=b1C1+bzc2+bgc3+…+bncn①；qSn=b1c2+bc3+.+b-1Cn+b Step2:两式相减，整理中间项：①-②得：S1-q)=b1C1+(b2-b1)c2+(b3-b2c3十…+(bn-bm-cn Step3:利用等差数列公差d=b2-b1=…=bn-bm-1,提取公因式：中间项为d(c2十c3十…十c,用等比数列 Step4:整理得最终和式。 说明：仅适用于“等差数列×等比数列”型通项，需先明确等差数列的公差d和等比数列的公比q (q卡1)。 书写S和gS时，确保等比数列的项错位对齐，相减后中间项构成等比数列，需准确计算其和，最后整理时 注意系数化简，避免符号错误。 四、裂项相消法 1.适用前提 数列通项为分式形式，且分母可分解为两个相差为常数的因式乘积， 如n=(k为常数)，可拆分为两个分式的差。 2.常见拓展形式推导 形式1：=(-点)： 形式2：一=n+1-V。 n+n+1 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9AI职教 》》 说明：裂项时需保证等价变形，不可遗漏系数，常见裂项形式需牢记，避免自行创造错误裂项方式。 求和时注意“消项规律”：通常消去中间项，剩余首项的一部分和末项的一部分，不可盲目消项导致漏剩 关键项。 五、倒序相加法 1.适用前提 数列满足“对称项之和为常数”，即a;+a-+1=C(C为常数，i=1,2,n）,等差数列是其特殊形式。 2.推导过程 3.Step1:写出正序和倒序的和：Sn=a1+a2+…+an-1+an①；Sn=an+am-1十…+a2+a1②； Step2:两式相加，利用对称项之和为常数的性质：①+②得：2Sn=n(a1+an=nC; Step3:整理得公式：Sn=竖。 说明：分组求和需将通项准确拆分为多个等差、等比数列或简单可求和数列，拆分后分别求和再合并，避 免拆分错误或漏加某一组的和。 倒序相加法仅适用于“对称项之和为常数”的数列，需先验证(a:十an-+1=C(常数)，再进行正序与倒 序相加，确保每组和均为C,避免分组错误。 窝五、10分钟小测验， 1等比数列an中，己知a1=2,a4=16 (1)求数列an}的通项公式an (2)若a3,as5分别是等差数列bn}的第4项和第16项，求数列bn的通项公式及前n项和Sn 【答案】解：(1)：等比数列an}中，已知a1=2,a4=16, 2q3=16,解得q=2, ÷an=2×2r1=2 (2):a3,a5分别是等差数列bn的第4项和第16项， :b4=a3=23=8,b16=a5=25=32, b4=b1+3d=8 b26=b,+15d=32, 解得b1=2,d=2, abm=2+(n-1)×2=2n. 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9AI职教 》 S=2m+×2=+n 【解析】本题考查数列的通项公式及前项和的求法，是基础题. (1)利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列an的通项公式an, (②)由等比数列通项公式求出等差数列b的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由 此能求出数列bn的通项公式及前n项和Sn 六、经典例题解析 (一)数列求通项 考点1：等差等比数列公式求通项 【例1】(2023·陕西对口升学高考)在等差数列{an}中，前n项和为S,,且满足4=1，a+S3=2 (1)求am; 【解析】(1)求等差数列a}的通项公式 设等差数列a}的首项1，公差为d。 5=1,得：a1+4d=1① 5项==型，结合5+S=2,得：1+-2化简得：5(1+1)=2→a+1=看→a1= 2 2 将a1=-寻代λ①，得：-是+4d=1→4d=号→d= an =a1+(n-1)d 因此，通项公式：=-是+（血-1）×号 ÷5 5 【例2】(202·陕西对口升学高考)已知数列a,的首项是3，且满足-9，n∈N a,-1 (1)求am; 【解析)(1)求数残an的通项公式 已=9，变形得：a1-9=9an-1)→an1=9an 又首项a1=3,因收a}是首项3、公比为9的等比数列，通项公式：an=3×9r1=32r1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 考点2：an与Sn关系求通项 【例1】(2021·陕西对口升学高考)已知数列an}的前n项和Sn=3n2+4,(n∈N。 (1)求an 解析（1)求an 数列的通项公式an与前n项Sn的关系为： 当n=1时，a1=S1; 当n≥2时，an=Sn-Sr-1 ①当m=1时：a1=S1=3×12+4=7 ②当≥2时：sn-1=3(n-12+4=3(n2-2m+1)+4=3n2-6n+7 则an=Sn-Sa-1=(3n2+4)-(3n2-6n+7)=6n-3 验证m=1时，6×1-3=3≠7，因此通项公式为：an={6n-3,≥2 7, n=1 考点3：形如an=pan-1十q(p≠1) 【1】若数列{an}的首项a1=2,且a+1=3an+2(neN). (I)求数列{an}的通项公式； (IⅡ)记等差数列{bn}的前n项和为Sa,b3=7,S7=63,设Cn=中，求证：数列{bncn}的前n项和 Tn<2. 【答案】(I)解：数列an}的首项a1=2,且+1=3an+2(nEN) :a+1+1=3(an十1)，a1十1=3，：{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列， an+1=30,an=3”-1: (I)证明：记等差数列bn}的公差为d,b3=b1+2d=7,S7=7b1+21d=63, 解得b1=3,d=2,所以，bn=2m+1,bn=2n+1片 Tn=3青+5寺+7寺+…+(2m+1() 专m=3京+5字+…+(2m-京+2m+小点2②) (1)-(2)得， =+2×售+++…+到-b+小声=+2×-6如+小痴--2如+ Tn=2-(a+2 考点4：形如an=pan-1十q(p≠q) 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！