5.2.1 基本初等函数的导数（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数公式推导与应用，通过复习导数定义与几何意义（从平均变化率到导数的过程）搭建学习支架，衔接导数概念与新公式推导，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以问题链驱动概念形成（如推导y=c、y=x等5个函数导数，结合表格归纳规律），切线问题分类解析（在点处与过点处步骤），体现逻辑推理与数学运算素养。实例（如y=x³切线方程求解）助学生掌握应用，教师可借清晰流程提升效率，学生深化公式理解与应用能力。

5.2.1 基本初等函数的导数（1课时）P72-P75 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.复习导数的概念。 直观想象 2.能根据导数定义求函数 y＝f(x)＝c，y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，y＝f(x)＝x3， y＝f(x)＝，y＝f(x)＝的导数． 逻辑推理 3.应用：（1）能用基本初等函数的导数公式求导数 （2）相切问题 数学运算 1分钟（读） 1（2） 一.新课引入：复习导数的概念。 1.导数的定义与几何意义： ①求平均变化率： ②取极限，得导数： 2.导数几何意义： （2）导数0<f'(x0)<f'( 1+1（4） 二.概念形成 问题1. 函数y=f(x)=c的导数 即 x y y=c O 若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一 直处于静止状态. 问题2. 函数y=f(x)=x的导数 即 x y y=x O 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 问题3. 函数y=f(x)=x2的导数 即 x y y=x2 O y′= 2x表明: （1）当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. 1+1（6） 二.概念形成 问题4. 函数y=f(x)=x3的导数 即 x y y=x3 O y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 问题5. 函数y=f(x)= 的导数 问题6. 函数y=f(x)= 的导数 即 1（7） 思考，你发现了什么规律？ 二.概念形成 函数 导数 2+3（12） 二.概念形成 基本初等函数的导数公式 1（13） 三.概念深化：基本初等函数的导数。 例1 求下列函数的导数: 解： 练习1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 三.概念深化：基本初等函数的导数。 2+1（17） 解： 练习1. 求下列函数的导数: 三.概念深化：基本初等函数的导数。 课本P75 AD 四.应用探究：1基本初等函数的导数。 1（18） 四.应用探究：1基本初等函数的导数。 练习2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P75 四.应用探究：1基本初等函数的导数。 2（20） 例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3. (1)求曲线C在点(1，1)处切线的方程；(2)求曲线C过点(1，1)处切线的方程 四.应用探究：2切线问题。 4（24） 例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3. (1)求曲线C在点(1，1)处切线的方程；(2)求曲线C过点(1，1)处切线的方程 四.应用探究：2切线问题。 ( 切线方程为： 4（24） 求曲线在某点处的切线方程的步骤 曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条； 四.应用探究：2切线问题。 2（26） 求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 曲线y＝f(x)过点P的切线，可能有多条，取决于求得的切点的个数，有几个切点，就有几条切线． (1)设切点为A(xA，f(xA))； (2)求切线的斜率k＝f′(xA)； (3)写出切线方程(含参数)； (4)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．　 四.应用探究：2切线问题。 2（26） 解： 课本P75 四.应用探究：2切线问题。 练习3 1+1（28） 解： 课本P75 四.应用探究：2切线问题。 练习4 1+1（30） 练习5 四.应用探究：2切线问题。 2+1（33） 四.应用探究：2切线问题。 4+1（388） 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜：5.2.1 基本初等函数的导数（1课时）（求导函数、相切问题） 1（40） 1求导公式。 1求导函数； 2相切问题。 1导数法。 板书设计 应用：1求导函数；2相切问题。 例2 (多选)下列结论正确的是 (　　) A．(cos x)′＝－sin x B．(sin )′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．()′＝－ 因为(cos x)′＝－sin x，所以A正确；sin ＝，而()′＝0，所以B错误；()′＝(x-2)′＝－2x-3，所以C错误；(－)′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确． 解：(1)∵f′(x)＝3x2，∴所求切线斜率为k＝f′(1)＝3×12＝3. ∴曲线C在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 2. 求曲线过某点的切线方程 例3已知曲线y＝f(x)＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程． 解1：设所求切线与曲线y＝2x2－7相切于点A(x0，y0). 由题意，得f′(x0)＝4x0. 故所求切线方程为y－y0＝4x0(x－x0). 将点P(3，9)的坐标及y0＝2x－7代入上式，得 9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或x0＝4，∴切点为(2，1)或(4，25). 从而所求切线方程为y－1＝8(x－2)或y－25＝16(x－4)， 即8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 练习6 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点． (1)求此曲线在点P处的切线方程；(2)求此曲线过点O(0，0)的切线方程． (1)∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝，∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. (2)∵O(0，0)不在曲线y＝ln x上，∴设切点Q(x0，ln x0)，y′＝， 则切线的斜率k＝.又切线方程:过点（0,0），有1，即x0＝e，∴Q(e，1)，切线方程为： ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. $