第12章 定义 命题 证明专项培优习题课件 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形角平分线问题，通过具体题目（如∠MON变化时∠ACG度数计算）导入，衔接角平分线定义、平行线性质及三角形内外角定理，搭建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握相关推理方法。 其亮点在于以递进式问题链设计（如从具体度数到代数式表示，从计算角度到补全图形），结合推理能力与几何直观，例如第1题（3）利用CF∥OA推导角度关系，培养逻辑推理。采用问题驱动教学，通过“点拨”总结思路，助力学生提升推理能力与几何直观，也为教师提供结构化训练素材，提高教学效率。

第12章　定义　命题　证明 章末整合练 1 返回 C 1. 下列语句中，属于定义的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．两直线平行，内错角相等 2 返回 2. 下列语句中，属于命题的是(　　) A．作∠ABC B．两直线相交有几个交点？ C．画线段AB＝3 cm D．相等的角是对顶角 D 返回 3. 下列命题中是真命题的是(　　) A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行 C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．同旁内角互补 B 返回 4. 下列命题中是假命题的是(　　) A．对顶角相等 　　　　 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 　　　　 D．同旁内角互补，两直线平行 C 返回 5. 写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题：____________________________________________. 在同一平面内，两条平行的直线垂直于同一直线 返回 6. 下列说法中：①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③推理的过程叫证明；④题中已知条件、已证定理、定义、基本事实都可以作为证明推理的依据．正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 返回 7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为________. 75° 返回 8. [烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．20° A 返回 9. [江西中考]如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为______. 720°　 10 返回 10. [遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 A 11 11. 如图，AB∥CD，点E，F为AB与CD之间两点，AE⊥EF，若∠A＝28°，∠F＝88°，则∠D＝________°. 26 12 【点拨】 如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， 因为AB∥CD，所以EM∥FN∥AB∥CD. 所以∠MEA＝∠A，∠MEF＝∠EFN，∠D＝∠DFN. 所以∠MEA＋∠MEF＋∠D＝∠A＋∠EFN＋∠DFN. 所以∠AEF＋∠D＝∠A＋∠EFD. 因为AE⊥EF，所以∠AEF＝90°. 又因为∠A＝28°，∠EFD＝88°，所以∠D＝26°. 返回 返回 12. 为说明“若a＞b，则a2＞b2”是个假命题，可以举个反例．这个反例可以是：____________. a＝3，b＝－4 (答案不唯一) 14 返回 13. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设_____________________________. 一个三角形中至少有两个钝角 14. (8分)如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，EG∥CD，且∠CDF＋∠CEG＝180°. (1)求证：DF∥AC； 证明：因为EG∥CD， 所以∠ACD＋∠CEG＝180°. 因为∠CDF＋∠CEG＝180°， 所以∠CDF＝∠ACD. 所以DF∥AC. (2)若DF是△BDC的角平分线，∠AGE＝100°，求∠A的度数. 返回 17 15. (12分)(1)在△ABC中，点O是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线的交点，若∠A＝30°，则∠BOC的度数为________； 75° 【点拨】 20 22 返回 解：因为EG∥CD，所以∠AGE＝∠ADC＝100°. 所以∠BDC＝180°－100°＝80°. 因为DF平分∠BDC， 所以∠BDF＝∠BDC＝40°. 因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF＝40°. 因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝150°. 所以∠DBC＋∠ECB＝180°－∠ABC＋180°－∠ACB＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝360°－150°＝210°. 因为BO，CO分别平分∠DBC和∠ECB， 所以∠OBC＋∠OCB＝(∠DBC＋∠ECB)＝×210°＝105°.　 所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－105°＝75°. 【拓展研究】 (2)如图，BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的三等分线，它们交于点O，若∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝________(用含α的式子表示)，并说明理由； 120°－α 解：理由：由题意得，在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－(∠DBC＋∠ECB) ＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC) ＝180°－(∠A＋180°) ＝120°－α. (3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC(用含n，α的式子表示)，并说明理由. 解：∠BOC＝.理由：由题意得，在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－(∠DBC＋∠ECB) ＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC) ＝180°－(∠A＋180°) ＝－α＝. $第12章　定义　命题　证明 专题训练10　 三角形角平分线问题 1 50° 1. (12分)如图①，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合)，AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，BC的延长线交OM于点G. (1)若∠MON＝80°，则∠ACG＝________；若∠MON＝100°，则∠ACG＝________； 40° 2 (2)若∠ACG＝n°，请求出∠MON的度数；(用含n的代数式表示) 3 (3)如图②，∠MON＝70°，过点C作直线CF与AB交于点F.若CF∥OA，求∠BGO－∠ACF的度数． 解：因为AC平分∠BAO， 所以∠BAC＝∠CAO. 因为CF∥OA， 所以∠ACF＝∠CAO＝∠BAC. 5 返回 2. (16分)(1)如图①，在△ABC中，∠A＝n°，设△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求∠BOC的度数； 82.5° 9 【点拨】 11 13 【点拨】 返回 3. (12分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E. (1)∠E＝________． 45° 【点拨】 (2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F. ①依题意在图中补全图形； ②求∠AFC的度数． 解：如图②所示． 18 解：m＝2，n＝－3. 20 【点拨】 返回 解：因为∠MON＋∠ABO＋∠BAO＝180°， 所以∠ABO＋∠BAO＝180°－∠MON. 因为AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， 所以∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO， 所以∠ACG＝∠ABC＋∠BAC＝(∠ABO＋∠BAO)＝(180°－∠MON)，因为∠ACG＝n°，所以n°＝(180°－∠MON)． 所以∠MON＝(180－2n)°. 因为∠BGO＝∠ABG＋∠BAO＝∠ABG＋2∠ACF， 所以∠BGO－∠ACF＝∠ABG＋2∠ACF－∠ACF＝∠ABG＋∠ACF＝∠ABG＋∠BAC＝∠ACG. 当∠MON＝70°时，由(2)知∠ACG＝×(180°－70°)＝55°，所以∠BGO－∠ACF＝55°. 解：在△ABC中，∠A＝n°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－n°. 所以∠DBC＋∠BCE＝360°－(180°－n°)＝180°＋n°. 因为BO，CO分别是∠DBC，∠BCE的平分线， 所以∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠BCE. 所以∠CBO＋∠BCO＝∠DBC＋∠BCE＝(180°＋n°)＝90°＋n°. 所以∠BOC＝180°－＝90°－n°. 【变式探究】 (2)如图②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，且射线BM与射线CN相交于点O，则∠BOC＝________． 因为∠A＝80°， 所以由(1)知∠CBD＋∠BCE＝180°＋80°＝260°. 因为∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD， 所以∠BCN＋∠CBM＝(∠CBD＋∠BCE)＝×260°＝97.5°. 所以∠BOC＝180°－(∠BCN＋∠CBM)＝82.5°. (3)如图③，在△ABC中，∠A＝n°.若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，若要使射线BM，CN能相交于点O，则n的取值范围是什么？请说明理由． 解：0＜n＜60.理由如下： 由(1)知，∠DBC＋∠BCE＝180°＋n°， 因为∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD， 所以∠BCN＋∠CBM＝(∠BCE＋∠CBD)＝×(180°＋n°)＝135°＋n°.若射线CN，BM能相交于点O， 在△BOC中，∠BOC＝180°－＝45°－n°， 所以45°－n°＞0°，解得n＜60.所以n的取值范围是0＜n＜60. (4)如图③，在△ABC中，∠A＝n°.若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，请直接写出使射线BM，CN能相交于点O的n的取值范围(其中q＜p，请用含p，q的代数式表示). 解：n的取值范围是0＜n＜. 因为∠A＝n°， 所以∠CBD＋∠BCE＝180°＋n°. 因为∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD， 所以∠BCN＋∠CBM＝(∠BCE＋∠CBD)＝×(180°＋n°)． 所以∠BOC＝180°－(∠BCN＋∠CBM)＝180°－＝，　 所以0°＜，解得n＜. 所以0＜n＜. 如图①，因为EA所在直线平分∠DAC，CE平分∠ACB， 所以∠CAG＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB. 设∠CAG＝x，∠ACE＝y，因为∠B＝90°，所以∠ACB＋∠BAC＝90°，所以2y＋180°－2x＝90°.所以x－y＝45°. 因为∠CAG＝∠E＋∠ACE， 所以∠E＝∠CAG－∠ACE＝x－y＝45°. 如图②，设∠ECB＝β，因为CF平分∠ECB， 所以∠ECF＝β. 因为∠E＋∠EAF＝∠AFC＋∠ECF， 所以45°＋∠EAF＝∠AFC＋β.① 因为AF平分∠EAB，所以∠EAB＝2∠EAF. 因为∠E＋∠EAB＝∠B＋∠ECB， 所以45°＋2∠EAF＝90°＋β，所以∠EAF＝.② 把②代入①，得45°＋＝∠AFC＋β， 所以∠AFC＝67.5°. (3)在(2)的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH＋n∠FPH，请直接写出m，n的值. 如图③，设∠FAH＝α， 因为AF平分∠EAB，CF平分∠ECB， 所以∠FAH＝∠EAF＝α，∠FCH＝∠FCB＝∠ECB. 因为∠AFM＝∠AFC＝×67.5°＝22.5°，∠E＋∠EAF＝∠AFC＋∠FCH，所以45°＋α＝67.5°＋∠FCH. 所以∠FCH＝α－22.5°.① 因为∠AHN＝∠AHC＝(∠B＋∠BCH)＝(90°＋2∠FCH)＝30°＋∠FCH，∠FAH＋∠AFM＝∠AHN＋∠FPH， 所以α＋22.5°＝30°＋∠FCH＋∠FPH.② 把①代入②，得∠FPH＝. 因为∠FCH＝m∠FAH＋n∠FPH， 所以α－22.5°＝mα＋n·，解得m＝2，n＝－3. $第12章　定义　命题　证明 专题训练9　平行线的拐点问题 1 证明：方法1：连接BD，如图①， 因为AB∥CD， 所以∠ABD＋∠CDB＝180°. 因为∠1＋∠2＋∠BED＝180°， 所以∠ABD＋∠1＋∠CDB＋∠2＋∠BED＝360°， 即∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°. 1. (12分)(1)如图①，已知：AB∥CD．求证：∠B＋∠D＋∠BED＝360°；(至少用三种方法) 2 方法2：延长DE交AB的延长线于点F，如图②， 因为AB∥CD， 所以∠F＋∠D＝180°. 因为∠ABE＝∠FEB＋∠F， ∠BED＝∠FBE＋∠F， 所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝∠FEB＋∠F＋ ∠CDE＋∠FBE＋∠F＝180°＋180°＝360°. 方法3：过点E作EF∥AB，如图③， 因为AB∥CD， 所以AB∥EF∥CD. 所以∠B＋∠BEF＝180°， ∠D＋∠DEF＝180°. 所以∠B＋∠D＋∠BED＝∠B＋ ∠BEF＋∠D＋∠DEF＝180°＋180°＝360°. (2)如图②，AB∥CD，点E，F，G，H为AB，CD之间的 四点，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________； (3)如图③，AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠n＝___________. 900°　 180°(n－1) 5 【点拨】 如图④，过点E作EQ∥CD，过点F作FW∥CD，过点G作GR∥CD，过点H作HY∥CD，因为CD∥AB， 所以EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD. 所以∠1＋∠MEQ＝180°，∠QEF＋∠EFW＝180°，∠WFG＋∠FGR＝180°，∠RGH＋∠GHY＝180°，∠YHN＋∠6＝180°. 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝5×180°＝900°. 返回 2. (12分)如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的 一条折线． (1)求证：∠O＝∠BEO＋∠DFO； 证明：过点O作OM∥AB，如图①， 则∠EOM＝∠BEO. 因为AB∥CD，所以OM∥CD. 所以∠FOM＝∠DFO. 所以∠EOM＋∠FOM＝∠BEO＋∠DFO， 即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO. (2)如果将折一次改为折二次，如图②，则∠BEO，∠O，∠P，∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论； 解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.证明如下： 过点O作OM∥AB，过点P作PN∥CD，如图②， 因为AB∥CD， 所以OM∥PN∥AB∥CD. 所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC. 所以∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. 所以∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 8 (3)如果将折一次改为折三次，如图③，则∠BEO，∠O，∠P，∠Q，∠QFD之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果不需证明). 解：∠EOP＋∠PQF＝∠BEO＋∠OPQ＋∠QFD.　 9 【点拨】 过点O作OM∥AB，过点P作PN∥CD，过点Q作QR∥AB，如图③，因为AB∥CD， 所以OM∥PN∥QR∥AB∥CD. 所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠DFQ. 所以∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠BEO＋∠3＋∠4＋∠DFQ. 所以∠EOP＋∠PQF＝∠BEO＋∠OPQ＋∠QFD. 返回 3. (12分)已知直线AB∥CD． (1)如图①，若∠ABE＝40°，∠BEC＝140°，∠ECD＝________°； 80 【点拨】 如图①，过点E作EF∥AB， 因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD. 所以∠ABE＝∠BEF，∠FEC＋∠ECD＝180°. 因为∠ABE＝40°，∠BEC＝140°，所以∠FEC＝100°. 所以∠ECD＝180°－100°＝80°. (2)如图①，试探究∠ABE，∠BEC，∠ECD的关系，并说明理由； 解：∠BEC＝180°－∠ECD＋∠ABE. 理由如下： 如图①，过点E作EF∥AB， 因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD. 所以∠ABE＝∠BEF，∠FEC＋∠ECD＝180°. 所以∠BEC＝180°－∠ECD＋∠ABE. 13 (3)如图②，若CF平分∠ECD，且满足CF∥BE，试探究∠ECD，∠ABE的数量关系，并说明理由． 14 返回 4. (12分)我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成的，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形． 【基本图形】 (1)如图①，AB∥CD，写出∠B，∠D，∠E之间的数量关系，并说明理由； 解：∠ABE＝∠D＋∠E. 理由：如图①，延长AB交DE于点F. 因为AB∥CD，所以∠AFE＝∠D. 因为∠ABE是△BEF的外角， 所以∠ABE＝∠AFE＋∠E， 即∠ABE＝∠D＋∠E. 【图形运用】 (2)如图②，AB∥CD，BG平分∠ABE，DH平分∠CDE，BG，DH的反向延长线交于点F.若∠E＝40°，求∠F的度数； 18 因为BG平分∠ABE，DH平分∠CDE， 所以∠ABE＝2∠GBE，∠CDE＝2∠HDE. 设∠GBE＝x，∠HDE＝y，则∠ABE＝2x，∠CDE＝2y. 因为AB∥CD，所以由(1)可知，∠ABE＝∠CDE＋∠E， 所以2x＝2y＋40°，即x＝y＋20°. 因为∠EBF＋∠E＝∠EDF＋∠F， 所以180°－x＋40°＝180°－y＋∠F. 所以∠F＝40°＋y－x＝40°＋y－(y＋20°)＝20°. 【思维拓展】 (3)如图③，AB∥CD，BG平分∠ABM，DH平分∠CDN，BG，DH的反向延长线交于点F.直接写出∠M，∠N，∠F之间的数量关系. 20 【点拨】 返回 解：∠ABE＝∠ECD.理由如下：如图②，延长BE和DC相交于点G，因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠G. 因为BE∥CF，所以∠GEC＝∠ECF. 因为∠ECD＝∠GEC＋∠G， 所以∠ECD＝∠ECF＋∠ABE. 因为CF平分∠ECD，所以∠ECF＝∠DCF＝∠ECD. 所以∠ECD＝∠ECD＋∠ABE.所以∠ABE＝∠ECD. 解：∠F＝∠BMN＋∠DNM－90°. 如图②，延长BM和DN相交于点E，由(2)得∠F＝∠E. 因为∠E＋∠EMN＋∠ENM＝180°，所以∠E＝180°－(∠EMN＋∠ENM)．因为∠BMN＋∠EMN＋∠DNM＋∠ENM＝360°，　 所以∠EMN＋∠ENM＝360°－∠DNM－∠BMN. 所以∠E＝180°－(360°－∠DNM－∠BMN)＝∠DNM＋∠BMN－180°.所以∠F＝∠E＝(∠DNM＋∠BMN－180°)＝∠DNM＋∠BMN－90°. $