大题专题04 数列（A卷·基础巩固）--2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个大题专题，内容为数列。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 专题04 数列 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共22小题，每小题12分） 1.等差数列满足：，，的前项和为． Ⅰ求及 Ⅱ令，求数列的前项和 2.已知等差数列的前项和为，．a 求的通项公式  令，求证数列为等差数列． 3.记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求的最小值． 4.在等差数列中，，． 求的通项公式 求数列的前项和． 5.设数列的前项和为，若，且． 证明数列是等差数列，并求的表达式； 求数列的通项公式． 6.等差数列，，公差． 求通项公式和前项和公式； 当取何值时，前项和最大，最大值是多少 7.已知数列满足，，， Ⅰ证明：数列是等比数列； Ⅱ求数列的通项公式． 8.等比数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和． 9.已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若，求． 10.已知数列满足：， 求，的值． 证明：是等比数列并求通项公式． 设，求前项和． 11.在数列中，，． 求数列的通项公式； 设数列满足，求的前项和． 12.已知数列分别是等差、等比数列，且． 求的通项公式； 求数列的前项和． 13.数列中，，满足． 证明：数列为等比数列； 求数列的前项和． 14.已知等差数列的前项和为，且，． 求； 若，，成等比数列，求正整数的值． 15.已知数列是等比数列，数列满足，． 求的通项公式； 求的前项和． 16.已知等差数列满足，前项和． 求的通项公式； 设等比数列满足，，求数列的通项公式． 17.在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，． 求和； 设，记，求． 18.设为等差数列，为各项均为正数的等比数列，，，． 求的通项公式； 求的前项的和． 19.若数列的首项，且满足． 证明：数列是等比数列； 若，求满足条件的最小整数． 20.已知等差数列，记为其前项和，且，． 求该等差数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前项和． 21.已知数列满足，． 求，，； 判断数列是否为等比数列，并说明理由； 求数列的前项和． 22.已知等比数列满足，，记其前项和为． 求数列的通项公式； 若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个大题专题，内容为数列。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 专题04 数列 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共22小题，每小题12分） 1.等差数列满足：，，的前项和为． Ⅰ求及 Ⅱ令，求数列的前项和 【答案】解：Ⅰ设等差数列的首项为，公差为． 因为，， 所以， 解得， 所以， ； Ⅱ由Ⅰ知， 所以， 所以 ， 即数列的前项和．   【解析】本题考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，属于基础题． Ⅰ首先设首项为，公差为，根据已知条件列出和的方程组，求得后可得前项和和通项公式； Ⅱ根据Ⅰ，得，把变成两项的差，用裂项相消法求和． 2.已知等差数列的前项和为，．a 求的通项公式  令，求证数列为等差数列． 【答案】解：由题知：，解得 所以． 由知：， 所以， 所以， 所以，数列为等差数列．  【解析】本题主要考查等差数列的定义、通项公式与前项和公式，属于基础题． 先利用等差数列的通项公式和前项和公式，解出和，利用公式即可解得此题； 利用等差数列的前项和公式求出，再利用等差数列的定义证明即可． 3.记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求的最小值． 【答案】解：设等差数列的公差为， 由，，可得，解得， 所以数列的通项公式为． 由知，可得数列为递增数列，且， 所以当时，；当时，；当时，， 所以，当或时，取得最小值，即， 所以，故的最小值为．   【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等差数列的前项和的最值问题，属于基础题． 设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式； 由得到数列为递增数列，且，得到或时，取得最小值，结合等差数列的求和公式，即可求解． 4.在等差数列中，，． 求的通项公式 求数列的前项和． 【答案】解：设的公差为， 则 解得 所以． 方法一， ． 方法二，当为偶数时， ， 当为奇数时， ． 综上，  【解析】本题主要考查了等差数列的概念，通项公式及求和公式，属于基础题． 根据，，联立关于和的方程组，可解出和，即可解出的通项公式； 根据等差数列的求和公式可得数列的前项和． 5.设数列的前项和为，若，且． 证明数列是等差数列，并求的表达式； 求数列的通项公式． 【答案】解：由于，且，， 两边同乘，得：， 所以数列是其首项，公差为的等差数列， 则， 所以； 当时， ， 当时，不适合上式． 综上，．   【解析】本题考查等差数列的判定与通项公式，数列的递推关系，属于较易题． 将等式变形为的形式，判定为等差数列，求解即可； 利用与间的关系，求出的通项公式即可． 6.等差数列，，公差． 求通项公式和前项和公式； 当取何值时，前项和最大，最大值是多少 【答案】解：由题意知，， ， 故，， ； 由知，，， 又，，由数列的函数性质可知当时，前项和最大， 最大值为．  【解析】本题考查等差数列的前项和公式、数列的函数特性，属于基础题． 由等差数列的通项公式和前项和公式可求；  由数列的函数性质可知当时，前项和最大． 7.已知数列满足，，， Ⅰ证明：数列是等比数列； Ⅱ求数列的通项公式． 【答案】解：Ⅰ证明：， ， ， ，， 数列是以为首项，为公比的等比数列； Ⅱ由Ⅰ得， ，， 当时，也满足上式， 故  【解析】本题考查数列的递推式的应用，考查等比关系的确定及等比数列前项和的应用，属于基础题． Ⅰ依题意，易得，利用等比数列的定义可知数列是等比数列； Ⅱ由Ⅰ得，利用迭代法可得数列的通项公式． 8.等比数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和． 【答案】解：设的公比为，由已知得，解得， ； 由得，，则，． 设的公差为，则，解得 从而， 所以数列的前项和．  【解析】本题考查等比数列的通项公式和前项和的求法，属于基础题， 由等比数列的通项公式求出公比和首项，由此能求出数列通项公式； 由，，求出等差数列数列的公差和首项，从而求出前项的和． 9.已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若，求． 【答案】解：当时，；当时，，， 于是是首项为，公比为的等比数列，所以． ，由，得．   【解析】本题主要考察数列中当时，的使用以及等比数列前项和的公式的应用，属于基础题． 通过当时，，即可求出第一问，第二问代入等比数列前项和公式即可求解． 10.已知数列满足：， 求，的值． 证明：是等比数列并求通项公式． 设，求前项和． 【答案】解： ； 令，则：， 即是等比数列，公比，， ， ； ， 是首项、公差的等差数列， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.在数列中，，． 求数列的通项公式； 设数列满足，求的前项和． 【答案】解：由，， 可得，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得； ， 所以．  【解析】本题考查等差数列的定义、通项公式和等比数列的求和公式的运用． 由等差数列的定义和通项公式，可得所求； 求得，再由等比数列的求和公式可得所求和． 12.已知数列分别是等差、等比数列，且． 求的通项公式； 求数列的前项和． 【答案】解：设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以． 由可知， 则．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 13.数列中，，满足． 证明：数列为等比数列； 求数列的前项和． 【答案】解：由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列． 由得，． 所以 ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 14.已知等差数列的前项和为，且，． 求； 若，，成等比数列，求正整数的值． 【答案】解：设公差为，则， ， 解得，，， 所以：． 因为． 又，，成等比数列， 所以，化简得： 解得：或， 又，．  【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等差数列前项和，做题时注意是正整数，属于基础题． 设出等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和前项和公式列出方程，解得答案； 根据等比中项定义，列出方程，再结合是正整数，解出的值． 15.已知数列是等比数列，数列满足，． 求的通项公式； 求的前项和． 【答案】解：由，，得，所以，     又是等比数列，所以公比，所以的通项公式为； 由及得， 所以，             由得是等差数列， 所以的前项和为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.已知等差数列满足，前项和． 求的通项公式； 设等比数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】解：设等差数列的公差为， 由题意可，得，解得，， ； 设等比数列的公比为， ，， ，解得或， 或．  【解析】设等差数列的公差为，根据，前项和，列出方程组，求出和，即可得解； 设等比数列的公比为，根据等比数列满足，，列出方程组，求出和，即可得解． 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，等差数列的前项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题． 17.在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，． 求和； 设，记，求． 【答案】解：依题意，  ，设等比数列  的公比为  ， 因为  ，  ， 所以  ，解得  负值舍去， 所以  ，  ． 由得  ， 所以  ．   【解析】本题考查等比数列的通项公式，等比、等差数列的前项和公式，属于基础题． 利用等比数列的通项公式与前  项和的定义得到  的关系式，从而得解； 由得  ，从而利用等差数列的前  项和公式即可得解． 18.设为等差数列，为各项均为正数的等比数列，，，． 求的通项公式； 求的前项的和． 【答案】解：为等差数列，设公差为， 为等比数列，设公比为， ，， ，， 又， 消去得，，， 为各项均为正数的等比数列， ，，， 的通项公式 ．  【解析】本题考察了解决等差数列、等比数列两个特殊数列的问题，围绕着通项公式及前项和公式，常采用五个基本量的方法． 将已知条件用等差数列及等比数列的公差、公比表示，解方程组求出公差、公比，利用等差数列的通项公式求出通项 利用等比数列的前项和公式求出的前项的和． 19.若数列的首项，且满足． 证明：数列是等比数列； 若，求满足条件的最小整数． 【答案】解：因为， 所以，又， 则是首项为，公比为的等比数列； 由可知，则， 所以， 由，得，解得， 因为，所以满足条件的最小整数为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】． 20.已知等差数列，记为其前项和，且，． 求该等差数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】解：设等差数列的公差为， 由，，可得，， 解得，， 则． 设等比数列的公比为， 由，，得， 解得， 所以或， 即或．  【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于基础题． 设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差， 进而得到通项公式； 设等比数列的公比为，由，求出公比，再求出数列的前项和． 21.已知数列满足，． 求，，； 判断数列是否为等比数列，并说明理由； 求数列的前项和． 【答案】解：由及，知， 解得，同理得，． 由，知，即． 是以为首项，公比为的等比数列． ， ，  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22.已知等比数列满足，，记其前项和为． 求数列的通项公式； 若，求． 【答案】解：等比数列满足，， ，解得，， ． 可知：， 若， 则， 解得．  【解析】本题考查等比数列的通项公式，等比数列前项和． 由等比数列满足，，利用等比数列的通项公式求出，，由此能求出数列的通项公式． 由知，由此能求出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $