专题一 由递推公式求通项公式 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学单元学案以“数列”为核心内容，围绕“由递推公式求通项公式”的单元目标，通过观察法、公式法到构造等差等比数列的方法类型递进，串联基础理解与综合应用任务链，构建系统的知识建构路径。 亮点在于“方法系统梳理+典型例题解析+跟踪训练巩固”的三维设计，如“三角垛”问题引导学生用数学眼光观察现实规律，累加法、构造法例题培养数学思维的逻辑推理能力，规范解题步骤训练数学语言表达。既促进学生深度学习，又为教师实施单元复习提供完整指导。

高二数学导学案 第四章数列 第四章 数列 专题一 由递推公式求通项公式 求数列通项公式的 几种方式 1、 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 二、公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 三、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 四、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 五、构造等差、等比数列求通项公式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； 六、周期数列 【典型例题】 题型一 观察法求通项公式 【例1-1】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球． A．12 B．20 C．55 D．110 【例1-2】若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B． C． D． 题型二 公式法求通项公式 【例2-1】已知数列的前项和为，且，则 . 【例2-3】已知数列 的前 项和，则它的通项公式是 . 题型三 累加法求通项公式 【例3-1】数列满足，，则= . 【例3-2】数列满足，，，则数列的通项公式 . 题型四 累乘法求通项公式 【例4-1】已知中，，，则数列的通项公式是 . 【例4-2】已知数列满足，，则（ ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 题型五 构造等差数列求通项公式 【例5-1】已知数列满足，则 . 【例5-2】已知数列的前n项和为，，，则______． 题型六 构造等比数列求通项公式 【例6-1】已知数列满足，且，则________. 【例6-2】已知数列中，，求数列通项公式. 【例6-2】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 题型七 周期数列 【例7-1】数列中，若，则 . 【例7-2】已知数列满足,,则 . 题型七 其他求通项公式方法 【例7】数列中，若，()，则数列的通项公式 . 【跟踪训练】7.已知数列中，，且（且）通项公式= . ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $