大题专题04 数列（B卷·能力提升）--2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个大题专题，内容为数列。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 大题专题04 数列（B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共21小题，每小题12分） 1.已知数列满足，． 判断数列是否为等差数列，并说明理由； 记为数列的前项和，求． 2.记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求，并求的最小值． 3.已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． 求的值 记为数列的前项和，求． 4.已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为． 求数列的项数； 求的值． 5.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项之积 6.已知是等差数列的前项和，且． 求； 若，求数列前项和为． 7.设等差数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式 证明：． 8.已知数列是公差为的等差数列，满足． 求的通项公式； 设的前项和为，若，求的最大值． 9.已知等差数列，为其前项和，且，． 求数列的通项公式； 若为数列的前项和，求． 10.已知数列的前项和为，且满足，． 证明：是等差数列； 求． 11.已知是递增的等差数列，且满足，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和的最小值． 12.已知数列是等差数列，是的前项和，，． 判断是否是数列中的项，并说明理由； 求的最小值． 13.在等差数列中： 已知，，求； 已知，求． 14.设为等差数列的前项和已知，． 求数列的通项公式 若，求数列的前项和． 15.记数列的前项和为， 证明：数列为等差数列，并求通项公式； 记，求． 16.等差数列的前项和为，已知，． 求数列的通项公式； 求数列的前项和． 17.在等差数列中，已知，其前项和为，且． 求公差 问：当取何值时，取得最大值并求出它的最大值． 18.设是等差数列的前项和，已知，．  求数列的公差和通项公式；  求，并求的最小值． 19.已知公比大于的等比数列满足，． 求的通项公式； 求． 20.设为数列的前项和，已知，． 证明：数列为等比数列； 判断，，是否成等差数列并说明理由． 21.已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项． 求的通项公式； 设数列满足，且的前项和为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个大题专题，内容为数列。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 大题专题04 数列（B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共21小题，每小题12分） 1.已知数列满足，． 判断数列是否为等差数列，并说明理由； 记为数列的前项和，求． 【答案】解：，  ， ，   数列为首项为，公差为的等差数列；   ， ，由可得：， ，     ．  【解析】本题主要考查等差数列的应用及数列求和，根据分组求和法以及等差数列的求和公式是解决本题的关键． 根据等差数列的定义进行判断，即可得到结论； 根据为等差数列求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出． 2.记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求，并求的最小值． 【答案】解：设的公差为，由题意得． 由得． 所以的通项公式为． 由得． 所以当时，取得最小值，最小值为．   【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，属于基础题． 根据等差数列前项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果； 根据等差数列前项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值． 3.已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． 求的值 记为数列的前项和，求． 【答案】解：由根于系数关系可知，， 因此． 由可知， 因此． 由，可知， 而数列的偶数项为公差为的等差数列，因此， 因此， 因此．  【解析】本题考查根与系数关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养，属于中档题． 由根与系数关系可得，，进而可得，结合求得，可得结果； 由数列的偶数项为公差为的等差数列，可得，再利用等差数列的求和公式可得结果． 4.已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为． 求数列的项数； 求的值． 【答案】解：据题意，得，， ， 又根据等差数列性质知，， ， ， 又， 解得，即数列的项数为． 设等差数列的公差为， 据求解知， 即， ， ．  【解析】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，考查运算求解能力，是基础题． 推导出，由等差数列性质得到，由此能求出数列的项数． 推导出，由此能求出结果． 5.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项之积 【答案】解：设等差数列的公差为， 由，成等比数列， 得，解得舍去， 所以； 由得， 设数列的前项之积为， 则．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 6.已知是等差数列的前项和，且． 求； 若，求数列前项和为． 【答案】解：设公差为  ，结合题设有  ，解得  故  由有  ， 故  ， 即   ．   【解析】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前项和，裂项相消法求和，属于较易题． 利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，进而写  ； 应用裂项相消法求和即可． 7.设等差数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式 证明：． 【答案】解：设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得 解得 所以； 证明：由可得 ， 所以， 因此 ．  【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，裂项相消法求和，等差数列的前项和公式，属于基础题． 根据已知条件列出方程组求解即可； 根据中的通项公式，代入等差数列的求和公式，求解出，再代入中，裂项相消法求和，即可证明． 8.已知数列是公差为的等差数列，满足． 求的通项公式； 设的前项和为，若，求的最大值． 【答案】解：因为数列是公差为的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． 由得， 由得，即，解得， 由于，所以， 所以的最大值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9.已知等差数列，为其前项和，且，． 求数列的通项公式； 若为数列的前项和，求． 【答案】解：由，， 得， 解得， 的通项公式； 由得， 则，数列为等差数列， ．  【解析】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题． 由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，可得数列的通项公式； 求出数列的前项和，代入，再由等差数列的前项和公式求数列的前项和． 10.已知数列的前项和为，且满足，． 证明：是等差数列； 求． 【答案】时，，， 则， 两边同时除以，可得， ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 由可知，； ．  【解析】本题考查等差数列的定义、通项公式、前项和公式，数列的前项和及与的关系，属于中档题． 由数列的递推式，可得，化简 可得，由等差数列的定义即可得证；  由等差数列的通项公式可得，利用等差数列求和公式即可求解． 11.已知是递增的等差数列，且满足，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和的最小值． 【答案】解：是递增的等差数列，设公差为，则， 因为， 所以， 与联立， 解得，，， 则； ， 可得前项和， 当时，前项和取得最小值．  【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题． 设公差为，则，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差，首项，进而得到所求通项公式； 求得，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值． 12.已知数列是等差数列，是的前项和，，． 判断是否是数列中的项，并说明理由； 求的最小值． 【答案】解：是数列中的项，理由如下： 设等差数列的公差为， 由，得，即，又，得， 根据解得，所以， 令，解得， 所以是数列中的项； 由可知， 所以当或时，取得最小值，且最小值为．  【解析】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，数列的函数特征，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 设等差数列的公差为，根据可得，即，又可得，从而求出与即可得到的通项公式，再令即可判断是否是数列中的项； 由可知，从而结合二次函数的性质与图象及可求出的最小值． 13.在等差数列中： 已知，，求； 已知，求． 【答案】解：设等差数列的公差为． ，， 解得 ； ， ， ．   【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式以及前项和公式，属于基础题型． 根据等差数列的通项公式和前和公式，建立关于和的方程组，求和，进而求得． 根据等差数列的求和公式进而求得． 14.设为等差数列的前项和已知，． 求数列的通项公式 若，求数列的前项和． 【答案】解：设等差数列的公差为， 由题意可知， 解得，， 所以数列的通项公式为． 由知，当时，， 所以 当时，， 所以， 故   【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和，属于基础题． 由题意列方程求得，即可得． 分、结合等差数列的求和公式可得答案． 15.记数列的前项和为， 证明：数列为等差数列，并求通项公式； 记，求． 【答案】解：， ，， 所以， 数列为等差数列． ， ． ．  【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的判断与证明，等差数列的求和，属于中档题． 由题意得出的值，由得出所以，根据等差数列定义可得结论，可得数列的通项公式； 运用等差数列的求和即可得答案． 16.等差数列的前项和为，已知，． 求数列的通项公式； 求数列的前项和． 【答案】解：设数列的公差为， ，， ，，公差为，， ； 由已知， 当时，，； 当时，，； 综上．   【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，属于基础题． 根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； 根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，即可求解． 17.在等差数列中，已知，其前项和为，且． 求公差 问：当取何值时，取得最大值并求出它的最大值． 【答案】解：设等差数列的公差为，，， ，解得． ，令，解得， 当或时，取得最大值，它的最大值为．  【解析】本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题． 利用等差数列的求和公式求出 令，解得，当或时，取得最大值，利用等差数列前项和公式计算即可． 18.设是等差数列的前项和，已知，．  求数列的公差和通项公式；  求，并求的最小值． 【答案】解：在等差数列中，， ，又 ，， ． 由可知，， 即， 当时，取得最小值．  【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等差数列的性质，属于较易题． 根据等差数列的性质，由可得，从而可得公差以及通项公式； 根据等差数列的求和公式可得，再由二次函数的性质可得其最小值． 19.已知公比大于的等比数列满足，． 求的通项公式； 求． 【答案】解：设等比数列的公比为， 则 ， ． ， ．   【解析】本题考查等比数列的通项公式，前项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题． 根据题意，列方程组，解得和，然后求出的通项公式； 根据条件，可知，，，是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案． 20.设为数列的前项和，已知，． 证明：数列为等比数列； 判断，，是否成等差数列并说明理由． 【答案】证明：，，可得， 即有， 则为首项为，公比为的等比数列； 解：由可得，即有， ， 由， 可得，，成等差数列．  【解析】本题考查等比数列的判定，等差数列的判断，考查化简运算能力，属于基础题． 由题意，结合等比数列的定义，即可得证； 由等比数列的通项公式和求和公式，结合等差数列的中项性质，可得结论． 21.已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项． 求的通项公式； 设数列满足，且的前项和为，求证：． 【答案】解：由题设可得：，即， 解得：或舍， ； 证明：由可得：， ．  【解析】本题主要考查等比数列的性质及等差数列基本量的计算，考查裂项相消法求和． 由题设求得首项与公差，即可求得； 先由求得，再利用裂项相消法求得其前项和，即可证明结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $